广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


广东省佛山市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)椭圆 A. + =1 的短轴长为() B. 2 C. 2 D.4

2. (5 分)若直线 ax﹣y+1=0 与直线 2x+y+2=0 平行,则 a 的值为() A.﹣2
2 2

B . ﹣1

C.

D.1

3. (5 分)圆 x +y ﹣2x+4y+3=0 的圆心坐标为() A.(﹣1,2) B.(1,﹣2) C.(﹣2,4) 4. (5 分)若¬p∨q 是假命题,则() A.p∧q 是假命题 B.p∨q 是假命题

D.(2,﹣4)

C.p 是假命题

D.¬q 是假命题

5. (5 分)已知命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q:“a 不是正数,则它的平方等于 0”, 则 p 是 q 的() A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.否定 6. (5 分)已知平面 α,β,直线 m,n,下列命题中不正确的是() A.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β B. 若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C. 若 m⊥α,m?β,则 α⊥β D.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n 7. (5 分)已知 a,b∈R,则“ A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 > ”是“log2a>log2b”的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. (5 分)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△ MF1F2,若边 MF1 的中点 在此椭圆上,则此椭圆的离心率为() A. B.
2

﹣1
2

C.

D.

﹣1

9. (5 分)已知圆(x+2) +y =16 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(3,0) ,线段 AN 的 垂直平分线交直线 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 10. (5 分)如果对于空间任意 n(n≥2)条直线总存在一个平面 α,使得这 n 条直线与平面 α 所成的角均相等,那么这样的 n()

A.最大值为 3

B.最大值为 4

C.最大值为 5

D.不存在最大值

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. (5 分)已知空间向量 =(x﹣1,1,﹣x) , =(﹣x,3,﹣1) ,若 ⊥ ,则 x 的值为.

12. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x+y 的最大值为.

13. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为.

14. (5 分)如图,点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB=2,若点 A 从( 移动到( ,0) ,则 AB 中点 D 经过的路程为.

,0)

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分) 如图,等腰直角△ ABC 的直角顶点 C (0,﹣1) , 斜边 AB 所在的直线方程为 x+2y ﹣8=0. (1)求△ ABC 的面积; (2)求斜边 AB 中点 D 的坐标.

16. (12 分)如图,正方体 ABC﹣A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AFC; (Ⅱ)求证:平面 A1B1D⊥平面 AFC.

17. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 与 x 轴、y 轴都相切,直线 l:x+y﹣4=0 平分圆 C 的面积. (1)求圆 C 的方程; (2)过原点 O 的直线 l1 将圆 C 的弧长分成 1:3 的两部分,求直线 l1 的斜率. 18. (14 分) 如图 1, 在△ PBC 中, ∠C=90°, PC=4, BC=3, PD: DC=5: 3, AD⊥PB, 将△ PAD 沿 AD 边折起到 SAD 位置,如图 2,且使 SB= . (Ⅰ)求证:SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值.

19. (14 分)已知曲线 C:x =﹣2py(p>0) ,点 M 是曲线 C 上的一个动点,过点 M 且与曲 线 C 相切的直线 l 的方程为 x+y﹣1=0. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)点 A、B 是曲线 C 上的两点,O 为原点,直线 AB 与 x 轴交于点 P(2,0) ,记 OA、 OB 的斜率为 k1、k2,试探求 k1、k2 的关系,并证明你的结论.

2

20. (14 分)已知圆:x +y =64,圆 C 与圆 O 相交,圆心为 C(9,0) ,且圆 C 上的点与圆 O 上的点之间的最大距离为 21. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程;

2

2

(Ⅱ)在 x 轴上是否存在定点 P,使得过点 P 的直线 l 被圆 O 与圆 C 截得的弦长 d1、d2 的比 值总等于同一常数 λ?若存在,求点 P 的坐标及 λ 的值,若不存在,说明理由.

广东省佛山市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)椭圆 A. + =1 的短轴长为() B. 2 C. 2 D.4

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接利用椭圆的标准方程求解即可. 解答: 解:椭圆 + =1 可得 b= ,

椭圆

+

=1 的短轴长为:2



故选:C. 点评: 本题考查椭圆的简单性质的应用,基本知识的考查. 2. (5 分)若直线 ax﹣y+1=0 与直线 2x+y+2=0 平行,则 a 的值为() A.﹣2 B . ﹣1 C. D.1

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 利用直线平行的充要条件即可得出. 解:∵直线 ax﹣y+1=0 与直线 2x+y+2=0 平行, ,解得 a=﹣2,

故选:A. 点评: 本题考查了直线平行的充要条件,属于基础题. 3. (5 分)圆 x +y ﹣2x+4y+3=0 的圆心坐标为() A.(﹣1,2) B.(1,﹣2) C.(﹣2,4)
2 2

D.(2,﹣4)

考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题;直线与圆. 2 2 2 2 分析: 由方程 x +y ﹣2x+4y+3=0 可得(x﹣1) +(y+2) =2,即可得到圆心的坐标. 2 2 2 2 解答: 解:由方程 x +y ﹣2x+4y+3=0 可得(x﹣1) +(y+2) =2, ∴圆心坐标为(1,﹣2) . 故选:B. 点评: 本题考查了圆的标准方程及其配方法,属于基础题. 4. (5 分)若¬p∨q 是假命题,则() A.p∧q 是假命题 B.p∨q 是假命题

C.p 是假命题

D.¬q 是假命题

考点: 复合命题的真假. 专题: 常规题型. 分析: 由题意,可得¬p,q 的真假性,进而得到正确选项. 解答: 由于¬p∨q 是假命题,则¬p 是假命题,q 是假命题,所以 p 是真命题,q 是假命题, 所以 p∧q 是假命题,p∨q 是真命题,¬q 是真命题, 故选 A. 点评: 本题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题的简 单命题的真假,再根据真值表进行判断. 5. (5 分)已知命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q:“a 不是正数,则它的平方等于 0”, 则 p 是 q 的() A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.否定 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 写出命题 P 与命题 q 的条件与结论,再根据四种命题的定义判断即可. 解答: 解:命题 P:正数 a 的平方不等于 0; 命题 q:“a 不是正数,则它的平方等于 0”;满足否命题的定义, 故命题 P 是命题 q 的否命题. 故选:B. 点评: 本题考查四种命题的定义;基本知识的考查. 6. (5 分)已知平面 α,β,直线 m,n,下列命题中不正确的是() A.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β B. 若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C. 若 m⊥α,m?β,则 α⊥β D.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用在与平面,直线与直线的平行与垂直的判定定理以及性质定理推出结果即可. 解答: 解:若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β,满足平面与平面平行的判定定理,所以 A 正确; 若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α,满足满足直线与平面平行的性质,所以 B 正确; 若 m⊥α,m?β,则 α⊥β,满足平面与平面垂直的性质,所以 C 正确;

若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n,也可能得到 m,n 是异面直线,所以 D 不正确. 故选:D. 点评: 本题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面平行与垂直的判断与性质,考查基 本知识的应用. 7. (5 分)已知 a,b∈R,则“ A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 > ”是“log2a>log2b”的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 分别解出关于 解答: 解:由 > > 以及 log2a>log2b”的 a,b 的范围,从而得到答案. ,解得:a>b≥1,

由 log2a>log2b 解得:a>b>0, 故“ > ”是“log2a>log2b”的充分不必要条件,

故选:A. 点评: 本题考察了充分必要条件,考察二次函数以及对数函数的性质,是一道基础题. 8. (5 分)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△ MF1F2,若边 MF1 的中点 在此椭圆上,则此椭圆的离心率为() A. B. ﹣1 C. D. ﹣1

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过题意画出图形,利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论. 解答: 解:不妨设椭圆方程为: + =1(a>b>0) ,

则 M 点必在 y 轴上,如图,连结 PF2, ∵△MF1F2 为正三角形, ∴PF1= MF1= F1F2=c, PF2= ∴2a=( 故选:A. = c=2a﹣c, ,

+1)c,即 e= =

点评: 本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于基础题. 9. (5 分)已知圆(x+2) +y =16 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(3,0) ,线段 AN 的 垂直平分线交直线 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 已知圆(x+2) +y =16,易知圆心和半径.A 为圆上任一点和 N(2,0) ,线段 AN 的垂直平分线上任一点到两短点的距离相等且交 MA 于点 P. 有 PN=PA, 所以 PM﹣PN=AM=4, 即为动点 P 到两定点 M、N 的距离之差为常数 4,根据双曲线的定义可得结论. . 解答: 解:已知圆(x+2) +y =16,则的圆心 M(﹣2,0) ,半径为 4. A 为圆上任一点,且 AM=4 N(3,0) ,线段 AN 的垂直平分线上任一点到两端点的距离相等且交 MA 于点 P. 有 PN=PA 所以 PM﹣PN=AM=4 即为动点 P 到两定点 M、N 的距离之差为常数 4, 所以动点 P 的轨迹是双曲线. 故选:C. 点评: 求点的轨迹方程常用的有定义法、待定系数法、直译法和间接法.其中定义法是最 快捷的.这里就直接利用了双曲线的定义直接得到结论. 10. (5 分)如果对于空间任意 n(n≥2)条直线总存在一个平面 α,使得这 n 条直线与平面 α 所成的角均相等,那么这样的 n() A.最大值为 3 B.最大值为 4 C.最大值为 5 D.不存在最大值 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 探究型. 分析: 分别探究直线的条数为 2、3、4 的情况,由线面角的定义、线线位置关系以及空间 几何体进行判断. 解答: 解:当 2 条直线时,一定作出与它们都平行的平面,故这两条直线与平面所成的角 是 0 度; 当 3 条直线时,当它们共面时,一定存在平面与它们所成的角相等;不共面时,一定可以它 们平移到一点,构成一个椎体,则存在一个平面作为椎体的底面,并且使得此底面与三条直 线所成的角相等;
2 2 2 2 2 2

当为 4 条直线时,且三条在一面内,另一条在面外,则面内 3 条要与一面成角等的话必须是 0 度,但另一条不可能也成 0 度,故不存在符合题意的平面. 故选 A. 点评: 本题是一个探究型的题目,需要耐心的一一进行分析,可以借助于空间几何体和反 例进行说明,必须做到脑中有图,考查了分析、解决问题和空间信息能力. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. (5 分)已知空间向量 =(x﹣1,1,﹣x) , =(﹣x,3,﹣1) ,若 ⊥ ,则 x 的值为﹣ 1 或 3. 考点: 空间向量的数量积运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由 ⊥ ,可得 解答: 解:∵ ⊥ , ∴
2

=0,解出即可.

=﹣x(x﹣1)+3+x=0,

化为 x ﹣2x﹣3=0, 解得 x=3 或﹣1. 故答案为:﹣1 或 3. 点评: 本题考查了向量垂直与数量积之间的关系,考查了计算能力,属于基础题.

12. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x+y 的最大值为 2.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△ AB0 及其内部,再将目标函数 z=x+y 对应的直线进行平移,观察直线在 y 轴上的截距变化,可得当 x=2 且 y=0 时,z=x+y 取 得最大值 2.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ AB0 及其内部,其中 A(2,0) ,B(2,﹣2) ,O 为坐标原点. 设 z=F(x,y)=x+y,将直线 l:z=x+y 进行平移,观察直线在 y 轴上的截距变化, 可得当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(2,0)=2 故答案为:2

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=x+y 的最大值,着重考查了二元一次不 等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 13. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为 16.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 判断三视图复原的几何体的形状,画出图形,利用三视图的数据求出几何体的体积 即可. 解答: 解:几何体是底面为下底为 4,上底为 2,高为 4 的直角梯形,几何体的高为 4 的四 棱锥, 顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点, 几何体的体积为: V= S 底×h= =16.

故答案为:16. 点评: 本题考查三视图与几何体直观图的关系,判断几何体的形状以及数据对应值是解题 关键. 14. (5 分)如图,点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB=2,若点 A 从( 移动到( ,0) ,则 AB 中点 D 经过的路程为 . ,0)

考点: 弧长公式. 分析: 首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为 1 的圆,然后求出点 D 和点 D'的坐 标,再由弧长公式得出结果. 解答: 解:设 AB 的中点为 O(x,y) ,则 A(2x,0) ,B(0,2y) ∵AB=2 ∴(2x) +(2y) =4 即 x +y =1 所以中点是以原点为圆心半径为 1 的圆 ∵点 A 从( ,0)移动到( ,0) , ∴D( , ) D'( , )
2 2 2 2

tan∠D'OA=1 tan∠DOA= ∴∠D'OD= ∴ ∴l= 为中点走过的路径 ×1=

故答案为: 点评: 此题考查了轨迹方程的求法以及弧长公式的运用,求出中点的轨迹是解题的关键, 属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分) 如图,等腰直角△ ABC 的直角顶点 C (0,﹣1) , 斜边 AB 所在的直线方程为 x+2y ﹣8=0. (1)求△ ABC 的面积; (2)求斜边 AB 中点 D 的坐标.

考点: 中点坐标公式;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由点到直线距离公式求得 C 到 AB 边所在直线距离,然后由等腰直角三角形的 性质求得 AB 的长度,代入三角形面积公式得答案; (2)由等腰直角三角形斜边的高与斜边的中线重合,先求出斜边的高线所在直线方程,联立 方程组求得斜边 AB 中点 D 的坐标.

解答: 解: (1)由点到直线的距离公式求得 C 到直线 x+2y﹣8=0 的距离为 d= . .

根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的 2 倍可得|AB|=4 则 =20; ,

(2)∵AB 所在的直线方程为 x+2y﹣8=0,斜率为

则 AB 边上的高所在直线的斜率为 2,高所在直线方程为 y=2x﹣1, 联立 ,解得 .

∴斜边 AB 中点 D 的坐标为(2,3) . 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系,考查了等腰直角三角形的性质, 是基础题. 16. (12 分)如图,正方体 ABC﹣A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AFC; (Ⅱ)求证:平面 A1B1D⊥平面 AFC.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的判定定理只需证明直线 A1B 平行平面 AFC 内的直线 FO 即可; (2)根据面面垂直判定定理只需证明 AF⊥平面 A1B1CD 即可. 解答: 证明: (1)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 FO, 则点 O 是 BD 的中点. ∵点 F 为 A1D 的中点,∴A1B∥FO. 又 A1B?平面 AFC,FO?平面 AFC, ∴A1B∥平面 AFC. (2)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 连接 B1D.∵AC⊥BD,AC⊥BB1, ∴AC⊥平面 B1BD,AC⊥B1D. 又∵CD⊥平面 A1ADD1,AF?平面 A1ADD1, ∴CD⊥AF. 又∵AF⊥A1D, ∴AF⊥平面 A1B1CD. ∵AF?平面 AFC.

∴平面 A1B1CD⊥平面 AFC, 即平面 A1B1D⊥平面 AFC.

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,考查空间想象能力,要 求熟练掌握相应的判定定理和性质定理. 17. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 与 x 轴、y 轴都相切,直线 l:x+y﹣4=0 平分圆 C 的面积. (1)求圆 C 的方程; (2)过原点 O 的直线 l1 将圆 C 的弧长分成 1:3 的两部分,求直线 l1 的斜率. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据直线和圆的相切关系求出圆心和半径即可求圆 C 的方程; (2)根据直线 l1 将圆 C 的弧长分成 1:3 的两部分,转化为圆心到直线的距离进行求解即可. 解答: 解: (1)由题意知,圆心 C 在直线 l:x+y﹣4=0 上; ∵圆 C 与 x 轴、y 轴都相切, ∴圆心 C 也在直线 y=x 上, 即圆心 C(2,2) ,半径 r=2, 故圆 C 的方程为(x﹣2) +(x﹣2) =4. (2)设直线 l1 的方程为 y=kx, ∵过原点 O 的直线 l1 将圆 C 的弧长分成 1:3 的两部分, ∴劣弧所对的圆心角为 90°, 则圆心 C 到直线的距离 d=rcos45°= 又 d= , ,
2 2

解得 k=2± , 故直线 l1 的斜率是 2± . 点评: 本题主要考查直线和圆的方程的应用,以及圆的标准方程的求解,比较基础. 18. (14 分) 如图 1, 在△ PBC 中, ∠C=90°, PC=4, BC=3, PD: DC=5: 3, AD⊥PB, 将△ PAD 沿 AD 边折起到 SAD 位置,如图 2,且使 SB= . (Ⅰ)求证:SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明 SA⊥AB,SA⊥AD,即可证明 SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)延长 BA,CD 相交于 P,连接 SP,取 SP 的中点 M,连接 MA,MD,证明∠AMD 为 平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的平面角,求出 MA,MD,即可求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:在直角三角形 PBC 中,PC=4,BC=3,PD:DC=5:3, 所以 PB=5,PD=2.5,DC=1.5, 因为∠PAD=∠C=90°,∠P=∠P, 所以△ PAD∽△PCB, 所以 ,

所以 PA=2,AB=PB﹣PA=3,AD=1.5, △ SAB 中,SA=PA=2,SB= , 2 2 2 所以 SA +AB =SB , 所以 SA⊥AB 因为 AD∥PB, 所以 SA⊥AD, 因为 AB∩AD=A, 所以 SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)解:在图 2 中,延长 BA,CD 相交于 P,连接 SP,取 SP 的中点 M,连接 MA,MD, 则 因为 PA=SA,PD=SD, 所以 MA⊥SP,MD⊥SP, 所以∠AMD 为平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的平面角, 因为 SA⊥AD,AD⊥PB,SA∩PB=A, 所以 AD⊥平面 SPB, 因为 MA?平面 SPB, 所以 AD⊥MA. 在直角三角形 SPA 中,PA=SA=2,M 为 SP 的中点, 所以 SP=2 ,MA= , 在△ SPD 中,PD=SD=2.5,M 为 SP 中点,所以 MD= 所以 cos∠AMP= = , ,

所以平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为



点评: 考查线面垂直的性质于判定定理, 考查平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (14 分)已知曲线 C:x =﹣2py(p>0) ,点 M 是曲线 C 上的一个动点,过点 M 且与曲 线 C 相切的直线 l 的方程为 x+y﹣1=0. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)点 A、B 是曲线 C 上的两点,O 为原点,直线 AB 与 x 轴交于点 P(2,0) ,记 OA、 OB 的斜率为 k1、k2,试探求 k1、k2 的关系,并证明你的结论.
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)联立 ,化为 x ﹣2px﹣2p=0,由于直线 l 与抛物线相切,可得△ =0,
2

解得 p 即可. (II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为:y=k(x﹣2) ,与抛物线方程联立化为 2 x +4kx﹣8k=0,利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出. 解答: 解: (I)联立 ,化为 x ﹣2px﹣2p=0,
2

∵直线 l 与抛物线相切, 2 ∴△=4p ﹣4(﹣2p)=0,p>0,解得 p=2. 2 ∴曲线 C 的方程为 y =﹣4y. (II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为:y=k(x﹣2) , 联立 ,化为 x +4kx﹣8k=0,
2

∴x1+x2=﹣4k,x1x2=﹣8k.

∴k1=

=

=﹣

,同理可得:k2=



∴k1+k2=

=k,k1?k2= ,即

=﹣ . =﹣2.

消去 k 可得:k1k2=﹣

点评: 本题考查了直线与抛物线相切的相切、相交问题转化为方程联立与判别式的关系、 根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20. (14 分)已知圆:x +y =64,圆 C 与圆 O 相交,圆心为 C(9,0) ,且圆 C 上的点与圆 O 上的点之间的最大距离为 21. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)在 x 轴上是否存在定点 P,使得过点 P 的直线 l 被圆 O 与圆 C 截得的弦长 d1、d2 的比 值总等于同一常数 λ?若存在,求点 P 的坐标及 λ 的值,若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)圆 O1 的半径为 4,圆心为 O1(9,0) ,从而可得圆 O1 的标准方程; (2)当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y=k(x﹣a) ,求出 O,C 到直线 l 的距离,从而可得 d1、d2 的值,利用 d1、d2 的比值总等于同一常数 λ,建立方程,从而利用等式对任意实数 k 恒 成立,得到三个方程,由此可得结论. 2 2 解答: 解: (1)∵圆 O:x +y =64,圆 O1 与圆 O 相交,圆 O1 上的点与圆 O 上的点之间的 最大距离为 21, ∴圆 O1 的半径为 4, ∵圆心为 O1(9,0) , 2 2 ∴圆 O1 的标准方程为(x﹣9) +y =16; (2)当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y﹣b=k(x﹣a) ,即 kx﹣y﹣ka﹣b=0 ∴O,C 到直线 l 的距离分别为 h= ,h1= ,
2 2

∴d1=2

,d2=2

∵d1 与 d2 的比值总等于同一常数 λ, ∴64﹣
2 2 2

=λ [16﹣
2 2 2

2

]
2 2 2

∴[64﹣a ﹣16λ +λ (a﹣9) ]k +2b[a﹣λ (a﹣9)]k+64﹣b ﹣λ (16﹣b )=0 2 2 2 2 2 由题意,上式对任意实数 k 恒成立,所以 64﹣a ﹣16λ +λ (a﹣9) =0,2b[a﹣λ (a﹣9)]=0, 2 2 2 64﹣b ﹣λ (16﹣b )=0 同时成立, 2 ①如果 b=0,则 64﹣16λ =0,∴λ=2(舍去负值) ,从而 a=6 或 18; ∴λ=2,P(6,0) ,P(18,0) ②如果 a﹣λ(a﹣9) =0, 显然 a=9 不满足, 从而 λ = ﹣455<0,故方程无解,舍去; 当点 P 的坐标为(6,0)时,直线 l 的斜率不存在,此时 d1=2 ,d1= 也满足 综上,满足题意的 λ=2,点 P 有两个,坐标分别为(6,0) , (18,0) , 斜率不存在时 P(18,0) ,直线与圆外离,舍去. 点评: 本题考查圆的标准方程,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,考查学生分 析解决问题的能力.
2 2

, 3a ﹣43a+192=0, △ =43 ﹣4×3×192=

2

2


相关文档

广东省清远市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)(Word版含解析)
广东省东莞市2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析
广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(b卷)(理科) Word版含解析
广东省肇庆市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
广东省佛山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
1广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)(WORD版含解析)
广东省深圳市宝安区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
电脑版