2015届四川省南充市高三第三次高考适应性考试数学试卷(文)

南充市高 2015 届第三次高考适应性考试 数学试卷(文科) 【试卷综述】这套试题,具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新, 适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解 析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重 考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血.但是综合知识、创新题目的题考 的有点少.这套试题以它的知识性、 思辨性、 灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法, 考潜能的检测功能 .试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方 向发展的作用. 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分·在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.设集合 M 满足{1,2} {1,2,3,4} ,则满足条件的集合 M 的个数为

() A.1 B .2 C .3. D. 4 【知识点】子集与真子集 A1 【答案】 【解析】C 解析:根据子集的定义,可得集合 M 必定含有 1、2 两个元素,而且 含有 1,2,3,4 中的至多三个元素.因此,满足条件{1,2}? M? {1,2,3,4}的集合 M 有: {1,2}、{1,2,3}、{1,2,4},共 3 个.故选:C. 【思路点拨】根据集合包含关系的定义,将满足条件的集合逐个列出,即可得到本题答案. 【题文】2.已知点 A(1,3),B(4,一 1) ,则与向量 AB 的方向相反的单位向量是()

3 4 A、 (- 5 , 5 )
【知识点】单位向量 F1 【答案】 【解析】 A

4 3 B、 (- 5 , 5 )

3 4 C、 ( 5 ,- 5 )

4 3 D、 ( 5 ,- 5 )

解析:AB = (4, ﹣1) ﹣ (1, 3) = (3 , ﹣4) , | AB |=

=5.

?
∴与向量 AB 的方向相反的单位向量

AB AB

??

? 3, ?4 ? ? ? ? 3 , 4 ?
5 ? ? ? 5 5?
.故选:A.

?
【思路点拨】利用与向量
2

AB AB
即可得出.

的方向相反的单位向量

【题文】3.函数 f ( x) ? x +bx 的图象在点 A(l,f(1) )处的切线与直线 3x - y+2=0 平行, 若数列

1 { f ( n ) }的前 n 项和为 Sn,则 S2015=( )

A、1

2013 B、 2014

2014 C、 2015

2015 D、 2016

【知识点】数列的求和;二次函数的性质.B5 D4 【答案】 【解析】D 解析:f′ (x)=2x+b,由直线 3x﹣y+2=0 可知其斜率为 3,

1 根据题意,有 f′ ( 1 ) =2+b=3 ,即 b=1 ,所以 f ( x ) =x2+x ,从而数列 { f ( n ) } 的通项为

, 所以 S2015=

=

, 故选: D.

1 【思路点拨】由 f′ (1)与直线斜率相等可得 f(x)的解析式,从而可得数列{ f ( n ) }的通项
公式,计算可得答案. 【题文】 4.某锥体三视图如右, 根据图中所标数据, 该锥体的各侧面中, 面积最大的是 ( )

A. 3

B. 2 5

C. 6

D. 8

【知识点】由三视图求面积、体积.G2 【答案】 【解析】C 解析:因为三视图复原的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面 矩形的长边的中点,底面边长分别为 4,2,后面是等腰三角形,腰为 3,所以后面的三角形 的高为: = ,所以后面三角形的面积为: ×4× =2 .两个侧面面积为:

×2×3=3,前面三角形的面积为: ×4× =6,四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中 面积最大的是前面三角形的面积:6.故选 C. 【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥,利用三视图的数据直接求解四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中面积,得到最大值即可. 【题文】5.设两圆 C1,C2 都与坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则两圆的圆心距|Cl C2|= ( )

A. 4

B、4 2

C、8

D、8 2 -4

【知识点】圆的标准方程.H3 【答案】 【解析】C 解析:∵ 两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,故圆在第 一象限内,设圆心的坐标为(a,a) ,则有|a|= ∴ a=5+2 ,或 a=5﹣2 ,故圆心为(5+2 ,5+2 ) 和 (5﹣2 , ,5﹣2 ) ,

故两圆心的距离|C1C2|=

=8,故选 C. ,

【思路点拨】 圆在第一象限内, 设圆心的坐标为 (a, a) , 则有|a|= 解方程求得 a 值,代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值. 【题文】6.函数 有零点( )个

A.1 B.2 C. 3 D、4 【知识点】根的存在性及根的个数判断.B10 【答案】 【解析】 B 解析:函数 f(x)=2x|log0.5x|﹣1,令 f(x)=0, 在同一坐标系中作出 y=( )x.与 y=|log0.5x|,如图,由图可得零点的个数为 2.故选 B.

【思路点拨】通过令 f(x)=0,将方程的解转化为函数图象的交点问题,从而判断函数的零 点个数. 【题文】7.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M(1,m) (m >0)到其焦点的距离为 5,
2

x2 ? y2 ? 1 2 双曲线 a 的左顶点为 A, 若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行、 则实数 a 等于 (
1 A、 9 1 B、 4 1 C、 3 1 D、 2



【知识点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.H6 H7 【答案】 【解析】A 解析:抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ ,

由抛物线的定义可得 5=1+ ,可得 p=8,即有 y2=16x,M(1,4) ,

双曲线

﹣y2=1 的左顶点为 A(﹣

,0) ,渐近线方程为 y=±

x,

直线 AM 的斜率为

,由双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,

可得 = ,解得 a= ,故选 A. 【思路点拨】求得抛物线的准线方程,再由抛物线的定义可得 p=8,求出 M 的坐标,求得 双曲线的左顶点和渐近线方程,再由斜率公式,结合两直线平行的条件:斜率相等,计算即 可得到 a 的值. 【题文】8.函数 值,且对 在 x=1 和 x=-1 处分别取得最大值和最小



,则函数 f(x+1)一定是(



A.周期为 2 的偶函数 B.周期为 2 的奇函数 C.周期为 4 的奇函数 D.周期为 4 的偶函数 【知识点】正弦函数的图象.B4 【答案】 【解析】C 解析:由题意可得,[﹣1,1]是 f(x)的一个增区间,函数 f(x)的 周期为 2×2=4, ∴ =4,ω= ,∴f(x)=Asin( x+φ) .再根据 f(1)=Asin(ω+φ)=A,可得 sin( +φ)

=cosφ=1,故 φ=2kπ,k∈ z,f(x)=Asin x,故 f(x)是周期为 4 的奇函数,故选:C. 【思路点拨】由题意可得函数 f(x)的周期为 4,由此求得 ω 的值,再根据 f(1)=A,求 得 φ 的值,可得 f(x)的解析式,从而得出结论. 【题文】9.已知正方体 ABCD 一 A1B1C1D1, ,下列命题:

③向量

AD1 与向量 A1B 的夹角为 600 | AB AA1 AD | ,其中正确命题序号是

④正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的体积为

A.①② B.①②③ C.①④ D.①②④. 【知识点】空间向量及应用 G9 【答案】 【解析】A 解析:如图所示:

以点 D 为坐标原点,以向量





所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标

系, 设棱长为 1,则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) , A1(1,0,1) ,B1(1,1,1) ,C1(0,1,1) ,D1(0,0,1) , 对 于 ①: ∴ 对于② : ∴ 对于③ : 对于④:∵ =2.∴ ② 错误; , ,∴④错误,故选 A. , , 所在直线分别为 x,y, ,∴ ,∴ ③ 正确; , ∴ ,∴ | |= ,| , |=1,∴ ① 正确; , , ,

【思路点拨】结合图形,以点 D 为坐标原点,以向量

z 轴,建立空间直角坐标系,然后结合空间向量的坐标运算, 对四个命题进行逐个检验即可.

【题文】10.设函数 不同实数 根 ,则 等于

,则关于 x 的方程

有三 5 个

C. 5 【知识点】分段函数的应用.B10

D. 13

【答案】 【解析】C 解析:∵ 方程有 3 个实数根,

=k 有解时总会有 2 个根,

所以必含有 1 这个根,令 故选 C.

=1,解得 x=2 或 x=0,所以 x12+x22+x32=02+12+22=5.

【思路点拨】根据函数 f(x)的对称性可知

=k 有解时总会有 2 个根,进而根据方程

有且仅有 3 个实数根可知必含有 1 这个根,进而根据 f(x)=1 解得 x,代入 x12+x22+x32 答 案可得. 【题文】第 II 卷(非选择题,满分 100 分) 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】11、若复数 x=(1+ai) (2+i)的实部与虚部相等,则实数 a= 【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.L4

1 【答案】 【解析】3
所以

解析:

x=?1 +ai ?? 2+i ? ? 2 ? a ? ? 2a ?1? i

, 因为实部与虚部相等,

2 ? a ? 2a ? 1 ,解得

a?

1 1 3 ,故答案为 3

【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘法,虚数单位 i 的幂运算性质,把复数化为最简形 式,由实部和虚部相等,求出实数 a.

【题文】12.若函数 【知识点】导数的运算 B11

,则



6 【答案】 【解析】 5 ?


解析:因为

f ? x ? ? 2x ? f ? ?1? ? x2

,所以

f ? ? x ? ? 2 f ? ?1? ? 2x

,则

2 x ? 1 可得 f ? ?1? ? ?2 ,所以 f ? x ? ? ?4x ? x ,则 f ? ?1? ? 5 ,而 f ? ? x ? ? ?4 ? 2x ,则

f ? ? ?1? ? ?6

,即

f ? ? ?1? 6 ?? f ? ?1? 5

6 ,故答案为 5 。 ?

【思路点拨】通过导函数的运算求得

f ? ?1? ? ?2


,代回原函数式可得

f ? x ? ? ?4x ? x2

以及

f ? ? x ? ? ?4 ? 2x

,即可求出

f ? ?1? ? 5

f ? ? ?1? ? ?6

,最后写出结果。

? 【题文】 13.在区间 (0,2 ) 上随机取一个数 x, 使得 0<tanx<1 成立的概率等于
【知识点】几何概型 K3 【答案】 【解析】 解析:∵ 0<tanx<1,x∈ (0, )



∴0<x<

,以区间长度为测度,可得所求概率为

= ,故答案为: .

【思路点拨】求出满足 0<tanx<1,x∈ (0, )的 x 的范围,以长度为测度,即可求得概 率. 【题文】14.阅读右边框图,为了使输出的 n=5,则输人的整数 P 的最小值为

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】8 解析:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S n 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3

第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 否 故 S=7 时,满足条件 S<p S=15 时,不满足条件 S<p 故 p 的最小值为 8 故答案为:8 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是利用循环计算变量 S 的值,并输出满足退出循环条件时的 k 值,模拟程序的运行, 用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果. 【题文】 15. 平面内两定点 M (0, 一 2) 和 N(0,2) , 动点 P (x, y) 满足 动点 P 的轨迹为曲线 E,给出以下命题: ① ? m,使曲线 E 过坐标原点; ②对 ? m,曲线 E 与 x 轴有三个交点; ③曲线 E 只关于 y 轴对称,但不关于 x 轴对称; ④若 P、M、N 三点不共线,则△ PMN 周长的最小值为 2 m +4; ⑤曲线 E 上与 M,N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的另外一点为 H,则四边形 GMHN 的面积不大于 m。 其中真命题的序号是 . (填上所有真命题的序号) 【知识点】命题的真假判断与应用;轨迹方程.A2 【答案】 【解析】①④⑤ 解析:∵ 平面内两定点 M(0,﹣2)和 N(0,2) ,动点 P(x,y) 满足| |?| |=m(m≥4) ,∴ ? =m ,

① (0,0)代入,可得 m=4,∴ ① 正确; ② 令 y=0,可得 x2+4=m,∴ 对于任意 m,曲线 E 与 x 轴有三个交点,不正确; ③ 曲线 E 关于 x 轴对称,但不关于 y 轴对称,故不正确; ④ 若 P、M、N 三点不共线,| 2 +4,正确; |+| |≥2 =2 ,所以△ PMN 周长的最小值为

⑤ 曲线 E 上与 M、N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的点为 H,则四边形 GMHN 的面积为 2S△ MNG=|GM||GN|sin∠ MGN≤m,∴ 四边形 GMHN 的面积最大为不大于 m,正确. 故答案为:① ④ ⑤ . 【思路点拨】利用平面内两定点 M(0,﹣2)和 N(0,2) ,动点 P(x,y)满足| (m≥4) ,可得 ? |?| |=m

=m,对选项进行分析,即可得出结论.

【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤. 【 题 文 】 16. 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 对 边 a , b , c , 已 知 向 量

(l)求角 A 的大小; (2)若 ,求边 a 的最小值.

【知识点】向量在几何中的应用.F3 【答案】 【解析】 (l) (2)2

解析: (1)∵ 向量 =(c﹣2b,a) , =(cosA,cosC)且 ⊥ .∴ (c﹣2b)cosA+acosC=0 ∴ sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA,∴ sin(A+C)=2sinBcosA,∴ sinB=2sinBcosA,∴ cosA= 又∵ A 为三角形内角,∴ A= (2)若 ;

=4,即 cb=8,由余弦定理得

a2=b2+c2﹣2bcsosA=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣24 又由基本不等式可得(b+c)2≥4bc=32 ∴ a2≥8,即 边 BC 的最小值为 2 .

【 思 路 点 拨 】( 1 ) 根 据 正 弦 定 理 边 角 互 化 , 我 们 易 将 已 知 条 件 中 转化为关于 A 角的三角方程,解方程,即可求出 A 角大小. (2)由(1)的中结论,代入余弦定理,结合基本不等式,可得两边和的最小值,代入即可 求出边 BC 的最小值. 【题文】17 一已知数列{ 的前 n 项和 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{| bn |}的前 n 项和. 【知识点】递推公式;数列的和 D1 D4 }中,首项 a1=1, ,数列{bn}

? 5n ? n 2 ?1 ? x ? 3, n ? N * ? ? ? 2 Tn ? ? 2 ? n ? 5n ? 12 n ? 3, n ? N * ? ? b ? n ? 3 ? ? 2 【答案】 【解析】 (l) n ; (2)
解析: (l)由已知 即

log 3 an ? log 3 ? an ?1 ? 3n ?1 ? ? log 3 an ?1 ? ? n ? 1? , ? n ? 2 ?



log3 an ? log3 an?1 ? n ?1 ,
log 3 an ? log 3 a1 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ... ? ? n ? 1? ? ?

累加得:



a1 ? 1,? log3 an ?

n ? n ? 1? 2 。 Sn ? log3 an n2 ? 5n ? log a ? 2 n ? 3 n 9n 2

对于数列

?bn ? 的前 n 项和:

所以当 n ? 2 时,

bn ? Sn ? Sn?1 ? n ? 3

5n ? n 2 T ? ? Sn ? ?b ? b ? n ?3 ? 0 , n T 2 , (2)设数列 n 的前 n 项和 n ,则当 1 ? n ? 3 时, n
当 n ? 3 时,

Tn ? Sn ? 2S3 ?

n2 ? 5n ? 12 2 ,

? 5n ? n 2 1 ? x ? 3, n ? N * ? ? ? ? Tn ? ? 2 2 ? n ? 5n ? 12 n ? 3, n ? N * ? ? ? ? 2 故
【思路点拨】 (l)两边取对数,变形后可利用累加法;(2)对 n 分两种情况可得结果. 【题文】18.为了调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样, 从这两校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据 的茎叶图如下:

(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计 甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格) ; (Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 【知识点】茎叶图;众数、中位数、平均数.I2 【答案】 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ)0.5 解析: (Ⅰ)设甲校高三年级总人数为 n,则 =0.05,∴ n=600, 又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为 5, ∴ 估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率 1﹣ = ; (Ⅱ)设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 a1,a2, 由茎叶图可知, 30(a1﹣a2 )=(7﹣5)+55+(2﹣8)+(5﹣0)+(5﹣6)+…+92=15, ∴ a1﹣a2= =0.5. ∴利用样本估计总体,故估计 x1﹣x2 的值为 0.5. 【思路点拨】 (Ⅰ)先设甲校高三年级总人数为 n,利用甲校高三年级每位学生被抽取的概 率为 0.05 得 =0.05 求出 n,又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为 5, 利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率; (Ⅱ)设样本中甲、 乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 a1,a2,利用茎叶图中同一行的数据之 差可得 30(a1﹣a2 )=(7﹣5)+55+(2﹣8)+(5﹣0)+(5﹣6)+…+92=15,从而求出 a1 ﹣a2 的值,最后利用样本估计总体的思想得出结论即可. 【题文】19.如图,直三棱柱 ABC 一 A1B1 C1 中,AB= 2 ,AC=3 ,BC= 5 ,D 是 ACl 的中点,E.是侧棱 BB1 上的一个动点 ( I)当 E 是 BB1 的中点时,证明:DE//平面 A1B1C1 ,估计 的值.

BE BB1 的值,若不 (2)在棱 BB1 上是否存在点 E 使平面 AC1E⊥平面 AC1C?若存在,求出

存在,说明理由

【知识点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定.G10 G11 【答案】 【解析】 (l)见解析; (2)见解析 解析: (1)证明:取 A1C1 中点 F,连接 DF,DE,B1F ∵ D 是 AC1 的中点,E 是 BB1 的中点. ∴ DF∥ AA1,B1E∥ AA1,DF= AA1,B1E= AA1, ∴ DF∥ B1E,DF=B1E,所以 DE∥ B1F,DE=B1F…(2 分) 又 B1F? 平面 A1B1C1,所以 DE∥ 平面 A1B1C1…(4 分) (2)解:分别在两底面内作 BO⊥ AC 于 O,B1O1⊥ A1C1 于 O1,连接 OO1,则 OO1∥ AA1,以 O 为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OO1 为 z 轴建立直角坐标系,

设 AA1=t,BE=h,则 λ= 平面 A1ACC1 的法向量为 设平面 AC1E 的法向量为 ∵ =(1,1,h) ,

,A(0,﹣1,0) ,C1(0, =(1,0,0)…(7 分) =(x,y,z) ,h)

,t) ,E( (1,0,h) .

=(0,

∴ 由 取 z=1 得 y= ∴ 由题知

可得 ,x=

…(9 分)

…(11 分) ,∴ =0



,∴ λ=

=

所以在 BB1 上存在点 E,当

时,二面角 E﹣AC1﹣C 是直二面角.…(12 分)

【思路点拨】 (1)取 A1C1 中点 F,连接 DF,DE,B1F,利用三角形中位线的性质,可得线 线平行,利用线面平行的判定,可得 DE∥平面 A1B1C1; (2)建立直角坐标系,求出平面 A1ACC1 的法向量、平面 AC1E 的法向量,利用数量积为 0 建立方程,即可求得结论.

x2 ?
【题文】20·已知椭圆 C:

y2 3 ?1 m 的焦点在 y 轴上,且离心率 e= 2 ,过点 M(0,3)

的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A .B (l)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆上一点,且满足 数 的取值范围. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8 (0 为原点) ,当 时,求实

【答案】 【解析】 (l)

(2) (﹣2,﹣

)∪ (

,2)

解析: (1)由题知 a2=m,b2=1,∴ c2=m﹣1



,解得 m=4.

∴ 椭圆的方程为

. (4 分) ,不符合条件. (5 分)

(2)当 l 的斜率不存在时,

设 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+3.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) ,联立 l

和椭圆的方程:

, .消去 y,整理得(4+k2)x2+6kx+5=0,

∴ △ = (6k) 2﹣4× (4+k2) ×5=16k2﹣80>0, 解得 k2>5. 且







=

=

由已知有 , ∴ 5<k2<8. (9 分) ∵



整 理 得 13k4 ﹣ 88k2 ﹣ 128 < 0 , 解 得

,即(x1,y1)+(x2,y2)=λ(x0,y0) ,

∴ x1+x2=λx0,y1+y2=λy0

当 λ=0 时, 无解.



,显然,上述方程

当 λ≠0 时,





∵ P(x0,y0)在椭圆上,即

+

=1,

化简得 ∴ λ∈ (﹣2,﹣

.由 5<k2<8,可得 3<λ2<4, )∪ ( ,2) .即 λ 的取值范围为(﹣2,﹣ )∪ ( ,2) . (12 分)

【思路点拨】 (1)由题知 a2=m,b2=1,∴c2=m﹣1,且离心率为 椭圆的方程. (2)当 l 的斜率不存在时,

,得 m=4.由此能求出 ,不符合条件.设 l 的

斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+3.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) ,联立 l 和椭圆

的方程: 行求解.

,消去 y,整理得(4+k2)x2+6kx+5=0,再由根的判别式和韦达定理进

【题文】21·已知二次函数 时 f(x)>0, 当 x ? (-2,0)时,f(x)<0,且对 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设函数 (3)在(2)的条件下,若关于 t 的函数 时的最大值 H(t) ; 的图象与直线 y=0 无公共点, ,不等式 恒成立。

求实数 p 的取值范围。 【知识点】函数恒成立问题;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法.B11 B12

【答案】 【解析】 (l) f (x) =x2+2x; (2)

(3)

解析: (l)由已知得 a>0,且﹣2 和 0 为方程 ax2+bx+c=0 的两根,∴ 可设 f(x)=ax(x+2) , 又由 f(x)≥(a﹣1)x﹣1 恒成立得(a﹣1)2≤0,∴ a=1,∴ f(x)=x2+2x; (2) F (x) =tf (x) ﹣x﹣3=tx2+ (2t﹣1) x﹣3 (t≥0) , 以下分情况讨论 F (x) 在 时的最大值 H(t) (1)当 t=0 时,F(x)=﹣x﹣3 在 时单调递减, ;

(2)当 t>0 时,F(x)图象的对称轴方程为 的大小 ,F(x)max=8t﹣5;

.∵

,∴ 只需比较



综上可得 (3)由题意,只需要[p﹣H(t)]>0,且 p﹣H(t)=1 无解,即[p﹣H(t)]max>0,且 1 不在[p﹣H(t)]值域内

由 (II) 可知 H (t) 的最小值为

, 即﹣H (t) 的最大值为 , ∴

, ∴

【思路点拨】 (l)由已知得 a>0,且﹣2 和 0 为方程 ax2+bx+c=0 的两根,故可设 f(x)=ax (x+2) ,利用 f(x)≥(a﹣1)x﹣1 恒成立,求出 a 的值; (2)由题意,分情况讨论 F(x) 在 时的最大值 H(t) .当 t=0 时,F(x)是单调函数,可求最大值;当 t>0 时,利用二次函数求最值的方法,分类讨论; (3)由题意,只需要[p﹣H(t)]>0,且 p﹣H (t)=1 无解,即[p﹣H(t)]max>0,且 1 不在[p﹣H(t)]值域内,故问题得解。


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