【配套K12】安徽省滁州市全椒县襄河镇2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理

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安徽省滁州市全椒县襄河镇 2016-2017 学年高二数学下学期期中试

题理
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1、在复平面上,复数 z ? (?2 ? i)i5 的对应点所在象限是()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、已知集合 A={x|y= 1-x2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},则 A∩B 为( )

A.? B.{1} C.[0,+∞)

D.{(0,1)}

3、已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在[0,2π ]内α 的取值范围是( )

A. ( ? , ? )∪(π , 5? ) B.( ? , 3? )∪(π , 5? )

42

4

24

4

? 3?

5? 3?

??

3?

C.( , )∪( , ) D.( , )∪( ,π )

24

42

42

4

4、已知向量 m ? (? ?1,1) , n ? (? ? 2, 2) ,若 (m ? n) ? (m ? n) ,则 ? 的值为( ).

A. ?4

B. ?3

C. ?2

D. ?1

5、

? ??

x

?

1 x

9
? ??

展开式中的常数项是()

A. -84

B.84

C.-36 D.36

6、某几何体的三视图如右图所示,且该几何体的体积是 3 , 2

则正视图中的 x 的值是()

A.2

B. 9

2

C. 3

D.3

2

7、从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正

方形边长的概率为( )

A.15

B.25

C.35

D.45

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8、在?ABC 中,tanA 是以-4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 1 为第三项,9 3
为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( )

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.等腰直角三角形

D.以上都不对

9、偶函数 f(x)满足 f (x ?1) ? f (x ?1) ,且在 x∈[0,1]时,f(x)=x 2 ,则关于 x 的

方程 f(x)= ?? 1 ?? x 在[0,10] 上根的个数是( )

?10 ?

3

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.5 个

?3x ? y ? 2 ? 0

10、设 x,y 满足约束条件 ??x ? y ? 0

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 2,则

??x ? 0, y ? 0

1 ? 1 的最小值为( ) ab

A.2

B. 8

C. 25

D.4

3

6

11、对于函数 y=1+3x-x3 来说,有 ( ).

A.极小值-1,极大值 1

B.极小值-2,极大值 3

C.极小值为-2,极大值 2 D.极小值为-1,极大值 3

12 、 设 F 是 抛 物 线 c1 : y2 ? 2 p x( ?p 0的) 焦 点 , 点 A 是 抛 物 线 与 双 曲 线

c2

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0)

的一条渐近线的一个公共点,且 AF

?

x轴 ,则双曲线

的离心率为

()

A.2

B. 3

C. 5 2

D. 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡指定位置上.

? 13、 1 (2x+ex )dx = -1

.

14、用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an=1-1-ana+1,a≠1,n∈N*”,在验证

n=1 时,左边是

.

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教育配套资料 K12 15、执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 2,则输出的 P 值是________.

16、若函数 f(x)=2x2-lnx 在区间(k-1,k+1)内有定义且不是单调函数,则实数 k 的取

值范围为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题 10 分) (Ⅰ)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,
得曲线 C.写出 C 的参数方程;
(Ⅱ)极坐标系下,求直线 ρ cos(θ -π4 )= 2与圆 ρ =2 的公共点个数。

18.(本小题 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn=n2+n.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
?1? (Ⅱ)设??Sn??的前 n 项和为 Tn,求证 Tn<1.
19.(本小题 12 分) 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得 3 分,负

者得 0 分,没有平局。在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 2 ,甲胜丙的概率为 1 ,乙胜丙

3

4

的概率为 1 . 5
(Ⅰ)求甲获第一名且丙获第二名的概率;

(Ⅱ)设在该次比赛中,甲得分为? ,求? 的分布列和数学期望.

20.(本小题 12 分)

如图,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD是平行四边形,

且 AB ? 1, BC ? 2 , ?ABC ? 600 , E 为 BC 的中点,

A1

B1
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A

B

D1 C1
D C

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AA1 ? 平面 ABCD.
(Ⅰ)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1DE ; (Ⅱ)若 DE ? A1E ,试求二面角 C-A1D-E 的余弦值.

21.(本小题 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的离心率为 1 2

,直线 l 过点

A(4, 0) ,B(0, 2) ,且与椭

圆 C 相切于点 P . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程以及点 P 坐标;

(Ⅱ)是否存在过点 A(4, 0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、 N ,使得

36 AP 2 ? 35 AM ? AN ?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.
22. (本小题 12 分)
已知函数 f (x) ? a ln x ? 1 x2 ? 1 (a ? R且a ? 0) . 22
(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数 a ,使得对任意的 x ??1, ??? ,都有 f (x) ? 0 ?若存在,求 a 的取值
范围;若不存在,请说明理由.

高二年级数学理科试卷答案

一、选择题:

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 C

B

A

B

A

C

C

B

C

A

D

D

二、填空题:

13. e ? 1 14. 1+a e

15.4

3 16 1≤k<2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. (本小题满分 10 分)

解:(Ⅰ)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y),

依题意,得???x=x1 ,由 ??y=2y1

x21+y21=1



x2+???y2???2=1,

即曲线 C 的方程为 x2+y42=1.

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故 C 的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

cos(tt 为参数). 2 sin t

(Ⅱ)将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为 x+y=2,x2+y2=4,由于圆心

到直线的距离 d= 2<2,故直线与圆相交,即公共点个数共有 2 个.

18(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵Sn=n2+n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 又 a1=2 满足上式,∴an=2n(n∈N*). (Ⅱ)证明:∵Sn=n2+n=n(n+1), 11 1 ∴Sn=n-n+1,
∴Tn=???1-12???+???12-13???+…+???1n-n+1 1???
=1-n+1 1.∵n∈N*,∴n+1 1>0,即 Tn<1.

19. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,所以甲获第一的概率为 2 ? 1 ? 1 34 6
丙获第二,则丙胜乙,其概率为1 ? 1 ? 4 , 55
所以甲获第一名且丙获第二名的概率为 1 ? 4 ? 2 6 5 15
(Ⅱ)? 可能取的值为 0,3,6.

P(? ? 0) ? (1 ? 2)(1 ? 1) ? 1 3 44
P(? ? 6) ? 2 ? 1 ? 1 34 6
所以? 的分布列为

P(? ? 3) ? 2 (1 ? 1) ? 1 (1 ? 2) ? 7 3 4 4 3 12

?

0

3

6

P

1

7

1

4

12

6

E? = 0 ? 1 ? 3? 7 ? 6 ? 1 ? 11 4 12 6 4

20. (本小题满分 12 分)

解(Ⅰ)依题意, BE ? EC ? 1 BC ? AB ? CD 所以 ?ABE是正三角形, ?AEB ? 600 2
又 ?CED ? 1 ? (1800 ?1200 ) ? 300 所以 ?AED ? 900 , DE ? AE 2

因为 AA1 ? 平面 ABCD, DE ?平面 ABCD,所以 AA1 ? DE

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因为 AA1 ? AE ? A ,所以 DE ? 平面 A1 AE

因为 DE ?平面 A1DE ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1DE

(Ⅱ)因为 DE ? 3 = A1E ? A1 A2 ? AE2 , 所以 A1 A ? 2

以 A 为原点,过 A 且垂直于 BC 的直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴、 AA1 所在直线
为 z 建立空间直角坐标系

设平面 CA1D 的法向量 n1 ? (x, y, z)

?? ?

A1D

?

n1

?

0

??CD ? n1 ? 0

? CD= ??? -

3 2

,

1 2

,0

? ???

,

A1D

?

(0

,

2,

?

2) 则

得 n1 ? (1, 3, 6)

同理可得平面 A1DE 的一个法向量为 n2 ? ( 3 , 1 , 2)

设二面角 C-A1D-E 的平面角为? ,且? 为锐角

cos? ? cos n1, n2


? n1 ? n2 n1 n2 =

43

=2 5

10 ? 6 5

所以二面角 C-A1D-E 的余弦值为 2 55
21.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B(0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2y ? 4 ? 0 .

因为 c ? 1 ,所以 a ? 2c , b ? a2

3c .

设椭圆方程为

x2 4c2

?

y2 3c2

?1

?x ? 2 y ? 4 ? 0,



? ?

x2

?? 4c2

?

y2 3c2

消去 x ? 1,

得,4 y2

?12 y ?12 ? 3c2

? 0 .又因为直线 l 与椭圆 C

相切,

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? ? 122 ? 4? 4(12 ? 3c2 ) ? 0,解得c2 =1

所以点P(1, 3), 椭圆方程 x2 ? y2 ? 1

2

43

?Ⅱ?易知直线m的斜率存在,可设直线m的方程为y ? k(x ? 4)

? y ? k(x ? 4)



? ?

x2

?? 4

?

y2 3

,消去y, 整理得(3+4k 2)x2 ?1

? 32k 2 x ? 64k 2

?12

?0

? ? 由题意知?=(32k 2)2 ? 4(3 ? 4k 2 ) 64k 2 ?12 ? 0, 解得- 1 ? k ? 1

2

2

设M(x1,y1)N(x2,y2),则x1+x2 =

32k 2 3 ? 4k 2

,

x1x2

?

64k 2 ?12 3 ? 4k 2

则 AP 2 ? 45 . 所以 AM ? AN ? 36 ? 45 ? 81 .

4

35 4 7

又 AM ? AN ? (4 ? x1)2 ? y12 ? (4 ? x2 )2 ? y22

? (4 ? x1)2 ? k 2 (4 ? x1)2 ? (4 ? x2 )2 ? k 2 (4 ? x2)2 ? (k 2 ?1)(4 ? x1)(4 ? x2 )

?

(k 2

? 1)( x1 x2

?

4( x1

?

x2 )

? 16)

?

(k 2

64k 2 ?12 ?1)( 3 ? 4k 2

?

4?

32k 2 3 ? 4k2

? 16)

?

(k

2

?1)

3

36 ? 4k

2

.

所以 (k 2

?

1)

3

36 ? 4k

2

?

81 ,解得 k 7

?

?

2 .经检验成立. 4

所以直线 m 的方程为 y ? ? 2 (x ? 4) . 4

22. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ) f (x) 的定义域为 (0, ??) . f '(x) ? a ? x ? ?x2 ? a .

x

x

当 a ? 0 时,在区间 (0, ??) 上, f '(x) ? 0 . 所以 f (x) 的单调递减区间是 (0, ??) .

当 a ? 0 时,令 f '(x) ? 0 得 x ? a 或 x ? ? a (舍). 函数 f (x) , f '(x) 随 x 的变化如下:

x

(0, a )

a

( a , ??)

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f '(x)

+

0

?

f (x)



极大值



所以 f (x) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , ??) .

综上所述,当 a ? 0 时, f (x) 的单调递减区间是 (0, ??) ;

当 a ? 0 时, f (x) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , ??) .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:
当 a ? 0 时, f (x) 在[1, ??) 上单调递减.

所以 f (x) 在[1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ,即对任意的 x ?[1, ??) ,都有 f (x) ? 0 . 当 a ? 0 时,
(1) 当 a ? 1,即 0 ? a ? 1时, f (x) 在[1, ??) 上单调递减. 所以 f (x) 在 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0,即对任意的 x ?[1,??),都有

f (x) ? 0.

(2)当 a ? 1,即 a ?1时, f (x) 在 [1, a ) 上单调递增,

所以 f ( a ) ? f (1) .又 f (1) ? 0 ,

所以 f ( a ) ? 0 ,与对于任意的 x ?[1, ??) ,都有 f (x) ? 0 矛盾. 综上所述, 存在实数 a 满足题意,此时 a 的取值范围是 (??, 0) (0,1] .

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