高一数学学案指数幂2012.11.1

分数指数幂和无理指数幂
学习内容 学习指导 即时感悟
【学习目标】 1.理解分数指数幂的概念,掌握分数指数幂和根式的互化,掌握分 数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力 2.能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值。 3.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化,理解无理数指数幂的概 念。 【学习重点】 (1)分数指数幂概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理数指数幂性质进行化简求值. (4)实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解 【学习难点】 (1)分数指数幂概念的理解 (2)有理数指数幂性质的灵活应用. (3)无理数指数幂的理解 【回顾·预习】 回顾:1.n次方根的定义:如果 做

x

n

=a,那么x叫 ,

. (其中n>1且 n ? N ) 2.根式:形如 式子叫根式.这里n叫做 叫做被开数。 3.根式的性质: (1) n 0 = = = ; (3)当n是奇数时 n ; (2) =

(n

a) n
a
n

a

n

;当是偶数时 n

. 预习: 1.正整数指数幂:一个非零实数的零次幂的意义 是: .
1

负整数指数幂的意义是: . 2 . 分 数 指 数 幂 : 正 数 的 正 分 数 指 数 幂 的 意 义 是: . 正数的负分数指数幂的意义是: . 0的正分数指数幂的意义是: . 0的负分数指数幂的意义是: . 3.有理指数幂的运算性质:如果a>0,b>0,r,s ? Q, 那么

a ?a

r

s



; .

(ar)

s





(ab)

r



4.根式的运算,可以先把根式化成分数指数幂,然后利用 的运算性质进行运算. 5.教材 52 页至 53 页 5 2 的意义解读。 【自主·合作·探究】 探究问题 1. (1) 整数指数幂的运算性质是什么? (2) 观察以下式子,并总结出规律: a ? 0 ① a
4 5 10

? (a ) ? a 2
5 2 5 4 (a3 )4

? a 5 ;② a8 ? (a4 )2 ? a4 ? a 2 ;
12 10

10

8

③ a ?
12

? a3 ? a 4 ;④ 2 a10 ? 2 (a5 )2 ? a5 ? a 2 .

(3) 利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?
4 3

5 ,

5

a7 , n xm ( x ? 0, m, n ? N * , 且 n>1)

规 定 : 正 数 的 正 分 数 指 数 幂 的 意 义 是 ______________________________ 探究问题 2、 (1) 你能得出负分数指数幂的意义吗?你认为应该怎样规定零 的分数指数幂的意义? (2)如何规定分数指数幂的意义? (3)既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢? 对任意的有理数 r,s,均有下面的运算性质:
2

①_________________________________________ ②_________________________________________ ③__________________________________________

【典型例题】
2 1 ? 16 ? 3 例 1 求值: (1)8 3 ;(2)25 2 ;(3)( ) 4 81

例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式.
a 3 ? a ; a 2 ? 3 a 2 ; a 3 a (a ? 0)

变式训练 1、课本 54 页练习 2、求值: (1) 3 3 ? 3 3 ? 6 3 ;

27m3 4 (2) 6 ( ) 125n6

无理指数幂 探究问题 3、 (1)一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 5 2 , 根据你学过的知识, 能做出判断并合理地解释吗?借助上面的结论 你能说出一般性的结论吗

探究问题 4、 (1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正 数? (2)你能给出实数指数幂的运算法则吗?
3

例 3、求值或化简 (1) a ?4b2 3 ab2 (a ? 0, b ? 0) (2) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2

例 4、 已知 a + a

1 2

?

1 2

=3 探究下列各式的值的求法.
a2 ? a a2 ? a
1 3 ? ? 3 2 1 2

(1) a ? a ?1 ;(2)a 2 ? a ?2 ;(3)

练习:课本 A 组 3 【当堂达标】 1.下列各式中正确的是( A .
5



(?1)
2

0

? ?1 B .

(?1)

?1

? ?1 C . 3 a ?

?2

1 3a
2

(? x) ? D. x (? x)
3

4

3 6 9 ? ?6 3 9 ? 2. ? ? a ? ? a ? 等于( ? ? ? ?

4

4

) C、 a 4 D、

A、 a16
a2

B、 a8

3.下列互化中正确的是( A. ? x ? (? x) ( x ? 0)
1 2

) B. 6

y

2

?
1

y

1 3

( y ? 0)

x C. ( ) y
A.R x>1

?

3 4

?4

y ( ) ( x, y ? 0) x
2

3

D. x 3 ? ?3 x )

4.使 (3? 2 x ? x

)

?

3 4

有意义的x的取值范围是( C.-3<X<1

B. x ? 1 且 x ? 3

D.X<-3或

5、 计算下列各式

1 2 3.2 ○

5

2 ○

3 3

5 2

【反思·提升】

【拓展·延伸】
n 1 2 1.已知 n ? N ? 则 [1 ? (?1) ]( n ? 1) = 8



2、化简下列各式 (1)
3

a?4 a

(2) a a a

5

3、下列说法错误的是() A.根式都可以用分数指数幂来表示 B.分数指数幂不表是相同式子的乘积,而是根式的一种新的写 法 C.无理数指数幂有的不是实数 D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂 【作业布置】 课本习题 2.1A 组 2、4

6


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