2018高考数学大一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算课件理


第五章 平面向量
第一节 平面向量的 概念及线性 运算
本节主要包括2个知识点: 1.平面向量的有关概念; 2.平面向量的线性运算.

? ? ?

突破点(一)
基础联通
名称

平面向量的有关概念

抓主干知识的“源”与“流”
定义 备注

既有 大小 又有 方向 的量叫 平面向量是自由向 向量 做向量;向量的大小叫做向 量的 长度 (或称模) 零向量 长度为 0 的向量;其方向是 任意的 _________ 量,平面向量可自由 平移 记作0

名称 单位向量

定义

备注 非零向量a的单位向量为

1个单位 的向量 长度等于________
方向相同或相反 的非零向 ________________
量,又叫做共线向量

a ± |a| 0与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不 等,不能比较大小 0的相反向量为0

平行向量

相等 且方向相同 相等向量 长度_____ ____的向量 相等 且方向相反 相反向量 长度_____ ____的向量

考点贯通
[典例]

抓高考命题的“形”与“神”
平面向量的有关概念 a (1)设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使|a|

b =|b|成立的充分条件是 A.a=-b C.a=2b B.a∥b D.a∥b 且|a|=|b|

(

)

a b [解析] (1)因为向量|a|的方向与向量 a 相同, 向量|b|的方向 a b 与向量 b 相同,且|a|=|b|,所以向量 a 与向量 b 方向相同,故 a 2b b a 可排除选项 A,B,D.当 a=2b 时,|a|=|2b|=|b|,故 a=2b 是|a| b =|b|成立的充分条件. [答案] (1)C

(2)设 a0 为单位向量,下列命题中:①若 a 为平面内的某个 向量,则 a=|a|· a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.假命题的个数是 A.0
[解析]

( D. 3

)

B.1

C.2

向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,

但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0, 故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. [答案] D

[易错提醒]

(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相 等,但它们的模可以比较大小; (2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代 数特征与几何特征; (3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移 到同一直线上.

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b;

??? ? ???? ②若A,B,C,D是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形
ABCD为平行四边形的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c; ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是 A.②③ B.①② C.③④ ( D.①④ )

解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定 ??? ? ???? ??? ? ? ???? ???? ??? 相同.②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC .又A, B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反 ??? ? ??? ? ???? 之,若四边形ABCD为平行四边形,则 AB ∥ DC 且| AB |= ??? ? ???? ???? | DC |,因此, AB = DC .③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且 方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长 度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时, 即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要 条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是② ③.故选A. 答案:A

2.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③λa=0(λ为实数),则λ必为零; ④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中错误的命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ( )

解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终 点.②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不 能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大 小.③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误, 当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向 量.错误的命题有3个,故选C. 答案:C

??? ? 3.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则图中与 OC 相等
的向量有________.

??? ? ??? ? ??? ? 答案: AB , ED , FO

1 4.如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的 3 处相交的两个全等 a 的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为 3 的若干个向量,则

???? (1)与向量 GH 相等的向量有________; ???? (2)与向量 GH 共线,且模相等的向量有________; ??? ? (3)与向量 EA共线,且模相等的向量有________.
解析:向量相等?向量方向相同且模相等. 向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合. ???? ???? ? ???? ??? ???? ? ??? ? ???? 答案:(1) LB? , HC (2) EC ? , LE , LB? ,GB , HC ???? ??? ? ???? ? ???? ???? ? (3) EF , FB , HA? , HK , KB?

突破点(二)

平面向量的线性运算

基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律: b+a ; a+b=______ 结合律: (a+b)+c= a+(b+c) __________ a-b=a+(-b)

加法

求两个向量 和的运算

求a与b的相 减法 反向量-b 的和的运算

向量运算

定义 求实数λ

法则(或几何意义)

运算律

|λ||a| , |λa|=______
(λ μ)a ; 当λ>0时,λa与a的方 λ(μ a) =_______
λa+μa ; 向_____ 相同 ;当λ<0时, (λ+μ)a=_______ λa+λb 相反 ; λ(a+b) =________ λa与a的方向______

数乘

与向量a 的积的运 算

0 当λ=0时,λa=__

2.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,

b=λa 使得_______.

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

平面向量的线性运算 ??? ? ??? ? ???? [例 1] (1)在△ABC 中, AB =c, AC =b.若点 D 满足 BD = ???? ???? 2 DC ,则 AD = ( )
1 2 A.3b+3c
[解析]

5 2 2 1 2 1 B.3c-3b C.3b-3c D.3b+3c ? ??? ? ??? ? ???? ??? ???? 由题可知 BC = AC - AB =b-c,∵ BD =2 DC ,

??? ? 2 ??? ???? ??? ? ??? ? ? 2 2 2 1 ∴ BD =3 BC =3(b-c),则 AD = AB + BD =c+3(b-c)=3b+3
c,故选 D. [答案] D

???? 1 ???? (2)在△ABC 中,N 是 AC 边上一点且 AN =2 NC ,P 是 BN ??? ? ??? ? 2 ???? 上一点,若 AP =m AB +9 AC ,则实数 m 的值是________.
???? 1 ???? ???? [解析] 如图, 因为 AN =2 NC , 所以 AN = ??? ? ??? ? 2 ???? ??? ? 2 ???? 1 ???? 3 AC ,所以 AP = m AB + 9 AC = m AB + 3 AN .
2 1 因为 B,P,N 三点共线,所以 m+3=1,则 m=3. [答案] 1 3

[方法技巧]
1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形 中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性 质,把未知向量用已知向量表示出来求解.

[方法技巧]
2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化 为要求的向量形式. (3)比较,观察可知所求.

平面向量共线定理的应用
[例 2] 设两个非零向量 a 和 b 不共线. ??? ? ??? ? ??? ? (1)若 AB =a+b,BC =2a+8b,CD =3(a-b).求证:A, B,D 三点共线.

??? ? ??? ? ??? ? [解] 证明: 因为 AB =a+b,BC =2a+8b, CD =3(a-b), ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 所以 BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 AB , ??? ? ??? ? 所以 AB , BD 共线. ??? ? ??? ? 又 AB 与 BD 有公共点 B,
所以 A,B,D 三点共线.

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.
[ 解]

因为 ka+b 与 a+kb 共线,

所以存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),
? ?k=λ, 即? ? ?1=λk,

解得 k=± 1. 即 k=1 或-1 时,ka+b 与 a+kb 共线.

[方法技巧]

平面向量共线定理的三个应用

(1)证明向量共线:对于非零向量a,b,若存在实数 λ,使a=λb,则a与b共线.

??? ? ? ???? ??? (2)证明三点共线:若存在实数λ,使 AB =λ AC , AB ???? 与 AC 有公共点A,则A,B,C三点共线.
(3)求参数的值:利用向量共线定理及向量相等的条件 列方程(组)求参数的值. [提醒] 共点. 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点一]如图所示,下列结论正确的是 (
??? ? 3 ??? ? 3 3 ① PQ =2a+2b;② PT =2a-b;

)

??? ? 3 ??? ? 3 1 ③ PS =2a-2b;④ PR =2a+b.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④

??? ? 3 3 解析:根据向量的加法法则,得 PQ = 2 a+ 2 b,故①正

??? ? 3 3 确;根据向量的减法法则,得 PT = 2 a- 2 b,故②错误;
? ??? ? 3 ??? ? ??? ? ??? 3 3 1 PS = PQ + QS =2a+2b-2b=2a-2b,故③正确; PR = ??? ? ??? ? 3 3 3 1 PQ + QR =2a+2b-b=2a+2b,故④错误.故选C.

答案:C

??? ? ???? 2. [考点二] 已知a,b是不共线的向量, AB =λa+b, AC =a
+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为( A. λ + μ = 2 C.λμ=-1 B. λ - μ = 1 )

D.λμ=1 ??? ? ??? ? ???? 解析:∵A,B,C三点共线,∴ AB ∥ AC ,设 AB =
? ???? ?λ=m, m AC (m≠0),则λa+b=m(a+μb),∴ ? ? ?1=mμ,

∴λμ

=1,故选D.

答案:D

3. [考点一] 在平行四边形ABCD中,E,F分 别是BC,CD的中点,DE交AF于H,记 ??? ? ??? ???? ? ? ) AB , BC 分别为a,b,则 AH = ( 2 4 A.5a-5b 2 4 C.-5a+5b 2 4 B.5a+5b 2 4 D.-5a-5b

解析:如图,过点F作BC的平行线交DE于

??? ? 1 ???? 1 G,则G是DE的中点,且 GF = 2 EC = 4
???? ??? ? ??? ? 1 ???? 1 BC ,∴ GF = 4 AD ,则△AHD∽△FHG,从而 HF = 4
???? ? ???? ? 4 ???? ???? ???? ???? ???? ? 4 1 AH ,∴ AH = 5 AF , AF = AD + DF =b+ 2 a,∴ AH = 5
? 1 ? 2 4 ?b+ a?= a+ b,故选B. 2 ? 5 5 ?

答案:B

4. [考点二] 已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点 1 相同.若a,tb, 3 (a+b)三向量的终点在同一直线上,则t =________.

1 解析:∵a,tb, 3 (a+b)三向量的终点在同一条直线上,且a 1 2 1 与b起点相同.∴a-tb与a- 3 (a+b)共线,即a-tb与 3 a- 3 b 2 ? 1=3λ, ? ?2 ? 1 ? 共线,∴存在实数λ,使a-tb=λ 3a-3b? ,∴ ? ? ? ?t=1λ, ? 3



3 1 1 得λ= 2 ,t= 2 ,若a,tb, 3 (a+b)三向量的终点在同一条直线 1 上,则t=2. 1 答案:2

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

??? ? 1.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点, BC ??? ? =3 CD ,则 ( )
???? ? 4 ???? 1 ??? A. AD =-3 AB +3 AC ???? 1 ??? ? 4 ???? B. AD =3 AB -3 AC

???? 4 ??? ? 1 ???? C. AD =3 AB +3 AC

???? 4 ??? ? 1 ???? D. AD =3 AB -3 AC

???? ???? ??? ? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ??? 解析: AD = AC + CD = AC +3 BC = AC +3( AC - AB )=
? ? 4 ???? 4 ???? 1 ??? 1 ??? 3 AC -3 AB =-3 AB +3 AC ,故选A.
答案:A

2.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)设D,E,F分别为△ABC的三边 ??? ? ??? ? BC,CA,AB的中点,则 EB + FC = ( )

???? A. AD

??? ? ? 1 ???? 1 ??? B.2 AD C. BC D.2 BC ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? 解析: EB + FC =2( AB + CB )+2( AC + BC )=

? ???? ???? 1 ??? 2( AB + AC )= AD ,故选A.
答案:A

3.(2015· 新课标全国卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+ 2b平行,则实数λ=________.
解析:∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b), ? 1 λ=2, ? ? λ = t , ? 即λa+b=ta+2tb,∴? 解得? ? ?1=2t, ?t=1. ? 2 1 答案:2


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