2016年数列专题

LDC 数学教育高三数列小小专题 2016-03-05.

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LDC 数学教育
1、 (1)已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ? an?1 ? 3n (n ? N 且 n ? 2) ,则 an ? ________. (2)已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ? 2n an?1 (n ? N 且 n ? 2) ,则 an ? _________. 2、已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, Sn ? n2an (n ? N 且 n ? 2) ,则 an ? __________. 3、已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ?

2 an ?1 ? 1 (n ? N 且 n ? 2) ,则 an ? _________. 3

4、已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 2n (n ? N 且 n ? 2) ,则 an ? __________. 5、已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ?

2an ?1 (n ? N 且 n ? 2) ,则 an ? __________. an ?1 ? 2

6、 (1)已知数列 {a n } 中, a1 ? 2a2 ? ? ? nan ? n2 (n ? 1), 则 an ? _________. (2)已知数列 {a n } 中, a1a2 ...an ? n 2 则 an ? _________. 7、 (1)已知数列 {a n } 中, an ? an?1 ? 2n, a1 ? 1(n ? N * ) 则 an ? _____ (2)已知数列 {a n } 中, an ? an?1 ? 2n , a1 ? 1(n ? N * ) 则 an ? _________.

1 ? 2an , 0 ? an ? , ? ? 2 ,若 a ? 6 ,则 a 的值为___________. 8、已知数列 {a n } 中, an ?1 ? ? 2014 1 7 ?2 a , 1 ? a ? 1 n ?1 n ? 2 ?
9、(1)数列 1 ? 2,1 ? 2 ? 4,1 ? 2 ? 4 ? 8,..., 1 ? 2 ? 4 ? ...? 2 的前 n 项的和为___.
n

(2)数列 an ?

1 的前 n 项的和为__ _. n ( n ? 2)
n

(3)数列 an ? (2n ? 1) ? 3 的前 n 项的和为______.

9x 1 2 3 19 (4)设 f ( x) ? x ,则 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) 的值为_____. 20 20 20 20 9 ?3
n (5)已知数列 an ? (?1) ? n ,则 S n ? ________.

10. ( 2013

届 湖 北 省 黄 冈 市 一 模 ) 等 差 数 列 {an} 前

n

项 和 为

Sn , 已 知

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(a1006 ? 1) 3 ? 2013(a1006 ? 1) ? 1, (a1008 ? 1) 3 ? 2 ? 13(a1008 ? 1) ? ?1 则______.
k? 1 ? ?n, 当n ? 2 11.(2013 届 上 海 市 虹 口 区 一 模 ) 数 列 {an } 满 足 an ? ? , 其 中 k?N , 设 ?ak , 当n ? 2k

f (n) ? a1 ? a2 ? ?? a2n ?1 ? a2n ,则 f (2013) ? f (2012) 等于_______.
12.(2013 届北京市石景山区一模)在等差数列{ an }中, a1 =-2013,其前 n 项和为 Sn,若

S12 S10 ? =2,则 12 10

S2013 的值等于 。
13.(2013 届江苏省盐城市二模)若等比数列{ an }满足 am?3 ? 4 且 am am?4 ? a42 (m ? N * ) (且 m ? 4 ) ,则

a1a5 的值为.
14、 (2013 届江苏省南通市二模)设数列{an}满足:a3=8,(an+1-an-2)(2an+1-an)=0(n∈N*),,则 a1 的值大于 20 的 概率为 . 15、 (2013 届上海市崇明县一模)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 60 项和等于 .

16. ( 2013 届江苏省南京市二模)已知数列 { an } 的通项公式为 an ? 7n ? 2 ,数列 { bn } 的通项公式为

bn ? n2 .若将数列{ an },{ bn }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{ c n },则 c9 的值为_____.
17、.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

(n ? 1)an (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 n 项和为_______ 2n
*

18、已知数列 {an } 满足 an ? n 2 ? kn, 若对所有 n ? N 不等式 a n ? a3 恒成立,求实数 k 的取值范围是_ 19、已知数列 {an } 满足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为________. n

20、南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 a1,a3,a7 成等
a1 比数列,则 d 的值为.

21、2014 届扬州中学高三数学期末模拟试题 8 公差不为零的等差数列 {an } 的第二、三及第六项构成
等比数列,则

a1 ? a 3 ? a 5 = a2 ? a4 ? a6

22、苏 北 四 市 数 学 试 题 12.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n
a3 , a5 成等差数列,且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 ,其中 k ? N ? ,则 S k ? 2 的值为 若 a4 ,

23、 苏州市 2014 届高三调研测试 2014. 1
S9 = 27,则 S7 = .

4、 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 已知 S5 = 5,

24 、 . 已 知 在 等 差 数 列 {an } 中 , 若 m ? 2n ? p ? s ? 2t ? r , m, n, p, s, t , r ? N* , 则

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am ? 2an ? ap ? as ? 2at ? ar , 仿 此 类 比 , 可 得 到 等 比 数 列 {bn } 中 的 一 个 正 确 命 题 : 若
m ? 2n ? p ? s ? 2t ? r , m, n, p, s, t , r ?N*,则.
25.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 a4 a6 a8 ? 120 ,且 则 S9 的值为. 26、 .如图,将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列

1 1 1 1 7 , ? ? ? ? a4 a6 a8 a2 a6 a8 a2 a4 a8 a2 a4 a6 60

a1 , a2 , a5 ,? 构成一个公比为 2 的等比数列,从第 2 行起,每一行都是一个公差为 d 的等差数列。若 a4 ? 5, a86 ? 518 ,则 d =.
27、 (南师大信息卷)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列,则等比数列{ an }的 公比为 ________ .
2 28、 (南师大信息卷)各项都为正数的数列 ?an ? ,其前 n 项的和为 Sn ,且 S n ? ( S n ?1 ? a1 ) ( n ? 2) ,

若 bn ?

an?1 an ? ,且数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn ,则 Tn =_______. an an?1

* 2 29 、 设 数 列 ?an ? 的 通 项 an ? n ? ?n ? 1. 若 对 任 意 n ? N 都 有 an?1 ? an , 则实数? 的 取 值 范 围 是

__________. 30、已知 Sn是等差数列?an ?的前n 项和,若 S2 ? 4, S4 ? 16, 则a5 的最大值是____________. 31、数列 ?an ? 满足 an ? ?

?(3 ? a)n ? 3, n ? 7 ?a
n ?6

,n ? 7

,且数列 ?an ? 为递增数列,则实数 a 的取值范围是___

32、数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1

1 m ?4 ?1 ,记Sn ? a12 ? a 22 ? ? ? an 2 ,若S 2n? 1 ? Sn ? 对 n ? N * 都成 2 an 30
1 2
1 4 ? 的最小值是 n m

立,则正整数 m 的最小值为____________. 33、等比数列 ?a n ?的首项为 2,公比为 3,前 n 项和为 S n . 若 log 3 [ an ( S 4 m ? 1)] ? 9 ,则

34、已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n . 若 ?a n ?和 { Sn } 都是等差数列,则 的最小值是__________. 35、 (全国高中数学联赛模拟题 (10) 4.) 在各项为正的等比数列 ?an ?中, 已知 a4 与 a14 的等比中项为 2 2 . 则 2a7 ? a11 的最小值为____________. 36、 (2014 年全国高中数学联赛四川赛区预赛 )已知公差为 d 的等差数列 ?a n ?满足 d ? 0, 且 a2 时 a1、a4

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的等比中项,记 bn ? a2 .(n ? Z ? ) 对任意的正整数 n 均有
2

1 1 1 ? ? ? ? ? 2. 则公差 d 的取值范围是 b1 b2 bn

37、 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若不等式 an ? 则实数 m 的最大值为_________.

2

Sn 2 ? m a1 对任意等差数列 {an } 及任意正整数 n 都成立, 2 n

38.(南师大信息卷)已知{ an }是等比数列, a2 ? 2, a5 ? 围是_______.

1 ? ,则 Sn ? a1 ? a2 ? ?? an (n ? N ) 的取值范 4

? an ? ,当an为偶数时, an?1 ? ? 2 a1=m 39. (2012 年南师附中) 已知数列 ?an ? 满足: (m 为正整数) , 若 a4 ? 4 , ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
则 m 所有可能的取值为_____。 40. (2012 年泰兴) 已知数列 {an }中a1 ? 1 , 当整数 n ? 1 则 S5 ? a2 ? 2 , 时, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1) 都成立, ___________ 41、 (苏北四市)已知等差数列 {an },{bn } 的前n项和分别为 Sn 和 Tn ,若 则n的值为 42、 (2013 年全国高中数学联赛吉林赛区预赛 10.)对于数列 ?a n ?,若存在一个数列 ?bn ?,使得对于任意的

a Sn 7n ? 45 ? ,且 n 是整数, b2 n Tn n?3

n ? Z ? ,均有 an ? bn ,称 ?bn ?为 ?a n ?的“弱数列”.设
5 an ? n 3 ? n 2 ? 2tn ? t 2 (n ? Z ? ), bn ? n 3 ? 2n 2 ? n ? (n ? Z ? ) , 且 ?bn ?是 ?a n ?的弱数列.则实数 t 的取值范 4
围是_________.

an ? 满足a1 =a2 ? 1 ,a3 =2,且n ? N * aa a a ? 43 、 设 数 列 时 均 有 n n?1 n?2 n?3
a1 ? a2 ? ? ? a100 ? ________.
44 、 上 海 市 黄 浦 区 2014

? an ? an?1 ?an?2 ? an?3 , 则

年 高 考 二 模 数 学 ( 文 ). 已 知 数 列

?an ?

满 足

a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? (?1) n , a2n?1 ? a2n ? 3n ( n ? N* ) . (2) 求 a2n?1 ( 用 含 n 的 式 子 表 示 ) ; (3) ( 文 ) 记
bn ? a2n?1 ? a2n ,数列 ?bn ? (n ? N* ) 的前 n 项和为 S n ,求 S n (用含 n 的式子表示).
参考答案

1.(1)

2 2 3n ?1 7 3 ? 2 ? ( ) n ?1 ? (2)2n?1 ? 4 2、 3 n ( n ? 1) 3、 2 2

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4、 ( n ? ) 2

1 2

n

简解:

an an ?1 a 1 1 1 1 ? n ?1 ? 1 n ? ? (n ? 1) ? ? n ? 1 ? (n ? )2 n. 5、 2 n n 2 2 2 2 2 2 n ?1

? n2 n ?1 ? n奇 n奇 ?n (n ? 2) ?( 2 ) ? 2 .(2) ? 7、( 1) ? 6、 (1) 3n ? 1 (2) ? n ? 2n ? 1 n ? ?n ? 1 n偶 ?1 ?( 2 ) n偶 n ? 1. ?
6 6 5 5 3 3 6 ,? a2 ? 2a1 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? , a3 ? 2a1 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? , a4 ? 2a3 ? 2 ? ? , 7 7 7 7 7 7 7 6 6 故数列的取值具备周期性,周期数是 3,则 a2014 ? a671?3?1 ? a1 ? ,故答案为: . 7 7
8:? a1 ?

? n ?1 ? n奇数 ? 3 2n ? 3 19 ? 2 n ?1 n ?1 9、 (1) 2 ? 1 (2) ? (3) 3 ? (n ? 1)3 (4) (5) n ? 4 2(n ? 1)(n ? 2) 2 ?n n偶数 ? ?2
10、 S 2013 ? 2013, a1008 ? a1006 .提示: f ( x) ? x 3 ? 2013 x

11、 4

2012

.提示:可先由 a3 ? a4 ? a1 ? a3 , a5? a6 ? a7 ? a8 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ,

a9 ? a10 ? a11 ? ? ? ? ? a16 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? ? ? a15 等找规律,得所求值为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? ? ? a22013 ?1 ? 4 2012 .
12、—201313、 16.

1 . 提 示 : 由 (a3 ? a2 ? 2)(2a3 ? a2 ) ? 0 得 a2 ? a3 ? 2 ? 6或a2 ? 2a3 ? 16 . 由 此 可 推 出 a1 等 于 4 2 4,12,13,32 之一. 15、1830 16、961.提示:在 n ? 7 m ? 2 中将 n 按被 7 除的余数分类.
14 、

17、解析

4?

n?2 2n ?1

提示:由 an ?1 ?

(n ? 1)an a n 知, n ? (n ? N ? ,且 n ? 2). 2n an ?1 2(n ? 1)

故, n ? 2 时, an ?

an an ?1 a n n ?1 2 n ? ? ... ? 2 ? a1 ? ? ? ... ? ? 1 ? n ?1 . an ?1 an ? 2 a1 2(n ? 1) 2(n ? 2) 2 ?1 2

又 n ? 1 时,

n n 2 3 n ? 1 ? a1. 因此, n ? N ? 时, an ? n ?1 . 所以, S n ? 1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 , n ?1 2 2 2 2 2

1 1 2 3 n ?1 n 1 1 1 1 1 n S n ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ? n . 两式相减,得 S n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 ? ? 1? ?1 ? ( ) n ? n?2 n?2 2 ? n ? ? ? n ? 2 ? n . 所以, S n ? 4 ? n ?1 . 1 2 2 2 1? 2
18、解析:由 a n ? a3 得 n ? kn ? 9 ? 3k , 当 n ? 3时, k ? R; 当 n ? 3时, k ? n ? 3, 故k ? 7; 当
2

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n ? 3时, k ? n ? 3, 故k ? 5. 综上, 5 ? k ? 7.
19、解析:

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? ? ? (n ? 1)] ? 33 ? 33 ? n 2 ? n, 所以
a n 33 33 ? 33 ? n ? 1, 令 f ' (n) ? 2 ? 1 ? 0, 则 f (n) 在 ( 33,??) 上是单调递增,在 ? ? n ? 1, 设 f ( n) ? n n n n
* 因为 n ? N , 所以当 n ? 5 或 6 时 f ( n) 有最小值, 又因为 (0, 33) 上是递减的,

a5 53 a6 63 21 ? , ? ? , 5 5 6 6 2

所以,

an a 21 . 的最小值为 6 ? n 6 2
3 22 5

20、221、

、 129 23、14

24、 (1. bm ? bn ? bp ? bs ? bt ? br )25、
2 2

63 2

26、解答:第 2 行成公差为 d 的等差数列,可得: a2 ? a4 ? 2d ? 5 ? 2d ,第 n 行的数的个数为 2 n ? 1 , 从第 1 行到第 n 行的所有数的个数总和为

n(1 ? 2n ? 1) ? n 2 , 86=92+5,第 10 行的前几个数为: 2

a82 , a83 , a84 , a85 , a86 ,? ,所以 a82 ? a86 ? 4d ? 518 ? 4d 。第一列 a1 , a2 , a5 , a10 , a17 , a26 , a37 , a50 , a65 , a82 ,?
构成一个公比为 2 的等比数列,故有 a82 ? a2 ? 28 ? 518 ? 4d ? (5 ? 2d ) ? 28 ,解得: d ? 1.5 。 27|

1 3

. 提 示 : 设 等 比 数 列 { an } 的 公 比 为 q(q ? 0) , 由 4S2 ? S1 ? 3S3 , 得

4(a1 ? a1q) ? a1 ? 3(a1 ? a1q ? a1q2 ) ,即 3q 2 ? q ? 0 ,? q ?

1 . 3

4n 2 ? 6n .提示: Sn ? Sn?1 ? S1 , Sn ? n S1 , Sn ? n2a1 , an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ? 1)a1 , 2 n ? 1 28、
bn ? 2n ? 1 2n ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 2? ? ? ) , Tn ? (2 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? ? ? (2 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1
30、.5 31、 (2,3) 32、.10 33、.略

29、 ? ? ?3

34、解:设数列 ?a n ?的公差为 d ,??an ?的前 n项和Sn , ?a n ?和 { Sn } 都是等差数列,

? 2 S2 ? S1 ? S3 ,2 2a1 ? d ? a1 ? 3a1 ? 3d ,解得 d ? 2a1 ,

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?

Sn?10 (n ? 10) 2 1 [(2n ? 1) ? 21]2 1 212 1 ? ? ? ? [(2n ? 1) ? ? 42] ? (2 ? 21? 42) ? 21. an 2n ? 1 4 2n ? 1 4 2n ? 1 4
S n ?10 的最小值为 21. an


?

35、 解析 因为 a 29 ? a4a14 ? (2 2 )2 ? 8 ,所以 a9 ? 2 2.

2a7 ? a11 ?

2a 2a9 2a9 ? a9 q 2 ? 2 ? a9 q 2 ? 2 2a9 ? 8. 当且仅当 29 ? a9 q 2 ,即 q 4 ? 2 时,上式等号成 2 2 q q q

立.从而, 2a7 ? a11 的最小值为 8.

1 [ ,?? ). 36、 2

由题意知 a 2 2 ? a1a4 ? (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ? a1 ? d.

于是, an ? nd. 从而,

1 1 1 1 1 1 bn ? a2n ? 2n d. 则 [ ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ] ? 2. 故 d ? [1 ? ( ) n ] 对任意正整数 n 均成立. 2 2 d 2 2 2 1 d? . 2
2 2

因此,

2 a ( a ? a ) 2 ? an ? 1 ? an ? a ? ? ? 1? ? .令 x ? n , 37、 解: (1) 当 a1 ? 0 时,m ? R ; (2)当 a1 ? 0 时,m ? n2 ? 1 2n ? ? ? ? ? ? a1 a1 4a1 ? a1 ? 4 ? a1 ?

因此 f ( x) ? x 2 ? 综上,得 m ?

1 1 1 5 1 1 5? 1? 1 (1 ? x) 2 ? x 2 ? x ? ? ? x ? ? ? , f ( x ) ? ,所以 m ? . 5 5 4 4 2 4 4? 5? 5

2

1 1 . 故 m 的最大值为 . 5 5
n ?1

38、提示: 因为{ an }是等比数列,所以可设 an ? a1q

?a1q ? 2 1 ? .因为 a2 ? 2, a5 ? ,所以 ? 4 1 ,解得 4 a1q ? ? ? 4

?1? 4[1 ? ? ? ] n ? a1 ? 4 n ? ?1? 1 ? 2 ? ? 8 ? 8? ? 1 ? S ? a ? a ? ? ? a ? ? 1 2 n 1 .所以 n ? ? .因为 0 ? ? ? ? ,所以 4 ? Sn ? 8 . 1 ?2? q? ?2? 2 ? 1 ? ? 2 2
7 a ? 8 a2 ? 16 3 a3 ? 8或1 。 解析: 本题可以逆向推导。 由 a 4 ? 4 可得 (1) 、 若 3 则 或 (舍) ,

n

39、 4或5或3 则

a1 ? 32 或 5; a ? 1 ,则 a2 ? 2 或 0(舍) a ?4 (2) 、若 3 ,则 1

40、 解析:

S5 ? 1 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 21 (Sn?1 ? Sn ) ? (Sn ? Sn ?1) ? 2S1 ? 2

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a an?1 ? an ? 2 (n ? 2) S ? 1 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 21 ,数列{ n }从第二项起构成等差数列, 5

注:本题由 2011 江苏卷 20 题(1)改变而来。 41、 15 解:设 Sn ? An(7n ? 45), Tn ? An(n ? 3), 则可求得 an ? A(14n ? 38), bn ? A(2n ? 2) , ∴

a an A(14n ? 38) n ? 16 ,∴当 n ? 15 时, n 是整数。 ? ? 3? b2 n b2 n A(4n ? 2) 2n ? 1

说明:此解法学生须知:数列 {an } 为等差数列的一个充要条件是其前 n 项和 Sn ? an2 ? bn 。

1 3 42、 (?? , ] ? [ ,?? ). 2 2

5 ? 0. 4 5 3 3 2 2 则 ? ? (2t ? 1) ? 4(t ? ) ? ?4t ? 6. (1)当 ? ? 0 ,即 t ? 时,题设成立.(2)当 ? ? 0 ,即 t ? 时, 4 2 2 2t ? 1 ? 1. 于是,二次函数 f (n) 的对称轴在 n ? 1 的左端,此时,题设成立的充分必要条件是: 2 3 1 1 3 3 1 f (1) ? 0 ? t 2 ? 2t ? ? 0 ? t ? 或 t ? ? t ? . 由(1) 、 (2) ,知 t 的取值范围是 ( ?? , ] ? [ ,?? ). 2 2 2 2 4 2
由题设,知对任意的正整数 n 有 f (n) ? an ? bn ? n ? (2t ? 1)n ? t ?
2 2

43、解析:200. 得

an an?1an?2an?3 ? an ? an?1 ?an?2 ? an?3 , an?1an?2an?3an?4 ? an ?1 ?an?2 ? an?3 ? an ? 4 相减,


an?1an?2an? ( 3 an? 4 ? an ) ? an? 4 ? an

an an?1an?2 ? 1 ,所以an?4 ? an , ?an ? 是以 4 为一个周期的周期

数列,

a1 =a2 =1 ,a3 ? 2,a4 ? 4, a ? a2 ? ? ? a100 ? 25 (a1 ? a2 +a3 ? a4) =200 。 所以 1
n n *

44、(2)由题知,有 a2n?1 ? a2n?1 ? 3 ? (?1) (n ? N ) .

? a2 n ?1 ? a2 n ?3 ? 3n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? a2 n ?3 ? a2 n ?5 ? 3n ? 2 ? (?1) n ? 2 ? ? 1 2 n ?1 1 2 n ?1 ? ? ? a2 n ?1 ? a1 ? (3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? [(?1) ? (?1) ? ? ? (?1) ] . ? a5 ? a3 ? 32 ? (?1) 2 ? 1 1 ? a3 ? a1 ? 3 ? (?1) ?

∴ a2 n ?1 ? ∴

3n ? (?1) n 3n ? (?1) n ? 1(n ? N* ) (3)由(2)可知, a2 n ? a2 n ?1 ? (?1) n ? ? 1 , n ? N* . 2 2

bn ? a2n?1 ? a2n ? 3n ? 2(n ? N* )





Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? (3 ? 2) ? (32 ? 2) ? (33 ? 2) ? ?? (3n ? 2)

?

3(1 ? 3n ) 1 3 ? 2n ? ? 3n?1 ? 2n ? (n ? N* ) . 1? 3 2 2


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