安徽省迎河中学2013届高三年级第四次月考数学试卷(理科)


2012 秋迎河中学高三第四次月考 数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U 为实数集 R, M ? ?x || x |? 2?, N ? x | x 2 ? 4x ? 3 ? 0 则图中阴影部分所表示的集合是( )

?

?

U N M

A. ?x | 1 ? x ? 2? B. ?x | ?2 ? x ? 2? C. ?x | ?2 ? x ? 1? D. ?x | x ? 2?

2. 已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z ? ( a ? 2i )(1 ? i ) 在复平面内对应的点为
M ,则“ a ? 1 ”是“点 M 在第四象限”的





A.充要条件 C.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如下,则几何体的体积 为( A .8
2

) B.9
2

C.10

D.11

3 1
左视图 图 正视图

1

俯视图

4. 一个样本容量为 9 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列 ?an ? , 若 a3 ? 8 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数列,则此样本的中位数是( A. 12 5. B. 13 C. 14 D. 15 如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内
1



函数 y ? x2 图象下方的点构成的区域.向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的 概率为( A. ) B.

1 5

1 3

C.

1 4

D.

1 2

? x ? y ?1 ? 0 ? , )? b 6.已知 x, y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , a ? ( x 2 , ? (1, y ) , z ? a ? b 若 则 ?x ? 4 y ?1 ? 0 ?
的最大值是( A. ? 1 ) B. ?

5 2

C. 5
? ? 内的图象是 ( ?

D. 7 )

? ? 3? 7.函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 ? , ?2 2

A.

B.

C.

D.

8.数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N*) .若则 b3 ? ?2 ,

b10 ? 12 ,则 a8 ? (
A. 0 B. 3

) C. 8 D. 11

9.对于下列命题:①在△ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ,则△ABC 为等腰三角形;②已 知 a,b,c 是△ABC 的三边长,若 a ? 2 , b ? 5 , A ? ? ,则△ABC 有两组解;③
6 ?? ? 2012? 2012? , b ? cos , c ? tan ,则 a ? b ? c ;④将函数 y ? 2sin ? 3x ? 6 ? 图 ? ? 3 3 ?? ? 象向左平移 个单位,得到函数 y ? 2cos ? 3x ? ? 图象.其中正确命题的个数是 ? 6? 6 ?

设 a ? sin 2012? 3

( A. 0

) B. 1 C. 2 D. 3

2

1 10. 已知函数 f ( x) ? lg x ? ( ) x 有两个零点 x1 , x 2 ,则有( ) 2 A. x1 x2 ? 0 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1 D. 0 ? x1 x2 ? 1 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.设 a ? log 1
3

1 2 4 , b ? log 1 , c ? log 3 则 a , b, c 大小关系是 2 3 3 3

12.观察下列各等式: 5 5 ? 3125 , 5 6 ? 15625 ,
5 7 ? 78125 ,…,则 5 2 0 1 3的末四位数字为

. .

??? ???? ? ??? ? ??? ???? ? 13 如图,在 ?ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ? AD

y ?? ? 14.函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? 的导函数 y ? f ?( x) 的部分 6? ? P ? 3 3? 图像如图所示:图象与 y 轴交点 P ? 0, ? ,与 x 轴 ? 2 ? x ? ? O A C 正交点为 A、C,B 为图象的最低点 ,则 S?ABC ? x2 ? x4 B 15.函数 f ( x) ? .给出函数 f ( x) 下列性质: x?2 ?2 ⑴函数的定义域和值域均为 ? ?1,1? ;⑵函数的图像关于原点成中心对称;⑶函

数在定义域上单调递增; ? f (x)dx ? 0(其中 A 为函数的定义域) ⑸ A 、B ⑷ ;
A

为函数 f ( x) 图象上任意不同两点, 2< AB ? 2 .请写出所有关于函数 f ( x) 则 性质正确描述的序号 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. ) 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , x ? R. (Ⅰ)求函数 f (x) 的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对 边分别 a, b, c, 且 c ? 3 , f (C) ? 0 ,若 sin( A ? C) ? 2sin A, 求 a, b 的值.
1 2

18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的各项均为正数,a1 ? 3 , n 项和为 S n , 前

{bn } 为等比数列, b1 ? 1,且 b2S2 ? 64, b3S3 ? 960 .
(I)求 an 与 bn ; (II)求

1 1 1 ? ??? . S1 S 2 Sn
3

2 x2 18. (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) . x ?1

(1)求 f ( x) 在 x ? [0,1] 上的值域; (2)若对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ?[0,1] , 使得 g( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 13 分)如图,多面体 ABCDS 中,面 ABCD 为矩形, C
SD ? AD, 且SD ? AB, AD ? 1,

AB ? 2 , SD ? 3.

B

(1)求证:CD ? 平面 ADS ; (2)求 AD 与 SB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A—SB—D 的余弦值.
S
第 19 题
D

A

20. (本小题满分 13 分)已知函数 y = f (x) 的定义域为 R,其导数 f '(x) 满 足 0 < f '(x) < 1,常数 ? 为方程 f (x) = x 的实数根。 (1) 求证:当 x > ? 时,总有 x > f (x) 成立; (2) 对任意 x1、x2 若满足| x1-? | < 1,| x2-? | < 1,求证:| f (x1)-f (x2)| < 2.

21.(本小题满分 13 分)在数列 ?an ? 中,a1 ? 1 、a2 ? (Ⅰ) 求 a3 、 a4 ,猜想 an 的表达式,并加以证明;

? n ? 1? an n ? 2 1 , an +1 = 且 ? ?. n ? an 4

4

(Ⅱ) 设 bn =

an ? an ?1 an + an ?1

, 求证: 对任意的自然数 n ? N * , 都有 b1 ? b2 ? ??? ? bn ?

n 3

2012 秋迎河中学高三第四次月考 数学试题(理)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 C 7 D 8 B 9 C 10 D

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分。 ) 11.a>b>c 12.3125.13. 3 16. 解析: (1) f ( x) ?

1 ? ? 14. S?ABC ? ? ? 3 ? 2 3 2

15.⑵⑷。

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 …….3 分 2 2 2 6

则 f ( x) 的最大值为 0,最小正周期是 T ? (2) f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 则 sin(2C ? ) ? 1 6 6

2? ? ? …………………6 分 2

?

?

? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ??

?
6

? 2C ?

?
6

?

11 ? ? ? ? ? 2C ? ? ?C ? 6 6 2 3

? sin( A ? C ) ? 2sin A 由正弦定理得

a 1 ? ①……………………9 分 b 2
即 a 2 ? b2 ? ab ? 9 ② …………………………12 分

由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos 由①②解得 a ? 3

?
3

b?2 3

18、解: (1)设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则 d 为正数,
5

an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? q n?1 .依题意有

?S 2 b2

?d ? 2 .或 , 解得 ? S 3 b3 ? (9 ? 3d )q ? 960 ?q ? 8
2

? (6 ? d )q ? 64

6 ? ?d ? ? 5 , ? (舍去) 故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8n?1. ? ?q ? 40 . ? 3 ?
(2) Sn ? 3 ? 5 ? ?? (2n ?1) ? n(n ? 2), 所以

……… 6 分

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 Sn 1 ? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n(n ? 2) 3 2n ? 3 1 1 1 1 . ? (1 ? ? ? )? ? 2 2 n ? 1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)

…………… 12 分
z
C

19 解: (1)? ABCD是矩形,?CD ? AD 又 SD ? AB, AB // CD , 则CD ? SD AD? SD ? D ? CD ? 平面 ADS
(2)DA、DC、DS 两两互相垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系

--------3 分
B

? S ( 3,0,0), A(0,1,0), B(0,1,2), C (0,0,2), D(0,0,0)

? AD ? (0,?1,0), SB ? (? 3,1,2)

--------5 分

D

? cos ? AD, SB ??

AD ? SB | AD | ? | SB |

??

2 4

---------7 分
S

A

2 ? AD 与 SB 所成的角的余弦为 . 4

y

---------8 分

x
?

(3) DS ? ( 3,0,0), DB ? (0,1,2) 设面 SBD 的一个法向量为 n ? ( x, y , z )

? ?n ? DS ? 0 ? 3x ? 0 ? ? ??? ?? ? 取n ? (0,?2,1), ?n ? DB ? 6 ? y ? 2z ? 0 ?
又? AB ? (0,0,2), SA ? (? 3,1,0) ∴ 设面 DAB 的一个法向量为 m ? ( x, y, z )

--------9 分

6

所以所求的二面角的余弦为

15 5

----------13 分

20.(1)证明:令 g(x) = x-f (x)则 g '(x) = 1-f '(x) ∵ 0 < f '(x) < 1 ∴ g '(x) = 1-f '(x) > 0 ∴ 函数 g(x) = x-f (x)为 R 增函数 ∴ 当 x > ?时 g(x) = x-f (x) > ?-f (?) = 0 ∴ 当 x > ?时,总有 x > f (x) 成立 (2)证明: ∵ | x1-? | < 1,| x2-? | < 1 ∴ ?-1 < x1 < ? + 1;?-1 < x2 < ? + 1 又 0 < f '(x) < 1 ∴ f (x) 在 R 是增函数 ∴ f (?-1) < f (x1) < f (? + 1); f (?-1) < f (x2) < f (? + 1)
7

---------6 分

∴ f (?-1)-f (? + 1) < f (x1)-f (x2) < f (? + 1)-f (?-1) ∴ | f (x1)-f (x2) | < f (? + 1)-f (?-1) 由 (1) 知: f (? + 1) < ? + 1 ; -f (?-1) < -(?-1) ∴ | f (x1)-f (x2) | < f (? + 1)-f (?-1) < 2 ∴ | f (x1)-f (x2) | < 2. -----------13 分

21.【解析】解:(1)容易求得:



------------(2 分)

故可以猜想 (i) 显然当 (ii) 假设当 ;



下面利用数学归纳法加以证明:

时,结论成立,-----------------(3 分) 时(也可以 ),结论也成立,即

, 那么当

-------------------(4 分) 时,由题设与归纳假设可知:

---------(6 分) 即当 时,结论也成立,综上,对 , 成立-----(7 分)

(2) 所以
8

---(9 分)

------ 11 分) ( 所以只需要证明 (显然成立)

所以对任意的自然数

,都有

-------(13 分)

9


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