人教A版数学必修4:第一章三角函数小结与复习 ppt_图文


第一章三角函数
小结与复习

一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y

? 的终边
正角 x 零角

o

负角

? 的终边

? ? (??,??)

2、角度与弧度的互化

2? ? 360?

? ?180?

180 1弧度 ? ( )? ? 57 .30 ? ? 57 ?18 ,

?

1? ?

?
180

特殊角的角度数与弧度数的对应表



0? 30? 45? 60? 90?120 ?
? 6 ? 4
? 3 ? 2
2? 3

135 ? 150 ? 180 ? 270 ? 360 ?
3? 4

弧度 0

5? 6

?

3? 2

2?

3、任意角的三角函数定义 定义: y x y sin ? ? , cos? ? , tan? ? r r x r r x csc? ? , sec? ? , cot? ? y x y

y

P(x,y) ?的终边


r
o x

r ? x2 ? y2

三角函数值的符号:“一全正,二正弦,三两切,四余弦” 4、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商关系: 平方关系:

tan? ? cot? ? 1 sin ? ? csc? ? 1 cos? ? sec? ? 1

sin ? tan? ? cos? cos? cot? ? sin ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 1 ? tan ? ? sec ?
2 2

1 ? cot2 ? ? csc2 ?

5、诱导公式:
k? 诱导公式是针对 ? ?的各三角函数值的化简 2 (即把 ? 看作是锐角) 口诀为 :" 奇变偶不变, 符号看象限"

3? 例:sin( ? ? ) ? 2

cos?
sin ?

cos( ? ? ) ? 2

?

sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ?

sin ? cos?

二、两角和与差的三角函数
1、预备知识:两点间距离公式
| p1 p2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2


y



p1 ( x1 , y1 )

o

x

p2 ( x2 , y2 )

Q( x1 , y2 )

2、两角和与差的三角函数

cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ?
sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? tan? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan? tan ?
公式变形

注:公式的逆用 及变形的应用

tan? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan? tan ? )

3、倍角公式

sin 2? ? 2 sin? cos?
2 2

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

cos ? ? sin ? ? 1
2 2

2 tan? tan 2? ? 1 ? tan2 ?
注:正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别

1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

三、三角函数的图象和性质
1、正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx
y

y=cosx
y
1

图 象
定义域 值 域 性 周期性 奇偶性

1
?

?
2 -1

o

? 2

?

3? 2

2? x

?? ? ?

o R

2 -1

? 2

?

3? 2

2? x

R [-1,1] T=2

?
?

[-1,1] T=2

?

奇函数

,2k? ? ]增函数 质 单调性 2 2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ]减函数 2 2

[2k? ?

?

偶函数

[2k? ? ? ,2k? ]增函数 [2k? ,2k? ? ? ]减函数

2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(A>0,
第一种变换:

? >0

)

y ? sin x

图象向左( ? 向右(?

?0

)或

? 0 ) 平移| ? | 个单位

y ? sin(x ? ? )

横坐标伸长( 0 ? ?

? 1 )或缩短(?

1 ? 1)到原来的 ? 倍

纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

y ? sin(?x ? ? )

第二种变换:

横坐标不变

y ? A sin(?x ? ? )

y ? sin x

横坐标伸长(0 ? ?

? 1 )或缩短(?

1 ? 1)到原来的 ? 倍

y ? sin?x

图象向左( ?
向右(?

纵坐标不变 ?0 )或

? 0 ) 平移 | ? | 个单位
?

y ? sin(?x ? ? )
y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

横坐标不变

3、正切函数的图象与性质 y=tanx
y 图 象
3? ? 2

?? ? ?

o

2

? 2

?

3? 2

x

定义域

{x | x ? k? ?
R

?
2

, k ? N}

值域
周期性
奇偶性

T ??
奇函数

单调性

(k? ?

?

, k? ? )( k ? Z ) 2 2

?

4、已知三角函数值求角

⑵已知角x ( x ?[0,2? ] )的三角函数值求x的步骤 ①先确定x是第几象限角

②若x 的三角函数值为正的,求出对应的锐角 x1;若x的三角函数
值为负的,求出与其绝对值对应的锐角 ③根据x是第几象限角,求出x 若x为第二象限角,即得x= x=

x1

? ? x1 ;若x为第三象限角,即得

? ? x1;若x为第四象限角,即得x= 2? ? x1

④若x ? R ,则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。

四、主要题型
1 例1:已知? 是第三象限角,且cos? ? ? ,求 tan? 。 3 解: ?为第三象限角 ?

1 2 2 2 ? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? 3 3
2

sin? ? tan? ? ?2 2 cos?
应用:三角函数值的符号;同角三角函数的关系;

tan? ? 2,计算⑴ 3 sin ? ? cos? ⑵ sin ? cos? 例2:已知 2 sin ? ? cos? 3 sin ? ? cos? 3 tan? ? 1 3 ? 2 ? 1 7 解:⑴ 3 sin ? ? cos? ? cos? ? ? ? 2 sin ? ? cos? 2 sin ? ? cos? 2 tan? ? 1 2 ? 2 ? 1 3 cos?


tan? sin ? cos? sin ? cos? ? ? sin ? cos? ? 2 2 tan2 ? ? 1 sin ? ? cos ? 1

2 2 ? 2 ? 2 ?1 5
应用:关于 sin?与 cos? 的齐次式

3 ? 5 ? 3? ? 例3:已知 sin(? ? ) ? , cos(? ? ) ? , 且? ? ( , ), ? ? (0, ) , 4 5 4 13 4 4 4

?

求 sin(? ? ? )

? 解: sin(? ? ? ) ? ? cos[ ? (? ? ? )] ? ? cos[( ? ) ? ( ? ? )] 4? 4 ? 2 ? ? ? ?[cos( ? ) cos(? ? ) ? sin(? ? ) sin(? ? )] ? 4 4 4 4 ? 3 ? 3? ? 4 ? sin(? ? ) ? , 且? ? ( , ) ? cos( ? ) ? ? ? 4 5 4 4 4 5 ? 5 ? ? 12 ? cos(? ? ) ? , 且? ? (0, ),? sin(? ? ) ? 4 13 4 4 13

?

?

?

4 5 3 12 56 ?上式 ? ?(? ? ? ? ) ? 5 13 5 13 65
应用:找出已知角与未知角之间的关系

例4:已知 tan 2? ? ?2 2 ,2? ? ( , ? ), 求

?

2 cos

2

?
2

? sin? ? 1

2

解:

2 tan? 2 ? tan 2? ? ?2 2 , 即 ? ?2 2 ? tan? ? 2或 tan? ? ? 2 1 ? tan ? 2

2 sin(? ? ) 4

?

的值

? 2? ? ( , ? ) ?? ? ( , ) ? tan? ? 2 2 4 2 2? 2 cos ? sin? ? 1 cos? ? sin? cos? ? sin? 2 ? ? ? ? cos? ? sin? 2 sin(? ? ) 2 sin(? ? ) 4 4 1 ? tan? ? 1 ? tan?
应用:化简求值

?

? ?

3? 2 2 ?

例5:已知函数

y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x, x ? R,

求:⑴函数的最小正周期;⑵函数的单增区间;⑶函数的最大值 及相应的x的 值;⑷函数的图象可以由函数y ? 2 sin 2 x, x ? R 的图象经过怎样的变换得到。
2 2 2 y 解: ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 4 2? T? ?? ⑴ 2 3? ? ? ? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ⑵ 由2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 得

3? ? ?函数的单增区间为 k? ? , k? ? ]( k ? Z ) [ 8 8 ? ? ? ⑶ 当2 x ? ? 2k? ? ,即x ? k? ? (k ? Z )时, y最大值 ? 2 ? 2 4 2 ? 8

2

4

2

8

8

⑷ y ? 2 sin 2 x 图象向左平移 8 个单位
图象向上平移2个单位

y ? 2 sin(2 x ? ) 4

?

y ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 4

?

应用:化同一个角同一个函数


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