福建省德化县第三中学高三数学(文)复习专题直线与双曲线的位置关系


考点要求: 1、掌握直线与双曲线的位置关系,会用韦达定理求弦长和与弦长有关的问题。 知识结构: 1.直线与双曲线的位置关系的判断 x2 y2 2 2 设直线 y=kx+b,双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)联立消去 y 得 Ax +Bx+C=0(a≠0),Δ =B -4AC。 a b 若 A=0 即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; 若 Δ >0,直线与双曲线相交,有两个交点; 若 Δ =0,直线与双曲线相切,有一个交点; 若 Δ <0,直线与双曲线相离,无交点; 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由,消去 y→ax +bx+c=0(a≠0),Δ =b -4ac。 弦长公式: | PP 1 2 |? 1 ? k 2 2 2 x1 ? x2 ? 1 ? 1 y1 ? y2 (k 为直线斜率) k2 弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点的轨迹等,这可以利用“设点代点、设而不求”的方法(设 交点坐标,将交点坐标代入曲线方程,并不具体求出坐标,而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决) 3、韦达定理的运用: 由于二次曲线和二次方程的密切关系,在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用 4.直线与双曲线的特殊关系: 直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但 不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点. 若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 基础自测: 1.双曲线中心在原点,且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线 的方程是( ) x2 2 A. -y =1 4 y2 x2 y2 x2 y2 B.x2- =1 C. - =1 D. - =1 4 2 3 3 2 x2 y2 2.设点 P 在双曲线 - =1 上,若 F1、F2 为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2 的周长等于( ) 9 16 A.22 B.16 C.14 D.12 x2 y2 1 3.若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的实轴长是焦距的 ,则该双曲线的渐近线方程是( ) a b 2 3 A.y=± x B.y=± 2x C.y=± 3x D.y=± 2 2x 2 4.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则_______________ 2 2 5.已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),一曲线上的动点 P 到 F1,F2 距离之差为 6,该曲线方程是____________. 例题选讲: 例 1:直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、B.求实数 k 的取值范围; y2 例 2:已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点? 2 x2 例 3:已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 4 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; → → (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA· OB>2 (其中 O 为

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