2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数练习含解析新人教A版选修

2019-2020 年高中数学第一章导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数练习含解析新

人教 A 版选修

一、选择题

1.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是( )

A.b2-4ac>0

B.b>0,c>0

C.b=0,c>0

D.b2-3ac<0

【答案】 D 【解析】 ∵a>0,f(x)为增函数,∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0 恒成立, ∴Δ =(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0. 2.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( )

A.(-∞,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D.(2,+∞)

【答案】 D 【解析】 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 3.已知函数 y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率 k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递 减区间为( )

A.[-1,+∞)

B.(-∞,2]

C.(-∞,-1)和(1,2)

D.[2,+∞)

【答案】 B

【解析】 令 k≤0 得 x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-∞,2]. 4.已知函数 y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),下面四个图象中,y =f(x)的图象大致是( )

【答案】 C

【解析】 当 0<x<1 时 xf′(x)<0∴f′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数

当 x>1 时 xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故 y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定 A、B、D 故选 C.

5.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0

时( )

A.f′(x)>0,g′(x)>0

B.f′(x)>0,g′(x)<0

C.f′(x)<0,g′(x)>0

D.f′(x)<0,g′(x)<0

【答案】 B

【解析】 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反),

∴x<0 时,f′(x)>0,g′(x)<0.

6.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )

A.f(0)+f(2)<2f(1)

B.f(0)+f(2)≤2f(1)

C.f(0)+f(2)≥2f(1)

D.f(0)+f(2)>2f(1)

【答案】 C

【解析】 由(x-1)f′(x)≥0 得 f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或 f(x)恒为

常数,故 f(0)+f(2)≥2f(1).故应选 C.

二、填空题

7.函数 y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.

【答案】 (-∞,-1)

【解析】 函数 y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1),

令 f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得 x<12,

∴函数 y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1).

8.已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,实数 a 的取值范围为________.

【答案】 a≥1

【解析】 由已知 a>1+xlnx在区间(1,+∞)内恒成立.

设 g(x)=1+xlnx,则 g′(x)=-lxn2x<0 (x>1),

∴g(x)=1+xlnx在区间(1,+∞)内单调递减, ∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1,
1+lnx ∴ x <1 在区间(1,+∞)内恒成立, ∴a≥1. 三、解答题 9.求证:方程 x-12sinx=0 只有一个根 x=0. 【解析】设 f(x)=x-12sinx,x∈(-∞,+∞), 则 f′(x)=1-12cosx>0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当 x=0 时,f(x)=0, ∴方程 x-12sinx=0 有唯一的根 x=0. 10.设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. (1)若 a=12,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)a=12时,f(x)=x(ex-1)-12x2, f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a. 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x∈(0,lna)时 g(x)<0, 即 f(x)<0. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1].


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