第八讲 高考复习-函数的奇偶性与周期性_图文

第四节

函数的奇偶性与周期性

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1.了解函数的奇偶性的概念,掌握判断一些简单 函数的奇偶性的方法,并能利用函数的奇偶性解 最新考纲 决一些问题. 2.了解周期函数的意义,并能利用函数的周期性 解决一些问题.

1.以选择题或填空题的形式考查奇偶性在求函数 值或函数解析式中的应用. 高考热点 2.与函数的单调性相结合综合考查函数的有关性 质.

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知识梳理1.要正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把 握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶 必要不充分 条件; 函数的

(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的 恒等
2.奇偶函数的 定义

式.

是判断函数奇偶性的主要依

据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简, 或应用定义的等价形式f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x)=0??? ? =±1(f(x)≠0).

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3.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的 图象关于y轴成轴对称图形,反之亦真.因此,也可以利用 函数图象的对称性去判断奇偶性.因此判断函数奇偶性的方 法有:①定义法.②图象法.③性质法.

4.(1)若f(x)是 偶函数
(2)若f(x)为 奇函数

,则f(x)=f(|x|),反之亦真.

,且0∈定义域I,则f(0)=0. .

(3) 若 f(x) = 0 且 f(x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ,既是 则 f(x)

奇函数又是偶函数

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5.函数的周期性 (1)如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的 任意x,都有f(x+T)=f(x)(或f(x+)=f(x-)),则称f(x)为周期函 数.若f(x)的所有周期中存在一个 ,则称它为f(x) 最小的正数

的最小正周期.
(2)若f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω>0)的周期为 .

(3)周期函数的图象特征是函数图象重复出现,因此若函 数f(x)是周期函数,研究其值域、最值、单调性等问题时,通 常在一个周期长的区间上考虑,再推广到整个 定义域 上.

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判断函数的奇偶性: ①定义域关于原点对称,是函数具有奇偶 性的必要不充分条件; ②判断函数的奇偶性,有时用定义的等价形式较定义 更简便.

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题型一

函数奇偶性的判断 ①判断定义域是否关于原点对称 思维提示 ②判断f(x)与f(-x)之间的关系
例1 判断下列函数的奇偶性; (1)f(x)=|x|(x2+1); 1 (2)f(x)= x+ ; x (3)f(x)= x-2+ 2-x; (4)f(x)= 1-x2+ x2-1; 1+x (5)f(x)=(x-1) . 1-x

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[分析]

先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判

断f(-x)与f(x)之间的关系.
[解] (1)此函数的定义域为R. ∵f(-x)=|-x|[(-x)2+1]=|x|(x2+1)=f(x), ∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数. (2)此函数的定义域为{x|x>0},由于定义域关于原点不 对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)此函数的定义域为{2},由于定义域关于原点不对称, 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

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)( 此函数的定义域为{1,-1 ,且f(x)=0,可知图象 4 } 既关于原点对称、又关于y轴对称,故此函数既是奇函数又 是偶函数. 1+x )( 由 5 ≥0得-1≤x<1,所以f(x)的定义域关于原点 1-x 不对称,∴此函数为非奇非偶函数.

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[规律总结] )( 用定义判断函数的奇偶性的步骤 1 是:定义域(关于原点对称)→验证f(-x)=± f(x)→下结论; )( 可以利用图象法或定义的等价命题f(-x)± 2 f(x)=0或 f(-x) =± f(x)≠0)来判断. ( 1 f(x)

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备选例题1判断函数f(x)= 性.

?x2+x ? ? 2 ?-x +x ?

(x<0) (x>0)

的奇偶

解:当x<0时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当x>0时,-x<0, f(-x)=(-x)2-x=x2-x

=-(-x2+x)=-f(x).
综上可知,对任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 高考总复习 · 数学(理)

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题型二

函数周期性的判定及应用

思维提示
例2

f(x+T)=f(x)(T≠0)

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象

关于直线x=1对称. (1)求f(0)的值;

(2)证明:函数f(x)是周期函数;
(3)若f(x)=x(0<x≤1),求x∈R时,函数f(x)的解析式, 并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.

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[分析]

证明函数是周期函数,只需满足定义f(T+x)=

f(x)(T≠0)即可.本题有两个条件,一是函数为奇函数,则f(- x)=-f(x),二是函数关于x=1对称,则f(2-x)=f(x),结合这 两个条件证明.

[解] (1)∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x), 令x=0,则f(0)=-f(0),即2f(0)=0,∴f(0)=0. (2)函数f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)① 又f(x)关于直线x=1对称.

∴f(x)=f(2-x)②

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由①②得,-f(-x)=f(2-x),

换-x为x,则f(2+x)=-f(x),
∴f(4+x)=f[2+(2+x)]=-f(2+x) =-[-f(x)]=f(x), 故f(x)是以4为周期的周期函数. (3)∵f(x)=x,0<x≤1,∴当-1≤x<0时, 0<-x≤1,∴f(-x)=-x. 又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x,f(x)=x,

又f(0)=0,当-1≤x≤1时,f(x)=x,
当1<x≤3时,f(x)=-x+2, 东方沸点学校为你服务 高考总复习 · 数学(理)

?x ? ∴f(x)=? ?-x+2 ?

(-1≤x≤1) , (1<x≤3) 又f(x)是以4为周期的周期函数,
?x-4k ? ∴f(x)=? ?-x+2+4k ?

(4k-1≤x≤4k+1) (k∈Z). (4k+1<x≤4k+3)

图象为:

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[规律总结]

(1)周期函数问题在考题中常有两类表现形

式:一类是研究三角函数的周期性;一类是研究抽象函数的 周期性.抽象函数的周期常常应用定义f(T+x)=f(x)给予证明, 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发,推导

满足周期定义的等式,从而证明函数为周期函数的同时求出
周期. (2)根据函数周期性,可求某区间上解析式,画出某区 间上图象或求某一函数值.

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备选例题2已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)= -f(x). )( 求证:f(x)是周期函数; 1 1 )( 若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)= 2 x,使 f(x) 2 求 1 =-2的所有x.

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解 )( ∵f(x+2 = f(x), :1 ) - ∴f(x+4 = f(x+2 = [-f(x)]=f(x). ) - ) - ∴f(x)是以4为周期的周期函数. 1 (2)当0≤x≤1时,f(x)= x. 2 设-1≤x≤0,则0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)=2· (-x)=-2x, 1 1 即-f(x)=-2x.∴f(x)=2x. 1 故f(x)=2x(-1≤x≤1). 又设1<x<3,则-1<x-2<1, 1 ∴f(x-2)=2(x-2).
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又 f(x-2)=-f(2-x)=-f[2+(-x)] 知 =-[-f(-x)]=-f(x), 1 ∴-f(x)= (x-2). 2 1 ∴f(x)=- (x-2)(1<x<3), 2 ?1 (-1≤x≤1) ? 2x ∴f(x)=? . 1 ?- (x-2) (1<x<3) ? 2 1 由上式知在[-1,3)上,仅有f(-1)=-2, 1 由f(x)是周期函数,得f(x)=-2的所有x=4n-1(n∈Z).

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题型三 思维提示

函数周期性与奇偶性的综合问题 ①周期性定义 ②奇偶性定义

例3 (2010· 唐山质检)设函数f(x)的定义域关于原点对 f(x1)f(x2)+1 称,且满足①f(x1-x2)= ;②存在正常数a,使 f(x2)-f(x1) f(a)=1.求证: (1)f(x)是奇函数; (2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.

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[证明] )( 不妨令x=x1-x2,则 1 f(x2)f(x1)+1 f(-x)=f(x2-x1)= f(x1)-f(x2) f(x1)f(x2)+1 =- =-f(x1-x2)=-f(x). f(x2)-f(x1) ∴f(x)是奇函数. )( 要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a). 2 f(-a)f(x)+1 ∵f(x+a)=f[x-(-a)]= f(-a)-f(x) -f(a)f(x)+1 f(x)-1 = = (f(a)=1). -f(a)-f(x) f(x)+1 f(x+a)-1 ∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]= f(x+a)+1
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f(x)-1 -1 f(x)+1 1 = =- . f(x) f(x)-1 +1 f(x)+1 ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a] 1 =- =f(x). f(x+2a)

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[规律总结]

数学解题的过程就是充分利用已知条件实

施由条件向结论的转化过程,当条件不能直接推出结论时,
就要想方设法创造使用条件的氛围,采用逐步逼近的手法达 到解题目标.

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备选例题3 (2010·合肥质检)设y=f(x)是R上的偶函数且 f(0)=0,y=g(x)是R上的奇函数,对于x∈R都有g(x)=f(x+1), 则f(2008)=________. 解析:由y=g(x)是奇函数,得g(-x)=-g(x),即f(-x

+1)=-f(x+1)①,又y=f(x)是偶函数,因此
f(-x+1)=f(x-1)②. 由①、②得,f(x-1)=-f(x+1),f(x)=-f(x+2),f(x +4)=f(x),即函数y=f(x)是以4为周期的函数,而2008= 4×502,因此f(2008)=f(0)=0.

答案:0

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题型四

思维提示

函数奇偶性和单调性的综合应用 ①奇、偶函数的定义和性质 ②单调性的定义

1+x 1 例4 已知函数f(x)= -log2 ,求函数f(x)的定义 x 1-x 域,并讨论它的奇偶性和单调性.

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1-x 1+x 1 1 有f(-x)= -l 2 - g o = ( -l 2 - g o )= f(x), - x x 1+x 1-x 所 f(x)为函. 以 奇数 任 x1,x2∈( 取 ), 10 , x1<x2. 且 则f(x1)-f(x2) 1+x1 1 1+x2 1 = -l 2 g o -( -l 2 g o ) x1 x2 1-x1 1-x2 1+x2 1+x1 1 1 =( - )+( 2 g o l -l 2 g o ). x1 x2 1-x2 1-x1 1+x2 1+x1 1 1 x2-x1 ∵ - = >0,l 2 g o -l 2 g o x1 x2 x1x2 1-x2 1-x1 1-x1+x2-x1x2 =l 2 g o . 1+x1-x2-x1x2 又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)

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=2(x2-x1)>0, ∵1-x2>0 +x1>0, 1 , ∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0. 1-x1+x2-x1x2 ∴ >1, 1+x1-x2-x1x2 得f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在( ), 10 上单调递减. 由于f(x)为奇函数,所以f(x)在(-1 上是函. ), 0 也减数

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[规律总结]

(1)将函数的奇偶性与单调性相结合,可知:

①奇函数在(-b,-a),(a,b)上有相同的单调性. ②偶函数在(-b,-a),(a,b)上有相反的单调性. 这里,区间(-b,-a)和(a,b)都在函数定义域内.

因此,若函数具有奇偶性,研究单调性或最值或作图象
等问题,只需在非负值范围内研究即可,在负值范围内由对 称性可得. (2)研究函数的单调性必须在定义域上进行,如果没有 给出定义域,则需先求出.

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ax-1 )( f(x)= x 3 ,g(x)=l g o a +1 是个见奇数注应 两常的函,意用

(x+ x2+1 )(a>0, a≠1 且 ) a .

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备例 选题

4已 a>0且a≠1,f( 知 g o l

a 1 (x- ). ax)= 2 x a -1

)( 求f(x); 1 )( 判 f(x)的偶和调; 2 断 奇性单性 )( 若数 f(x)的义为 3 函 定域 <0, m的合 M. 求 集

(-1 ), 1

时有 ,

f(1-m)+f(1-m2)

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x, x=at, a 则 a 1 代 g 入o f( ax)= 2 (x- ), l x a -1 a - 可 f(t)= 2 (at-a t), 得 a -1 a ∴函解式 数析为 f(x)= 2 (ax-a-x)(x∈R). a -1 a a -x - x )( f(-x)= 2 (a -a )= 2 (ax-a x)= f(x). 2 - - a -1 a -1 ∴f(x)为函. 奇数 设x1,x2∈R, x1<x2, 且 a 则f(x1)-f(x2)= 2 [(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]= a -1 a 1 (ax1-ax2)(1+ ). 2 ax1ax2 a -1 [解] )( 令t=l 1 g o

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当a>1时,a2-1>0,ax1-ax2<0, ∴f(x1)<f(x2). 当0<a<1时,a2-1<0,ax1-ax2>0, ∴f(x1)<f(x2). ∴当a>0且a≠1时,f(x)在R上是增函数. (3)当函数f(x)的定义域为(-1,1)时,有
?-1<1-m<1 ? ? 2 ?-1<1-m <1 ? ?0<m<2 ? ?? ?- 2<m< ?

2且m≠0

?0<m< 2. 由f(1-m)+f(1-m2)<0, 得f(1-m)<-f(1-m2).

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而f(x)为奇函数,∴f(1-m)<f(m2-1). 又f(x)为增函数,∴1-m<m2-1,即m2+m-2>0. 解得m>1或m<-2. 综上所述,可知1<m< 2, ∴M={m|1<m< 2}.

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性质应用错误 例 设f(x),g(x)都是R上的奇函数,{x|f(x)>0}={x|4<

x<10},{x|g(x)>0}={x|2<x<5},则集合{x|f(x)·g(x)>0}等


A.(2,10) C.(-10,-2)∪(2,10) B.(4,5)

(
D.(-5,-4)∪(4,5)

)

[答案] D

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[解题思路]

∵f(x),g(x)都是奇函数,∴f(x)· g(x)是偶

函数,由对称性可知,只需求f(x)>0,g(x)>0的集 解, 由条件可知:f(x)>0的解集为( ), 04 1 ),( 52
?f(x)>0 ? ,∴? ?g(x)>0 ?

,g(x)>0的集 解为

的解集为( ), 54

, ,故选D.

故f(x)· g(x)>0的解集为(-5,-4)∪( ), 54

[错因分析] A.

由{x|4<x<10}∪{x|2<x<5}可得.选B或

此解错在忽视“f(x),g(x)都是奇函数,因而f(x)·g(x)是

偶函数”的性质运用,导致结论出错.
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