2013-2014学年江苏省扬州中学高一(上)期中数学试卷

2013-2014 学年江苏省扬州中学高一(上)期中数 学试卷

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2013-2014 学年江苏省扬州中学高一(上)期中数 学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3},集合 B={3,4},则 A∩B= _________ . 2. (5 分)集合 A={0,1,x},B={x ,y,﹣1},若 A=B,则 y= 3. (5 分)函数 f(x)=a 4. (5 分)函数
x﹣1 2

_________



+1(a>0 且 a≠1)恒过定点 _________ . 的定义域为 _________ (以区间作答)

5. (5 分) (2013?湛江二模)已知

,则

=

_________ .

6. (5 分)如果 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则当 x<0 时,f(x)= _________ . 7. (5 分)已知函数 f(x)=x +2x+5,f(a)=3,则 f(﹣a)= _________ . 8. (5 分)已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 ,那么将这三个数从小到大排列为 _________ . 9. (5 分)若函数 y=x ﹣4x 的定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],则实数 a 的取值范围为 _________ . 10. (5 分)函数 y=|log2x|的单调递减区间是 _________ .
2 0.9 3

2

11. (5 分)已知函数

为增函数,则实数 a 的取值范围是 _________ .

12. (5 分) 已知 a>0, 且 a≠1, ( f x) =x ﹣a , 当 x∈ (﹣1, 1) 时均有 ( f x) < , 则实数 a 的取值范围是 _________ .

2

x

13. (5 分)已知关于 x 的函数 y= [a,b].当 t 变化时,b﹣a 的最大值=

(t∈R)的定义域为 D,存在区间[a,b]?D,f(x)的值域也是 _________ .

14. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x∈D,都有 x+k∈D,且 f(x+k)>f(x)恒 成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=|x﹣a| ﹣2a,若 f(x)为 R 上的“2013 型增函数”,则实数 a 的取值范围是 _________ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15. (14 分)已知集合 A={x|1≤x<6},B={x|2<x<9}.
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www.jyeoo.com (1)分别求:A∩B,A∪(?RB) ; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围. 16. (14 分)计算: (1) (2) . ;

17. (14 分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交 通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每日能来回 10 次,每日来回的次数 是车头每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢能载乘客 110 人.问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车 厢才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数. 18. (16 分)已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R) ,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣1,1]时,方程 f(x)=2x+m 有解,求实数 m 的取值范围; (3)设 g(t)=f(2t+a) ,t∈[﹣1,1],求 g(t)的最大值.

19. (16 分)已知定义域为 R 的函数 (1)求 a 的值; (2)判断并证明 f(x)的单调性;

是奇函数.

(3)若对任意的 t∈R,不等式 f(mt +1)+f(1﹣mt)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 20. (16 分)已知 (1)求 f(x)的解析式; x (2)解关于 x 的方程 f(x)=(a﹣1)?4 (3)设 h(x)=2 f(x) , 值范围.
﹣x

2

,a∈R.

时,对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有

成立,求 a 的取

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参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3},集合 B={3,4},则 A∩B= {3} . 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题. 直接利用集合的交集的求法,求出交集即可. 解:因为集合 A={1,2,3},集合 B={3,4}, 所以 A∩B={3} 故答案为:{3}. 本题考查交集的求法,考查计算能力,送分题.
2129255

点评:
2

2. (5 分)集合 A={0,1,x},B={x ,y,﹣1},若 A=B,则 y= 考点: 专题: 分析: 解答:

0



集合的相等. 规律型. 根据集合关 A=B,得到两个集合元素之间的关系,从而 确定 y.
2129255

点评:

解:∵A={0,1,x},B={x ,y,﹣1},且 A=B, ∴x=﹣1, 此时集合 A={0,1,﹣1},B={1,y,﹣1}, ∴y=0. 故答案为:0. 本题主要考查集合关系的应用, 利用集合关系相等确定元 素关系是解决此类问题的关键.
x﹣1

2

3. (5 分)函数 f(x)=a 考点: 专题: 分析:

+1(a>0 且 a≠1)恒过定点 (1,2) .

指数函数的单调性与特殊点. 函数的性质及应用. 令 x﹣1=0,求得 x 和 y 的值,
2129255

解答:

从而求得函数 f(x)=a +1 (a>0 且 a≠1)恒过定点的坐 标. 解:令 x﹣1=0,求得 x=1, 且 y=2, 故函数 f(x)=a +1(a>0 且 a≠1)恒过定点(1,2) , 故答案为 (1,2) . 本题主要考查指数函数的单 调性和特殊点,属于基础题.
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x﹣1

x﹣1

点评:

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www.jyeoo.com 4. (5 分)函数 考点: 专题: 分析: 解答: 的定义域为 [1,+∞) (以区间作答) 对数函数的定义域. 计算题.

2129255

欲使函数 要有意义只需偶次根式下大于等于 0,对数的真数大于 0,建立不等式组,解之即可. 解:函数 则 即 要有意义

点评:

∴函数 的定义域为{x|x≥1} 故答案为:[1,+∞) 本题主要考查了偶次根式函数、对数函数的定义域,以及利 用单调性解对数不等式,属于基础题.

5. (5 分) (2013?湛江二模)已知

,则

=



考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值. 计算题.

2129255

求出 f( )的值,然后求解

的值即可.

解:因为函数



所以 f( )= 所以 故答案为: . 点评:

=﹣1, =f(﹣1)=2 = .
﹣1

本题考查函数值的求法, 注意分段函数的定义域, 考查计 算能力.
2 2

6. (5 分)如果 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则当 x<0 时,f(x)= ﹣x +2x . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 计算题;函数的性质及应用. 将 x<0 转化为﹣x>0,利用 f(x)为 R 上的奇函数,当 2 x≥0 时,f(x)=x +2x,即可求得答案. 解:∵x<0, ∴﹣x>0, 2 ∵x≥0 时,f(x)=x +2x, 2 2 ∴f(﹣x)=(﹣x) ﹣2x=x ﹣2x, 又 f(x)为 R 上的奇函数,
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www.jyeoo.com ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∴﹣f(x)=x ﹣2x, 2 ∴f(x)=﹣x +2x. 2 故答案为:﹣x +2x. 本题考查函数解析式的求解及常用方法,将 x<0 转化为 ﹣x>0 是关键,属于中档题.
3 2

点评:

7. (5 分)已知函数 f(x)=x +2x+5,f(a)=3,则 f(﹣a)= 7 考点: 专题: 分析: 解答:



点评:
0.9

函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 计算 f(﹣a)+f(a)的值,即可得出. 3 解:∵函数 f(x)=x +2x+5, 3 3 ∴f(﹣a)+f(a)=(﹣a) ﹣2a+5+(a +2a+5)=10. 而 f(a)=3, ∴f(﹣a)+3=10,解得 f(﹣a)=7. 故答案为 7. 本题考查了函数的奇偶性和计算能力,属于基础题.
2129255

8. (5 分)已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 ,那么将这三个数从小到大排列为 b<a<c . 考点: 专题: 分析: 解答: 不等式比较大小;对数值大小的比较. 计算题. 可根据指数函数与对数函数的性质把 a、b、c 与 0、1 进 行比较即可.
2129255

点评:

解:∵0<a=log0.70.8<log0.70.7=1,b=log1.10.9< 0.9 0 log1.11=0,c=1.1 >1.1 =1, ∴b<a<c. 故答案为:b<a<c. 本题考查不等式的比较大小,着重考查指数函数与对数 函数的性质,关键在于将 a、b、c 与 0、1 进行比较,属 于基础题.
2

9. (5 分)若函数 y=x ﹣4x 的定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],则实数 a 的取值范围为 2≤a≤8 . 考点: 专题: 分析: 二次函数在闭区间上的最值. 计算题. 先配方,再计算当 x=2 时,y=﹣4;当 x=﹣4 时,y=(﹣4 2 ﹣2) ﹣4=32,利用定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32], 即可确定实数 a 的取值范围. 2 解:配方可得:y=(x﹣2) ﹣4 2 当 x=2 时,y=﹣4;当 x=﹣4 时,y=(﹣4﹣2) ﹣4=32; ∵定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32], ∴2≤a≤8 ∴实数 a 的取值范围为 2≤a≤8 故答案为:2≤a≤8 本题考查二次函数在闭区间上的最值, 考查函数的定义域与 值域,正确配方是关键.
2129255

解答:

点评:

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www.jyeoo.com 10. (5 分)函数 y=|log2x|的单调递减区间是 (0,1] .

考点: 专题: 分析:

解答:

对数函数的单调性与特点;带绝对值的函数. 探究型. 由题,函数 y=|log2x|与函数 y=log2x 图象的关系是 可由函数 y=log2x 的图象 X 轴下方的部分翻到 X 轴 上面, X 轴上面部分不变而得到, 结合函数 y=log2x 的性质,即可得到函数 y=|log2x|的单调递减区间 解:由对数函数性质知,函数 y=log2x 是一个增函 数,当 x∈(0,1]时,函数值小于等于 0
2129255

函数 y=|log2x|的图象可由函数 y=log2x 的图象 X 轴 下方的部分翻到 X 轴上面, X 轴上面部分不变而得 到 由此知,函数 y=|log2x|的单调递减区间是(0,1] 故答案为(0,1] 本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化, 解 题的关键是理解绝对值函数与原来的函数图象间 的关系, 其关系是: 与原函数 X 轴上方的部分相同, X 轴下午的部分关于 X 轴对称, 由此关系结合原函 数的性质得出此绝对值函数的单调性递减区间 为增函数,则实数 a 的取值范围是 ﹣1≤a<3 .

点评:

11. (5 分)已知函数

考点: 专题: 分析: 解答:

二次函数的性质. 函数的性质及应用. 根据分段函数单调性的定义可知,必须保证每个函数单调递增,且当 x=1 时,f(1)≥0,解不等式即可. 2 解:∵当 x<1 时,函数 f(x)=﹣(x﹣1) 为增函数,且此时 f(x)<0. ∴要使 f(x)在 R 上是增函数,则当 x≥1 时,f(x)=(3﹣a)x+4a,为增函数, 且此时函数 f(x)的最小值 f(1)≥0, (如图)
2129255











,解得﹣1≤a<3.

故答案为:﹣1≤a<3.

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点评:

本题主要考查分段函数的单调性的性质的应用,分段函数递增要求每个函数都必须满足单调递增,且在端点 处数值大小也存在相应的大小关系.
2 x

12. (5 分)已知 a>0,且 a≠1,f(x)=x ﹣a ,当 x∈(﹣1,1)时均有 f(x)< ,则实数 a 的取值范围是 1)∪(1,2] . 考点:函数恒成立问题;幂函数的性质. 专题:计算题. 分析: 由

[ ,

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造函数,由函数图象与性质可以得出结论. 解答: 解: (1) 由 ,a>0,且 a≠1 (2)由函数图象知,当 x∈(﹣1,1)时, g(x)的图象在 h(x)的图象下方. 如图:①当 a>1 时,有 h(﹣1)≥g(﹣1) , 即 ②当 有①、②知:实数 a 的取值范围是[ ,1)∪(1,2]. 答案为[ ,1)∪(1,2]. ,得 a≤2,即 1<a≤2; ,得 即

, 构造函数:

点评:本题借助二次函数的图象与性质,指数函数的图象与性质,考查函数的恒成立问题.合理构造函数,用数形结
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www.jyeoo.com 合的方法容易解答.

13. (5 分)已知关于 x 的函数 y= [a,b].当 t 变化时,b﹣a 的最大值= .

(t∈R)的定义域为 D,存在区间[a,b]?D,f(x)的值域也是

考点: 专题: 分析:

函数的定义域及其求法;函数的值域. 函数的性质及应用.

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由函数的单调性可得 a=f(a) ,且 b=f(b) ,故 a、b 是方程 2 2 x +(t﹣1)x+t =0 的两个同号的实数根. 由判别式大于 0,容易求得 t∈(﹣1, ) .由韦达定理可得 b﹣a= = ,

利用二次函数的性质求得 b﹣a 的最大值. 解答: 解:关于 x 的函数 y= =(1﹣t)﹣ 的

定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 且函数在(﹣∞,0) 、 (0,+∞)上都是增函数. 故有 a=f(a) ,且 b=f(b) ,即 =a,

=b. 即 a +(t﹣1)a+t =0,且 b +(t﹣1)b+t =0, 2 2 故 a、b 是方程 x +(t﹣1)x+t =0 的两个同号的实数根. 由判别式大于 0,容易求得 t∈(﹣1, ) . 由韦达定理可得 b﹣ a= b﹣a 取得最大值为 故答案为 点评: . = , ,故当 t=﹣ 时,
2 2 2 2

本题主要考查求函数的定义域,以及二次函数的性质,求 函数的最值,属于中档题.

14. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x∈D,都有 x+k∈D,且 f(x+k)>f(x)恒 成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=|x﹣a| ﹣2a,若 f(x)为 R 上的“2013 型增函数”,则实数 a 的取值范围是
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考点: 专题: 分析:

www.jyeoo.com 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质.

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函数的性质及应用. 利用奇函数的性质可得 f(x)的解析式,再利用新定义对 x 分类讨论和绝对值的意义即可得出. 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 设 x<0,则﹣x>0.∴f(﹣x)=|﹣x﹣a|﹣2a=|x+a|﹣2a, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣|x+a|+2a.

解答:





分类讨论: ①当 x>0 时,由 f(x+2013)>f(x) ,可得|x+2013﹣a|﹣2a>|x﹣a|﹣2a,化为|x﹣(a﹣2013)|>|x﹣ a|,由绝对值的几何意义可得 a+a﹣2013<0,解得 .

②当 x<0 时,由 f(2013+x)>f(x) , 分为以下两类研究:当 x+2013<0 时,可得﹣|x+2013+a|+2a>﹣|x+a|+2a,化为|x+2013+a|<|x+a|,由绝 对值的几何意义可得﹣a﹣a﹣2013>0,解得 .

当 x+2013>0,|x+2013﹣a|﹣2a>﹣|x+a|+2a,化为|x+2013﹣a|+|x+a|≥|2013﹣2a|>4a,a≤0 时成立;当 a >0 时, ,因此可得 = .

③当 x=0 时,由 f(2013)>f(0)可得|2013﹣a|﹣2a>0,当 a≤0 时成立,当 a>0 时,a<671. 综上可知:a 的取值范围是 故答案为 点评: . .

本题考查了奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法,属于难题.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15. (14 分)已知集合 A={x|1≤x<6},B={x|2<x<9}. (1)分别求:A∩B,A∪(?RB) ; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)由 A 与 B 求出 A 与 B 的交集,由全集 U 求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的并集即可; (2)根据 C 为 B 的子集,由 C 与 B 列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集即可得到 a 的范围. 解答: 解: (1)∵A={x|1≤x<6}=[1,6) ,B={x|2<x<9}=(2,9) ,全集为 R, ∴A∩B=(2,6) ,?RB=(﹣∞,2]∪[9,+∞) , 则 A∪(?RB)=(﹣∞,6)∪[9,+∞) ; (2)∵C={x|a<x<a+1},B={x|2<x<9},且 C?B,
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∴列得



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www.jyeoo.com 解得:2≤a≤8, 则实数 a 的取值范围是[2,8]. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,以及集合关系中的参数取值问题,熟练掌握各自的定义是解本题的 关键. 16. (14 分)计算: (1) (2) . ;

考点:

专题: 分析:

解答:

对数的运算性 质;有理数指数 幂的化简求值. 计算题. (1)化带分数 为假分数,化小 数为分数,然后 利用有理指数 幂的运算性质 化简求值; (2) 首先对以 5 为底数的对数 进行运算,把以 2 为底数的对数 的真数化为分 数指数幂,然后 利用对数的运 算性质化简求 值. 解: (1)
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=

=

= ; (2)

=
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=

= =3+1 =4. 本题考查了有 理指数幂的化 简与求值,考查 了对数的运算 性质,是基础的 计算题.

点评:

17. (14 分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交 通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每日能来回 10 次,每日来回的次数 是车头每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢能载乘客 110 人.问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车 厢才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数. 考点: 专题: 分析: 函数模型的选 择与应用. 应用题. (1)每日来回 的次数是车头 每次拖挂车厢 个数的一次函 数,由此可以求 出火车每日来 回次数与所挂 车厢个数的解 析式; (2)每日营运 人数=火车每日 来回次数×所挂 车厢个数×每节 车厢所载乘客 数.由此建立函 数解析式,求出 最大值. 解:设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题 意,y=kx+b 当 x=4 时, y=16;当 x=7
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解答:

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www.jyeoo.com 时,y=10; 得方程组:

解得:k=﹣2, b=24; ∴y=﹣2x+24 由题意知,每日 所拖挂车厢最 多时,营运人数 最多,现设每日 营运 S 节车厢, 则 S=xy=x(﹣ 2x+24)=﹣ 2x +24x=﹣2(x 2 ﹣6) +72, 所以, 当 x=6 时, Smax=72;此时 y=12. 所以,每日最多 运营人数为 110×6×12=7920 (人) 本题的关键是 建立函数模型, 求出函数解析 式,由解析式求 出最大值.这是 应用题中的基 础题目.
2

点评:

18. (16 分)已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R) ,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣1,1]时,方程 f(x)=2x+m 有解,求实数 m 的取值范围; (3)设 g(t)=f(2t+a) ,t∈[﹣1,1],求 g(t)的最大值. 考点: 抽象函数及其 应用;函数解析 式的求解及常 用方法;二次函 数在闭区间上 的最值;函数的 零点. 函数的性质及 应用. (1)设二次函 数 f(x)的解析 式, 代入 ( f x+1)
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专题: 分析:

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www.jyeoo.com ﹣f(x)=2x 和 f(0)=1,可求 a、b、c 的值; (2)x∈[﹣1, 1]时, 方程 f (x) =2x+m 有解, 即 2 x ﹣3x+1=m 在 x∈[﹣1,1]上有 解;求出 g(x) 2 =x ﹣3x+1, x∈[﹣1,1]的值 域即是 m 的取 值范围; (3)由 g(t) =f(2t+a)是二 次函数,图象是 抛物线,对称轴 是 x= , 讨

解答:

论对称轴在闭 区间[﹣1,1]的 左侧还是右侧, 从而确定函数 的最值问题. 解: (1) 设f (x) =ax +bx+c (a≠0) , 代入 f(x+1)﹣ f(x)=2x 和 f (0)=1, 得
2

,化简得

; ∴a=1,b=﹣1, c=1,∴f(x)的 解析式为 f(x) 2 =x ﹣x+1; (2) 当 x∈[﹣1, 1]时, 方程 f (x) =2x+m 有解, 2 即方程 x ﹣ 3x+1=m 在 x∈[﹣1,1]上有
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www.jyeoo.com 解; 令 g(x)=x ﹣ 3x+1,x∈[﹣1, 1],则 g(x)的 值域是[﹣1, 5], 所以,m 的取值 范围是[﹣1, 5]; (3)∵g(t)=f 2 (2t+a)=4t + 2 (4a﹣2)t+a ﹣a+1,t∈[﹣1, 1]; 对称轴是 x= ∴①当 ≥0,即 a≤ 时, g(t)max=g(﹣ 1) =4﹣ (4a﹣2) 2 2 +a ﹣a+1=a ﹣ 5a+7; ②当 < ,
2

0,即 a> 时, g(t)max=g(1) 2 =4+ (4a﹣2) +a ﹣ a+1=a +3a+3; 综上所述, g (t)
max= 2

点评:

. 本题考查了求 二次函数的解 析式与二次函 数在闭区间上 的最值问题,其 中(1)是基础 题(2)是中档 题(3)是难题.

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www.jyeoo.com 19. (16 分)已知定义域为 R 的函数 (1)求 a 的值; (2)判断并证明 f(x)的单调性; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(mt +1)+f(1﹣mt)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问 题;函数单调性 的判断与证明; 函数奇偶性的 性质. 函数的性质及 应用. (1)利用 f(1) +f(﹣1)=0, 即可解得 a 的 值,并利用定义 检验即可; (2)判断:单 调递增.设 x1∈R,x2∈R 且 x1<x2,只要证 明( f x1) ﹣( f x2) <0,即可; (3) 利用函数 f (x)的奇偶性 和单调性可得: 对任意的 t∈R, 不等式 f 2 (mt +1)+f(1 ﹣mt)>0 恒成 2 立?mt +1>mt ﹣1 对任意的 t∈R 恒成立.对 m 分类讨论和 利用二次函数 的性质即可得 出. 解: (1) 由f (1) +f(﹣1)=0, 得
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是奇函数.

2

专题: 分析:

解答:

. 检验:a=2 时,

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, ∴f (x) +f (﹣x) =0 对 x∈R 恒成 立,即 f(x)是 奇函数. (2)判断:单 调递增. 证明:设 x1∈R, x2∈R 且 x1<x2, 则

=

, ∵

,即

. 又

, ∴

, ∴( f x1) ﹣( f x2) <0,即 f(x1) <f(x2) . ∴f(x)在 R 上 是增函数. (3)∵f(x)是 奇函数,∴不等 2 式 f(mt +1)+f
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www.jyeoo.com (1﹣mt)> 0?f(mt +1) >f(mt﹣1) , ∵f(x)在 R 上 是增函数,∴对 任意的 t∈R,不 2 等式 f(mt +1) +f(1﹣mt)>0 恒成立, 2 即 mt +1>mt﹣ 1 对任意的 t∈R 恒成立, 2 即 mt ﹣mt+2> 0 对任意的 t∈R 恒成立. m=0 时, 不等式 即为 2>0 恒成 立,合题意; m≠0 时,有
2

点评:

即 0<m<8. 综上: 实数 m 的 取值范围为 0≤m<8 本题综合考查 了函数的奇偶 性和单调性、 “三个二次的关 系”、分类讨论 等基础知识与 基本技能方法, 属于难题. ,a∈R.

20. (16 分)已知 (1)求 f(x)的解析式; x (2)解关于 x 的方程 f(x)=(a﹣1)?4 (3)设 h(x)=2 f(x) , 值范围. 考点: 函数恒成立问 题;函数解析式 的求解及常用 方法;函数的零 点.
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﹣x

时,对任意 x1,x2∈[﹣1,1]总有

成立,求 a 的取

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www.jyeoo.com 专题: 函数的性质及 应用. 分析: (1)令 log2x=t t 即 x=2 ,从而求 出 f(t)的解析 式,最后将 t 用 x 替换即可求出 所求; (2)将 f(x)= x (a﹣1)?4 进 x 行配方得(2 ﹣ 2 1) =a,讨论 a 可得方程的解 的情况; (3)将“对任意 x1,x2∈[﹣1,1] 总有

成立”转化成“当 x∈[﹣1,1]时,

解答:

恒成立”讨论研 究函数 h (x) 的 最值,从而求出 a 的取值范围. 解: (1)令 log2x=t 即 x=2 , t 则f (t) =a? (2 ) 2 t ﹣2?2 +1﹣a, 2x 即 f(x)=a?2 x ﹣2?2 +1﹣a, x∈R, (2)由 f(x)= x (a﹣1)?4 化 2x 简得:2 ﹣ x 2?2 +1﹣a=0 即 x 2 (2 ﹣1) =a, 当 a<0 时,方 程无解, 当 a≥0 时,解得 , 若 0≤a<1,则
t


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www.jyeoo.com 若 a≥1,则

, (3) 对任意 x1, x2∈[﹣1, 1]总有

成立,等价于 当 x∈[﹣1,1] 时,



, x 令 2 =t,则

, 令

, ①当 a≥1 时,

单调递增, 此时





即 ②当 时,

(舍) ,

单调递增 此时
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即 ∴ ③当 时, ,



上单调递减,在

上单调递增 且





, ∴

即 ∴ 综上:

, ,

. 点评: 本题是一道综 合题,主要考查 了函数的解析 式,解指数方 程,以及函数恒
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www.jyeoo.com 成立问题,同时 考查了转化的 思想和运算求 解的能力,属于 中档题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:孙佑中;minqi5;qiss;742048;wfy814;maths;caoqz;sllwyn;xintrl;刘长柏; sxs123(排名不分先后)
菁优网 2013 年 12 月 22 日

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