离散型随机变量及分布列练习题


第 10 章

第6节

1.若随机变量 X 的概率分布列为

X P 1 且 p1= p2,则 p1 等于( 2 1 A. 2 1 C. 4 )

x1 p1

x2 p2

1 B. 3 1 D. 6

1 【解析】 由 p1+p2=1 且 p2=2p1 可解得 p1= . 3 【答案】 B i 2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3),则 P(X=2)等于( 2a 1 A. 9 1 C. 3 1 2 3 【解析】 ∵ + + =1,∴a=3, 2a 2a 2a 2 1 P(X=2)= = . 2×3 3 【答案】 C 3.袋中有大小相同的 5 只钢球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,任意抽取 2 个球,设 2 个球号码之和为 X,则 X 的所有可能取值个数为( A.25 C.7 ) B.10 D.6 . 1 6 )

1 D. 4

【解析】 X 的可能取值为 1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7= 3+4,3+5=8,4+5=9. 【答案】 C 4.随机变量 X 的分布列如下: -1 a

X P

0 b

1 c

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=________. 【解析】 2 =a+c= . 3 【答案】 2 3 1 ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c.又 a+b+c=1,∴b= ,∴P(|X|=1) 3

5.(2012· 安徽高考)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题 工作结束;若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中 现共有 n+m 道试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作 完成后,试题库中 A 类试题的数量. (1)求 X=n+2 的概率; (2)设 m=n,求 X 的分布列. 【解】 (1)X=n+2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 n+1 n × = m+n m+n+2

n?n+1? . ?m+n??m+n+2? 1 (2)m=n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 P= ,随机变量 X 可取 n,n+1,n+ 2 2. 1 P(X=n)=(1-p)2= , 4 1 P(X=n+1)=2p(1-p)= , 2 1 P(X=n+2)=p2= ,所以 X 的分布列为 4

X P

n 1 4

n+1 1 2

n+2 1 4

课时作业 【考点排查表】

考查考点 及角度 离散型随机变量分布列的性质 离散型随机变量的分布列 超几何分布问题 一、选择题 基础 1 10 4,5

难度及题号 中档 2,3 9,12 6 稍难 7,8 13 11

错题 记录

1.设某项试验的成功率为失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数, 则 P(X=0)的值为( A.1 1 C. 3 【解析】 设 X 的分布列为: ) 1 B. 2 1 D. 5

X P

0 p

1 2p

即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败的概率为 p,成功的概率为 1 2p.由 p+2p=1,则 p= ,因此选 C. 3 【答案】 C 2.若 P(X≤x2)=1-β,P(X≥x1)=1-α,其中 x1<x2,则 P(x1≤X≤x2)等于( A.(1-α)(1-β) C.1-α(1-β) 【解析】 由分布列性质可有: P(x1≤X≤x2)=P(X≤x2)+P(X≥x1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β). 【答案】 B 3.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 则 k 的值为( 1 A. 2 C.2 ) B.1 D.3 1 k n 2 k n 3 k n ? ? n k n B.1-(α+β) D.1-β(1-α) )

k k k 【解析】 由分布列性质有 + +?+ =1,得 k=1. n n n 【答案】 B 4.今有电子原件 50 个,其中一级品 45 个,二级品 5 个,从中任取 3 个,出现二级品

的概率为( C3 5 A. 3 C50

) C1+C2+C3 5 5 5 B. C3 50 C1C2 +C2C2 5 45 5 45 D. 3 C50

C3 45 C.1- 3 C50 【解析】 不出现二级品的结果数为 C3 , 45 C3 45 不出现二级品的概率为 3 , C50 C3 45 ∴出现二级品的概率为 1- 3 . C50 【答案】 C

5.设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概 率为( ) C6 C4 80 10 B. 10 C100 C6 C4 80 20 D. 10 C100 C4 C6 80 10 A. 10 C100 C4 C6 80 20 C. 10 C100 C6 C4 80 20 ∴恰有 6 个红球的概率为 10 . C100 【答案】 D 6.一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球 ?n-m?A2 m 为止,设此时取出了 ξ 个白球,下列概率等于 的是( A3 n A.P(ξ=3) C.P(ξ≤3) B.P(ξ≥2) D.P(ξ=2) )

4 【解析】 超几何分布恰有 6 个红球则有 4 个白球,结果数为 C6 C20, 80

?n-m?A2 m 【解析】 由超几何分布知 P(ξ=2)= A3 n 【答案】 D 二、填空题 2 7.随机变量 X 的分布列 P(X=k)=a?3?k,k=1,2,3,?,则 a 的值为________. ? ?


【解析】 由? P(X=k)=1,即 =
k 1

2 2 2 a?3+?3?2+?3?3+??=1. ? ? ? ?

?

?

1 ∴a =1,解得 a= . 2 2 1- 3

2 3

【答案】

1 2

8.若离散型随机变量 X 的分布列为

X P 常数 c=______.

0 9c2-c

1 3-8c

【解析】 由离散型随机变量分布列的基本性质知

?9c -c+3-8c=1, ? ?0≤9c2-c≤1, ?0≤3-8c≤1, ?
【答案】 1 3

2

1 解得 c= . 3

9.抛掷 2 颗骰子,所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)=________. 【解析】 相应的基本事件空间有 36 个基本事件, 其中 X=2 对应(1,1); X=3 对应(1,2), (2,1);X=4 对应(1,3),(2,2),(3,1). 所以 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) = 1 2 3 1 + + = . 36 36 36 6 1 6

【答案】

三、解答题 10.设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率 3 1 为 ,遇到红灯(禁止通行)的概率为 .假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进,ξ 4 4 表示停车时已经通过的路口数,求: (1)ξ 的分布列; (2)停车时最多已通过 3 个路口的概率. 【解】 (1)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4.用 Ak 表示事件“汽车通过第 k 个路口时不停(遇 绿灯)”, 3 则 P(Ak)= (k=1,2,3,4),且 A1,A2,A3,A4 独立. 4 1 故 P(ξ=0)=P( A1 )= ; 4 3 1 3 P(ξ=1)=P(A1·A2 )= × = ; 4 4 16 3 1 9 P(ξ=2)=P(A1· 2·A3 )=( )2 = ; A 4 4 64

3 1 27 P(ξ=3)=P(A1· 2· 3·A4 )=( )3 = ; A A 4 4 256 3 81 P(ξ=4)=P(A1· 2· 3· 4)=( )4= . A A A 4 256 从而 ξ 有分布列: ξ P 0 1 4 1 3 16 2 9 64 3 27 256 4 81 256

81 175 (2)P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1- = . 256 256 175 即停车时最多已通过 3 个路口的概率为 . 256 11.在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品,从这 10 件产品中任取 3 件,求: (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列; (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率. 【解】 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为 C3 ,从 10 件产品中任取 3 件,其 10 中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck C3 k,那么从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品 3 7 Ck C3 k 3 7 的概率为 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10 所以随机变量 X 的分布列是 X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120
- -

(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A, “恰好取出 1 件一等 品和 2 件三等品”为事件 A1, “恰好取出 2 件一等品”为事件 A2, “恰好取出 3 件一等品” 为事件 A3.由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥, 且 A=A1∪A2∪A3,而 C1C2 3 7 3 3 P(A1)= 3 = ,P(A2)=P(X=2)= , C10 40 40 1 P(A3)=P(X=3)= , 120 ∴取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 3 7 1 31 = + + = . 40 40 120 120 12.一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出 1 个球,得 2 7 到黑球的概率是 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 5 9 (1)若袋中共有 10 个球; ①求白球的个数;

②从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 分布列; 7 (2)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 ,并指出袋中哪 10 种颜色的球个数最少. 【解】 (1)①记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A,设袋中白球 的个数为 x,则 C2 -x 7 10 P(A)=1- 2 = ,得到 x=5. C10 9 故白球有 5 个. ②随机变量 X 的取值为 0,1,2,3, P(X=0)= C3 1 5 = ; C3 12 10

C1C2 5 5 5 P(X=1)= 3 = ; C10 12 C2C1 5 5 5 P(X=2)= 3 = ; C10 12 P(X=3)= C3 1 5 = . C3 12 10

故 X 的分布列为: X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12

(2)证明:设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球, 2 由题意得 y= n, 5 y 1 所以 2y<n,2y≤n-1,故 ≤ . n-1 2 设“从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B, 2 n-y 3 y 2 y-1 则 P(B)= · + · + · 5 n-1 5 n-1 5 n-1 2 3 y 2 3 1 7 = + × ≤ + × = . 5 5 n-1 5 5 2 10 2 n 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于 n,红球的个数少于 .故袋中红球个数最少. 5 5 四、选做题 13.(2012· 全国新课标高考)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然 后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量 n

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列; (2)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明 理由. 【解】 (1)当 n≥16 时,y=16×(10-5)=80. 当 n≤5 时,y=5n-5(16-n)=10n-80.
? ?10n-80,?n≤15?, 得:y=? (n∈N) ? ?n≥16?. ?80,

(2)①X 可取 60,70,80 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7 X 的分布列为 X P ②购进 17 枝时,当天的利润为 y=(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-1×5)×0.16+17×5×0.54= 76.4. 76.4>76 得:应购进 17 枝. 60 0.1 70 0.2 80 0.7


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