高中数学必修4第一章:三角函数性质与图像1


三角函数性质与图像 知识清单:

y ? sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性 R

y ? cos x
R

y ? A sin??x ? ? ? (A、 ? >0)

R

[?1,1]

[?1,1]

2?
奇函数

2?
偶函数

?? A, A?
2?

?
当 ? ? 0, 非奇非偶, 当 ? ? 0, 奇函数

[?
单调性

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2k? ] [? 2k ?1? ? , 2k? ]
上为增函数;

上为增函数;

上为减函数. (k?Z )

? 3? [ ? 2 k? , ? 2k? ] [2k? , ? 2k ?1? ? ] 2 2 上为减函数.
(k?Z )

? 1 ? ? 2 k ? ? ? ? 2 k ? ? ? ?? ? ? 2 , 2 ? ? 上增函数; ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 2k? ? 2 ? ? 2k? ? 2 ? ? ? ? , ? ? 上 减 函 数 ? ? ? ? ? ?
(k?Z )

y ? tan x
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
R

R

?
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 上为增函数( k ? Z ) 2 2 ? ?

?

奇函数 ? ?

奇函数 ?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函数( k ? Z )

备注: 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象 . .......... 如① y ? sin x

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质以函数 y ? sin x 为基础,通过图像变换来把握.
图例变化为 ???? ? ② y ? A sin(? x ? ? ) (A>0, ? >0)相应地,
变为 ??? ?

①的单调增区间 ? ? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ? ? 2 ? 2 ?

2 注:

?

?

? 2 k? ≤ ? x ? ? ≤

?

2

? 2k? 的解集是②的增区间.
2?

?x ? ? ) 或 y ? cos(? x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ? ⑴ y ? sin(

?

;

⑵ y ? sin(? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

(k?Z ) ,对称中心 (k? , 0) ;
2

y ? cos(? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心 (k? ? 1 ? , 0) ;
k? y ? tan( ?x ? ? ) 的对称中心( ,0 ). 2
课前预习 1.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 2. 函数 y ? 2sin( x ? ) 的最小正周期 T= . .

1 2

π 3

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x 的最小正周期是 2 ? 4.函数 y ? 2 sin( ? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是 6 ? ? 2 5.函数 y ? 2 cos( x ? )( ≤ x ≤ ? ) 的最小值是 3 6 3 ? 6.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向 平移 个单位长度 6
3.函数 y ? sin 7.将函数 y ? sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向 左平移

? 个单位,所得图象的解析式是 3

.

8. 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间[ 0, 9.已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

?
2

]的最小值为______.

5 3 (x∈R) 2 ⑴求 f(x)的最小正周期; ⑵求 f(x)单调区间;⑶求 f(x)图象的对称轴, 典型例题 例 1、三角函数图像变换

将函数 y ? 2 cos(

?

1 x ? ) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图像? 3 2

变式 1:将函数 y ? cos x 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? 2 cos(2 x ? 例 2、已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 小正周期 T 和初相 ? 分别为 例 3、三角函数性质 求函数 y ?

?

4

) 的图像?

π? ?π ?? 1) ,则该简谐运动的最 x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 2? ?3 ??

变式 1:函数 y=2sinx 的单调增区间是 ? 变式 2、下列函数中,既是(0, )上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是( ) 2 2 (A)y=lgx (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y= 2 sin 2 x ? 5? ? ?? 变式 3、已知 x ? ?0, ? ,求函数 y ? cos( ? x) ? cos( ? x) 的值域 12 12 ? 2? 变式 4、已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x)
2

3 4? sin(2? x ? ) 的最大、最小值以及达到最大(小)值时 x 的值的集合 2 3

⑴求它的定义域和值域;⑵求它的单调区间;⑶判断它的奇偶性;⑷判断它的周期性. 例 4、三角函数的简单应用 如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似 满足函数 y=Asin(ω x+ ? )+b. (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式. 例 5、三角恒等变换 函数 y=

1 的最大值是 2 ? sin x ? cos x



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变式 1:已知

cos 2? 2 ,求 cos ? ? sin ? 的值. ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .求 f ( x) 的最大值和最小值. ?4 ? ?4 2?

变式 2:已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? 实战训练

1.函数 f ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x 的最小正周期为 2. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是____ 3.函数 f ( x) ? cos x ?

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

4. (07 年浙江卷理 2) 若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ,x ? R (其中 ? ? 0 ,? ?

? ) 的最小正周期是 ? , 2

且 f (0) ? 3 ,则 5. (2007 年辽宁卷 7) .若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象,则 向量 a = 6. (2007 年江西卷文 2) .函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为
?x π? ? π ? ? 2 ? 平移,则平移后所得图象的解 7. (2007 年湖北卷理 2) .将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 3 6 4 ? ? ? ? 析式为 1 8. (2007 年广东卷理 3) .若函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( x ? R) ,则 f(x)是最小正周期为 的 函数 2

9. (2007 年福建卷理 5) .已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ( )A.关于点 ? , 0 ? 对称 B.关于直线 x ? C.关于点 ? , 0 ? 对称 10. (2007 年江苏卷 1) .下列函数中,周期为 A. y ? sin

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象 ??

?? ??

? ?

? 对称 ? ? 对称 ?

?? ??

? ?

D.关于直线 x ?

? 的是( 2



x D. y ? cos 4 x 4 11. (2007 年江苏卷 5) .函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是( ) 5? 5? ? ? ? ] ,? ] A. [ ?? , ? B. [ ? C. [? , 0] D. [? , 0] 6 6 6 3 6 ?? ? 12. (2007 年天津卷文 9)设函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ( x ? R) ,则 f ( x ) ( ) 3? ? ?? ? ? 2? 7 ? ? A.在区间 ? , ? 上是增函数 B.在区间 ? ??, ? ? 上是减函数 2? ? ?3 6? ?? ?? ? ? 5? ? C.在区间 ? , ? 上是增函数 D.在区间 ? , ? 上是减函数 ?8 4? ?3 6 ? ?? ? 13. (07 年山东卷文 4) .要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? ? 的图象( ) ?? ?
B. y ? sin 2 x C. y ? cos
第 3 页 共 4 页

x 2

? 个单位 ? ? C.向左平移 个单位 ?
A.向右平移 A. ? ? , ?

? 个单位 ? ? D.向左平移 个单位 ? 14. (07 年全国卷二理 2) .函数 y ? sin x 的一个单调增区间是(
B.向右平移



? ?? ? ? 3? ? D. ? , 2? ? ? ? ? ? ? ? 15. (2007 年北京卷文 3) .函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是
B. ? , ? C. ? ?, ? 16. (2007 年重庆卷文) (18)已知函数

? ? ?? ? ? ??

? ? 3? ? ?? ? ?

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?



2

)

3 (Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限且 cos a ? , 求f(a)。 5

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