标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:复习课(三) 数系的扩充与复数的引入


复习课(三) 数系的扩充与复数的引入 复数的概念 (1)复数的概念是学习复数的基础,是考试的重要的考查内容之一,一般以选择题或填 空题形式出现,难度较小. (2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念. [考点精要] 1.复数是实数的充要条件 (1)z=a+bi(a,b∈R)∈R?b=0. (2)z∈R?z= z . (3)z∈R?z2≥0. 2.复数是纯虚数的充要条件 (1)z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数?a=0,且 b≠0. (2)z 是纯虚数?z+ z =0(z≠0). (3)z 是纯虚数?z2<0. 3.复数相等的充要条件
?a=c, ? a+bi=c+di?? (a,b,c,d∈R). ? ?b=d

[典例] 实数 k 分别为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件? (1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数;(4)是 0. [解] (1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. (1)当 k2-5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,该复数为实数. (2)当 k2-5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,该复数为虚数.
?k2-5k-6≠0, ? (3)当? 2 即 k=4 时,该复数为纯虚数. ?k -3k-4=0, ? ?k2-3k-4=0, ? (4)当? 2 即 k=-1 时,该复数为 0. ? ?k -5k-6=0,

[类题通法] 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是 a+bi(a,b∈R)的形式时,要通过变形化为 a+bi 的形式,以便确定其实 部和虚部. (2)求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根. [题组训练] -2 1.若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z2+ z 的虚部为( )

A.0 C.1

B.-1 D.-2

解析:选 A 因为 z=1+i,所以 z =1-i,所以 z2+ z 2=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i) =0.故选 A. 2.复数 z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当 x 为何实数时, (1)z∈R;(2)z 为虚数;(3)z 为纯虚数. 解:(1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为 0, x -3x-3>0,① ? ? ∴?log2?x-3?=0,② ? ?x-3>0.③ 由②,得 x=4,经验证满足①③式. ∴当 x=4 时,z∈R. (2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0, x -3x-3>0, ? ? ∴?log2?x-3?≠0, ? ?x-3>0,
2 2

? ?x>3+ 21或x<3- 21, 2 2 解得? ? ?x>3且x≠4,

3+ 21 即 <x<4 或 x>4 时,z 为虚数. 2 (3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部不为 0, log ?x -3x-3?=0, ? ?log ?x-3?≠0, ∴? x -3x-3>0, ? ?x-3>0,
3 2 2 2

? ?x=-1或x=4, 解得? ?x>3且x≠4, ?

方程组无解.∴复数 z 不可能是纯虚数. 复数加、减法的几何意义

(1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型,以选择题或填空题形式考 查,难度较小. (2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式, 再利用复数的几何意义解 题. [考点精要] 1.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi); (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)的对应向量 OZ― →是以原点 O 为起点的,否则就谈不上一一

对应,因为复平面上与 OZ― →相等的向量有无数个. 2.复数的模 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a2+b2; (2)从几何意义上理解,复数 z 的模表示复数 z 对应的点 z 和原点间的距离. [典例] (1)若复数(a+i)2 的对应点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( A.-1 C.- 2 (2)复数 z= B.1 D. 2 m-2i (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( 1+2i B.第二象限 D.第四象限
2 2

)

)

A.第一象限 C.第三象限 [解析] (1)因为(a+i) =a -1+2ai,

又复数(a+i)2 的对应点在 y 轴负半轴上,
2 ? ?a -1=0, ? 所以 即 a=-1. ?2a<0, ?

(2)z=

m-2i ?m-2i??1-2i? = 1+2i ?1+2i??1-2i?

1 = [(m-4)-2(m+1)i], 5 1 2 其实部为 (m-4),虚部为- (m+1), 5 5
? ? ?m-4>0, ?m>4, 由? 得? ?-2?m+1?>0. ? ? ?m<-1.

此时无解.故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限. [答案] (1)A [类题通法] 在复平面内确定复数对应点的步骤 (1)由复数确定有序实数对,即 z=a+bi(a,b∈R)确定有序实数对(a,b). (2)由有序实数对(a,b)确定复平面内的点 Z(a,b). [题组训练] 1.(全国卷Ⅲ)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( A.1 C. 3 B. 2 D.2 ) (2)A

解析:选 B ∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi. 又∵x,y∈R,∴x=1,y=1.

∴|x+yi|=|1+i|= 2,故选 B. 2. 若复数(-6+k2)-(k2-4)i 所对应的点在第三象限, 则实数 k 的取值范围是________.
?-6+k2<0, ? 解析:由已知得? 2 ∴4<k2<6. ? k - 4>0 , ?

∴- 6<k<-2 或 2<k< 6. 答案:(- 6,-2)∪(2, 6) 3.已知复数 z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在复平面上所对应的点分别为 A,B, C.若 OC― →=2OA― →+OB― →,则 a=________,b=________. 解析:∵OC― →=2OA― →+OB― → ∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)
? ?1=4+a, 即? ?-4=6+b, ? ? ?a=-3, ∴? ?b=-10. ?

答案:-3 -10 复数的代数运算

(1)复数运算是本章的重要内容,是高考的考查的重点和热点,每年高考都有考查,一般 以复数的乘法和除法运算为主. (2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则, 用好复数相等的充要条 件这一重要工具,将复数问题实数化求解. [考点精要] 复数运算中常见的结论 (1)(1± i)2=± 2i, 1+i 1-i =i, =-i. 1-i 1+i

(2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i;
+ + +

(4)i4n+i4n 1+i4n 2+i4n 3=0.
+ + +

[典例] (1)设复数 z 满足 A.1 C. 3

1+z =i,则|z|=( 1-z B. 2 D.2 =( z z -1 4i )

)

(2)(全国卷Ⅱ)若 z=1+2i,则 A.1 C.i

B.-1 D.-i

[解析] (1)由

1+z -1+i ?-1+i??1-i? 2i =i,得 z= = = =i,所以|z|=|i|=1,故选 A. 2 2 1-z 1+i

4i 4i (2)因为 z=1+2i,则 z =1-2i,所以 z z =(1+2i)(1-2i)=5,则 = =i.故选 z z -1 4 C. [答案] (1)A [类题通法] 进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算. ①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项). ②复数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要注意 i 的幂的性质,区分(a+bi)2 =a2+2abi-b2 与(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母 同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2 与(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)复数的四则运算中含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看作另一类同类项, 分别合并即可,但要注意把 i 的幂写成最简单的形式. (3)利用复数相等,可实现复数问题的实数化. [题组训练] 1.复数 z 满足 z( z +1)=1+i,其中 i 是虚数单位,则 z=( A.1+i 或-2+i C.i 或-1+i B.i 或 1+i D.-1-i 或-2+i ) (2)C

解析:选 C 设 z=a+bi(a,b∈R),由 z( z +1)=1+i 得 a2+b2+a+bi=1+i,所以 b =1,a2+a+1=1,所以 a=0 或 a=-1.故 z=i 或 z=-1+i.

? 2 ?2 016 ?1+i?6 2.i 是虚数单位,? ? +?1-i? =________. ? ? ?1-i? ?? 2 ?2?1 008 ?1+i?6 ? 2 ?1 008 6 1008 6 4×252 4+2 4 2 解析:原式=?? +i =i +i =0. ? ? +?1-i? =?-2i? +i =i +i =i ? ? ??1-i? ?
答案:0

1.若 i 为虚数单位,则复数 z=5i(3-4i)在复平面内对应的点所在的象限为( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)

解析:选 A z=5i(3-4i)=20+15i,则复数对应的点在第一象限. 2.(山东高考)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若 a+i=2-bi ,则 (a+bi)2=( A.3-4i B.3+4i )

C.4-3i

D.4+3i

解析:选 A 由 a+i=2-bi 可得 a=2,b=-1,则(a+bi)2=(2-i)2=3-4i. 3.已知 z 是纯虚数, A.2i C.-i z+2 是实数,则 z=( 1-i B.i D.-2i )

z+2 2+bi ?1+i??2+bi? 解析: 选 D 因为 z 是纯虚数, 则令 z=bi(b∈R, b≠0), 所以 = = 2 1-i 1-i = ?2-b?+?2+b?i z+2 .又 是实数,则 b+2=0,b=-2,所以 z=-2i,故选 D. 2 1-i 4.(山东高考)若复数 z 满足 2z+ z =3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z=( A.1+2i C.-1+2i B.1-2i D.-1-2i )

解析:选 B 法一:设 z=a+bi(a,b∈R),则 2z+ z =2a+2bi+a-bi=3a+bi=3-2i. 由复数相等的定义,得 3a=3,b=-2,解得 a=1,b=-2,∴z=1-2i. 法二:由已知条件 2z+ z =3-2i①,得 2 z +z=3+2i②,解①②组成的关于 z, z 的 方程组,得 z=1-2i.故选 B. 5.(全国卷Ⅰ)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的 取值范围是( A.(-3,1) C.(1,+∞) ) B.(-1,3) D.(-∞,-3)

? ?m+3>0, 解析:选 A 由题意知? 即-3<m<1.故实数 m 的取值范围为(-3,1). ?m-1<0, ?

6.设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z2≥0,则 z 是实数 B.若 z2<0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z2≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0 解析:选 C 设 z=a+bi(a,b∈R),

)

? ?ab=0, 选项 A,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi≥0,则? 2 2 ?a ≥b , ?

故 b=0 或 a,b 都为 0,即 z 为实数,正确.
? ? ?ab=0, ?a=0, 选项 B, z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0, 则? 2 2 则? 故 z 一定为虚数, 正确. 选 ?a <b , ? ? ?b≠0,

项 C,若 z 为虚数,则 b≠0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,由于 a 的值不确定,故 z2 无法与
? ?a=0, 0 比较大小,错误.选项 D,若 z 为纯虚数,则? 则 z2=-b2<0,正确. ?b≠0, ?

2 7.下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为________. 解析:∵z= 2 =-1-i,∴|z|= ?-1?2+?-1?2= 2,∴p1 是假命题;∵z2=(-1 -1+i

-i)2=2i,∴p2 是真命题;∵ z =-1+i,∴p3 是假命题; ∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 所以其中的真命题为 p2,p4. 答案:p2,p4 z 8.已知 z,ω 为复数,(1+3i)z 为纯虚数,ω= ,且|ω|=5 2,则 ω=________. 2+ i 解析:由题意设(1+3i)z=ki(k≠0 且 k∈R), 则 ω= ki . ?2+i??1+3i?

∵|ω|=5 2,∴k=± 50,故 ω=± (7-i). 答案:± (7-i) 9.i 为虚数单位,设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于原点对称,若 z1=2-3i,则 z2 =________. 解析:∵(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3), ∴z2=-2+3i. 答案:-2+3i 10.m 为何实数时,复数 z=(2+i)m2-3(i+1)m-2(1-i)是(1)实数;(2)纯虚数? 解:∵z=(2+i)m2-3(i+1)m-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)∵z∈R 且 m∈R,∴m2-3m+2=0,解得 m=1 或 m=2.即当 m=1 或 m=2 时,z 是实数.
2 ? ?2m -3m-2=0, 1 1 (2)由 z 是纯虚数得? 2 得 m=- .故当 m=- 时,z 为纯虚数. 2 2 ?m -3m+2≠0, ?

11.已知复数 z=(1-i)2+1+3i.

(1)求|z|;(2)若 z2+az+b= z ,求实数 a,b 的值. 解:z=(1-i)2+1+3i=-2i+1+3i=1+i. (1)|z|= 12+12= 2. (2)z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b =2i+a+ai+b=a+b+(a+2)i, ∵ z =1-i,∴a+b+(a+2)i=1-i,
?a+b=1, ? ∴? ∴a=-3,b=4. ?a+2=-1, ?

12.已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1+2i,-2+6i, OA∥BC.求顶点 C 所对应的复数 z. 解:设 z=x+yi,x,y∈R,如图,因为 OA∥BC,|OC|=|BA|, 所以 kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|, 2 y-6 ? ?1=x+2, 即? ? ? x2+y2= 32+42,
? ? ?x=-5, ?x=-3, 解得? 或? ?y=0 ? ? ?y=4.

因为|OA|≠|BC|, 所以 x=-3,y=4(舍去), 故 z=-5.

(时间 120 分钟

满分 150 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) z1 1.已知复数 z1=2+i,z2=1+i,则 在复平面内对应的点位于( z2 A.第一象限 C.第二象限 解析:选 D B.第三象限 D.第四象限 3 1? z1 2+i 3 i = = - ,对应点? ?2,-2?在第四象限. z2 1+i 2 2 ) )

π ? 2.函数 y=x-sin x,x∈? ?2,π?的最大值是( A.π-1 C.π π B. -1 2

D.π+1

解析: 选C =π.

π ? y′=1-cos x≥0, 所以 y=x-sin x 在? 当 x=π 时, ymax ?2,π?上为增函数.

1 1 3.使不等式a<b成立的条件是( A.a>b C.a>b,且 ab<0

) B.a<b D.a>b,且 ab>0

1 1 1 1 解析:选 D 欲使 < 成立,需使 - <0, a b a b b-a 即 <0,结合选项可知选 D. ab 2 4.设函数 f(x)= +ln x,则( x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 2 1 x-2 解析:选 D 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=- 2+ = 2 ,当 x=2 时,f′(x) x x x =0;当 x>2 时,f′(x)>0,函数 f(x)为增函数;当 0<x<2 时,f′(x)<0,函数 f(x)为减函数, 所以 x=2 为函数 f(x)的极小值点. c 3 5.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图,则函数 y=ax2+ bx+ 的单调递增区间是 2 3 ( ) )

A.(-∞,-2] C.[-2,3]

1 ? B.? ?2,+∞? 9 ? D.? ?8,+∞?

解析:选 D 由题图可知 d=0.不妨取 a=1,∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f′(x)=3x2+2bx +c.由图可知 f′(-2)=0,f′(3)=0,∴12-4b+c=0,27+6b+c=0, 3 9 9 9 9 ∴b=- ,c=-18.∴y=x2- x-6,y′=2x- . 当 x> 时,y′>0,∴y=x2- x-6 2 4 4 8 4 9 ? 的单调递增区间为? ?8,+∞?.故选 D. 6.设曲线 y=sin x 上任一点(x,y)处切线的斜率为 g(x),则函数 y=x2g(x)的部分图象 可以为( )

解析:选 C 根据题意得 g(x)=cos x,∴y=x2g(x)=x2cos x 为偶函数.又 x=0 时, y=0,故选 C. 7.设函数 f(x)在 R 上可导,f(x)=x2f′(2)-3x,则 f(-1)与 f(1)的大小关系是( A.f(-1)=f(1) C.f(-1)<f(1) B.f(-1)>f(1) D.不确定 )

解析:选 B 因为 f(x)=x2f′(2)-3x,所以 f′(x)=2xf′(2)-3,则 f′(2)=4f′(2)-3, 解得 f′(2)=1,所以 f(x)=x2-3x,所以 f(1)=-2,f(-1)=4,故 f(-1)>f(1). 8. 若不等式 2xln A.(-∞,0) C.(0,+∞) 解析:选 B 由 2xln x≥-x2+ax-3 对 x∈(0, +∞)恒成立, 则实数 a 的取值范围是( B.(-∞,4] D.[4,+∞) 3 x≥-x2+ax-3,得 a≤2ln x+x+ ,设 h(x)=2ln x 3 x+x+ (x x )

?x+3??x-1? >0),则 h′(x)= .当 x∈(0,1)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减;当 x∈(1,+ x2 ∞)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增,所以 h(x)min=h(1)=4.所以 a≤h(x)min=4.故 a 的取 值范围是(-∞,4]. 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.请把正确 答案填在题中横线上) 9.用反证法证明某命题时,对结论“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为 ________________________________. 答案:a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 10.设 f(x)=xln x,则 f′(1)=________,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为________. 解析:由 f(x)=xln x,得 f′(x)=ln x+1,f′(1)=1;根据题意知 ln x0+1=2,所以 ln x0=1,因此 x0=e. 答案:1 e 11.已知 z=1-i,则|z|=________, 解析:|z|= 12+?-1?2= 2, z2-2z ?1-i?2-2?1-i? 2 = = =-2i. i z-1 -i 答案: 2 -2i z2-2z =________. z-1

12.若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为_______,单调递减区间为________.

x2-x-2 4 解析:f′(x)=2x-2- >0,即 >0.∵x>0, x x ∴(x-2)(x+1)>0.∴x>2.由 f′(x)<0,解得(0,2). 答案:(2,+∞) (0,2) 13.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价为 p 元,销量 Q(单 位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为______ 元时利润最大,利润的最大值为______元. 解析:设商场销售该商品所获利润为 y 元,则 y=(p-20)(8 300-170p-p2) =-p3-150p2+11 700p-166 000(p≥20), 则 y′=-3p2-300p+11 700. 令 y′=0 得 p2+100p-3 900=0, 解得 p=30 或 p=-130(舍去). 则 p,y,y′变化关系如下表: p y′ y (20,30) + ? 30 0 极大值 (30,+∞) - ?

故当 p=30 时,y 取极大值为 23 000 元. 又 y=-p3-150p2+11 700p-166 000 在[20,+∞)上只有一个极值,故也是最值.所以 该商品零售价定为每件 30 元,所获利润最大为 23 000 元. 答案:30 23 000 1 1 1 14.用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)”时,由 n=k(k∈N*, 2 3 2 -1 k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是________. 1 1 1 解析:令 f(n)=1+ + +?+ n , 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 1 ∴f(k+1)=1+ + +?+ k + k+ k +?+ k+1 , 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 1 1 1 因此应增加的项为 k+ k +?+ k+1 ,共 2k 项. 2 2 +1 2 -1 答案:2k 1 15.函数 y=ln x(x>0)的图象与直线 y= x+a 相切,则 a=________. 2 1 1 1 1 解析:y′=(ln x)′=x(x>0),又 y=ln x 的图象与直线 y= x+a 相切,∴x= ,∴x 2 2

1 =2,因此,切点 P(2,ln 2)在直线 y= x+a 上,∴ln 2=1+a,∴a=ln 2-1. 2 答案:ln 2-1 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 1 1 4 16.(本小题满分 14 分)已知 a>b>c,求证: + ≥ . a-b b-c a-c a-c a-c a-b+b-c a-b+b-c b-c a-b 证明:已知 a>b>c,因为 + = + =2+ + ≥2 a-b b-c a-b b-c a-b b-c +2 b-c a-b · =4, a-b b-c 所以 a-c a-c 1 1 4 + ≥4,即 + ≥ . a-b b-c a-b b-c a-c

1 17.(本小题满分 15 分)设函数 f(x)=- x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. 3 (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 1 解:(1)当 m=1 时,f(x)=- x3+x2, 3 f′(x)=-x2+2x,故 f′(1)=1. 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 1. (2)f′(x)=-x2+2x+m2-1. 令 f′(x)=0,解得 x=1-m 或 x=1+m. 因为 m>0,所以 1+m>1-m. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞, 1-m) - ? 1-m 0 极小值 (1-m, 1+m) + ? 1+m 0 极大值 (1+m, +∞) - ?

所以 f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1-m,1+m)内是增函数. 函数 f(x)在 x=1-m 处取得极小值 f(1-m), 2 1 且 f(1-m)=- m3+m2- . 3 3 函数 f(x)在 x=1+m 处取得极大值 f(1+m), 2 1 且 f(1+m)= m3+m2- . 3 3

18.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. 1 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-a. 若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 1? 若 a>0,则当 x∈? ?0,a?时,f′(x)>0; 1 ? 当 x∈? ?a,+∞?时,f′(x)<0. 1? ?1 ? 所以 f(x)在? ?0,a?上单调递增,在?a,+∞?上单调递减. (2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值; 1 当 a>0 时,f(x)在 x=a处取得最大值,最大值为 1? 1 ?1-1?=-ln a+a-1. f? = ln + a a ? ? ? a? a 1? 因此 f? ?a?>2a-2 等价于 ln a+a-1<0. 令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0. 于是,当 0<a<1 时,g(a)<0;当 a>1 时,g(a)>0. 因此 a 的取值范围是(0,1). an 1 19.(本小题满分 15 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= + -1,且 an>0,n 2 an ∈N*. (1)求 a1,a2,a3; (2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. a1 1 解:(1)a1=S1= + -1, 2 a1 所以 a1=-1± 3. 又因为 an>0,所以 a1= 3-1. a2 1 S2=a1+a2= + -1,所以 a2= 5- 3. 2 a2 a3 1 S3=a1+a2+a3= + -1, 2 a3 所以 a3= 7- 5. (2)由(1)猜想 an= 2n+1- 2n-1,n∈N*. 下面用数学归纳法加以证明:

①当 n=1 时,由(1)知 a1= 3-1 成立. ②假设 n=k(k∈N*)时,ak= 2k+1- 2k-1成立. 当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk

?ak+1 1 -1?-?ak+ 1 -1? =? 2 + ak+1 ? ? ? ? 2 ak ?
ak+1 1 = + - 2k+1, 2 ak+1 所以 a2 k+1+2 2k+1ak+1-2=0, 所以 ak+1= 2?k+1?+1- 2?k+1?-1, 即当 n=k+1 时猜想也成立. 综上可知,猜想对一切 n∈N*都成立. 20.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=ex+2x2-3x. (1)求证:函数 f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点. 1 5 (2)当 x≥ 时,若关于 x 的不等式 f(x)≥ x2+(a-3)x+1 恒成立,试求实数 a 的取值范 2 2 围. 解:(1)证明:f′(x)=ex+4x-3, ∵f′(0)=e0-3=-2<0,f′(1)=e+1>0, ∴f′(0)· f′(1)<0. 令 h(x)=f′(x)=ex+4x-3,则 h′(x)=ex+4>0, ∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增, ∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点, ∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点. 5 (2)由 f(x)≥ x2+(a-3)x+1, 2 5 得 ex+2x2-3x≥ x2+(a-3)x+1, 2 1 即 ax≤ex- x2-1, 2 1 ∵x≥ ,∴a≤ 2 1 ex- x2-1 2 . x

1 ex- x2-1 2 令 g(x)= , x 1 ex?x-1?- x2+1 2 则 g′(x)= . 2 x

1 令 φ(x)=ex(x-1)- x2+1,则 φ′(x)=x(ex-1). 2 1 ∵x≥ ,∴φ′(x)>0. 2 1 ? ∴φ(x)在? ?2,+∞?上单调递增. 1? 7 1 ∴φ(x)≥φ? ?2?=8-2 e>0. 因此 g′(x)>0, 1 ? 故 g(x)在? ?2,+∞?上单调递增, 1 1 e - -1 1 ? 2 8 =2 e-9, 则 g(x)≥g? ?2?= 1 4 2 9? ∴a 的取值范围是? ?-∞,2 e-4?.


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