2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-1 数列的概念课件 (文) 全国.重庆专版_图文

第一节

数列的概念

? 1.数列的概念 一定次序 ? (1)数列的定义:按 排成的一列 数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这 个数列的项. 第n项an ? (2)通项公式:如果数列{an}的 与 n之间的关系可以用一个公式来表示,那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ? (3)递推公式:如果已知数列{an}的第一项 任何一项an (或前几项),且 与它的前一 项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式 子来表示,那么这个式子就叫做这个数列 的递推公式.

? 数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都 有通项公式?
? 【提示】 不唯一,如数列-1,1,- 1,1,…的通项公式可以为an=(-1)n或an = ,有的数列没有通项公式.

? 数列是一个特殊的函数,可以看作是定义 域为正整数集N?(或其有限子集 {1,2,3,4,…,n})的函数f(n),当自变量n 从小到大依次取值时所对应的一列函数 值.

? 2.数列的分类

分类原则

类型

满足条件
项数 项数
> 有限 无限

按项数分 有穷数列 类 无穷数列

. .

按项与项 递增数列 an+1< an
间 递减数列 an+1 an 其中 n∈N?

的大小关

分类原 则

类型

满足条件

存在正数M,使 有界数列 按其他 |an|≤M an的符号正负相间, 标准分 类 摆动数列 如1,-1,1,-1, …

? 3.数列的前n项和 ? (1)数列前n项和的定义:对于数列{an}, 我们把a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n 项和,并记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.

? (1)研究数列的前n项和时,首先要考虑数 列的通项公式的特征,其次是找准变化的 规律. ? (2)在应用an与Sn的关系式时要分n=1和 n≥2两种情况讨论,最后检验两种情况能 否合用一个式子表示,若不能,就用分段 形式表示.

? 1.下列说法正确的是 ( ) ? A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} ? B.数列1,0,-1,-2与数列-2,- 1,0,1是相同的数列

? D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}

【解析】

根据数列的定义与集合定义的不同可知

A,B 不正确,D 项{2n}中的 n∈N?,故不正确,C 中 an n+1 = n , 1 ∴ak=1+ . k
【答案】 C

? 2.已知数列{an}的通项公式是an= ? ( ) 则a2·a3等于

? A.70
? C.20 D.8

B.28

? 【解析】 易知a =2,a =10.

an 3.已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,则 a5= 2an+3 ( A.108 C.161 1 B. 108 1 D.161 )

a1 1 【解析】 a1=1,a2= = , 2a1+3 5 a2 1 a3 1 a3 = =17,a4= =53, 2a2+3 2a3+3 a4 1 a5 = =161. 2a4+3
【答案】 D

? ? ? ?

4.已知Sn=5n-3,则an=________. 【解析】 n=1时,S1=2,n≥2时, an=Sn-Sn-1=5n-3-5n-1+3=4·5n-1. 由此式有a1=4×50=4≠S1,

? 5.已知数列{an}对于任意p,q∈N*,有ap +aq=ap+q,若a1= ,则a36= ________. ? 【解析】 由ap+aq=ap+q得an=na1,所 以a36=36a1=4. ? 【答案】 4

? 写出下列各数列的一个通项公式: ? (1)4,6,8,10,…

? (3)3,33,333,3 333,… ? 【思路点拨】 由所给数列前几项的特点, 归纳出其通项公式,注意项与项数的关系, 项与前后项之间的关系,通项公式的形式 并不唯一.

【解析】

(1)各项是从 4 开始的偶数,

所以 an=2n+2. (2) 每 一 项 分 子 比 分 母 少 1 , 而 分 母 可 写 为 21,22,23,24,25,…,故所求数列的一个通项公式可写为 an= 2n-1 . 2n 9 99 999 9 999 (3)将数列各项改写为3, 3 , 3 , 3 ,…,分母 都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,…, 1 n 所以 an= (10 -1). 3

?

设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n -1a =3n(n∈N*),求数列{a }的通项公 n n 式.

【解析】 a1+2a2+4a3+…+2n 1an=3n,① 当 n=1 时,a1=3. 当 n≥2 时,a1+2a2+4a3+…+2n 2an-1=3n 1,② ①-②得,2n 1an=3n-3n 1=2·n 1, 3 3 n-1 an=2·2) , ( ?3,n=1, ? 故数列{an}的通项公式为 an=? 3 n-1 ( ?2·2) ,n≥2. ?
- - - - -



? (1)已知数列的递推公式求通项,可把每相 邻两项的关系列出来,抓住它们的特点进 行适当处理,有时借助拆分或取倒数等方 法构造等差数列或等比数列,转化为等差 数列或等比数列的通项问题;

? (2)对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求 通项公式,只要f(n)可求和,便可利用累 加的方法; ? 对于形如 =g(n)的递推公式求通项公 式,只要g(n)可求积,便可利用累积的方 法或迭代的方法; ? 对于形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1)型递推 关系求通项公式时,可用迭代法或构造等 比数列法.

? 1.由下列数列{an}的关系,求数列{an}的 通项公式: ? (1)a1=1,an-an-1=n(n≥2); ? (2)Sn=2n2-3n+k.

【解析】 n-1,…,

(1)由题意得,an-an-1=n,an-1-an-2=

a3-a2=3,a2-a1=2. 将上述各式累加得,an-a1=n+(n-1)+…+3+2, n(n+1) 即 an=n+(n-1)+…+3+2+1= 2 , n(n+1) 故 an= 2 .

? (2)当n≥2时, ? an=Sn-Sn-1=2n2-3n+k-2(n-1)2+3(n -1)-k ? =4n-5; ? 当n=1时,a1=S1=-1+k; ? 当k=0时,a1=-1适合an=4n-5,∴an =4n-5; ? 当k≠0时,a1=-1+k不适合an=4n-5,

?

已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+ 24n(n∈N?). ? (1)求{an}的通项公式; ? (2)当n为何值时,Sn达到最大?最大值是 多少?

? 【解析】 (1)n=1时,a1=S1=23. ? n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n- 1)2-24(n-1) ? =-2n+25.经验证,a1=23符合an=-2n +25, ? ∴an=-2n+25(n∈N?). ? (2)解法1:∵Sn=-n2+24n, ? ∴n=12时,Sn最大且Sn=144. ? 解法2:∵an=-2n+25,∴an=-2n+25 >0, ? 有

? (1)由Sn求an的步骤:先求a1和n≥2时an的值, 再判定a1与an的从属关系. ? (2)求数列前n项和Sn的最大值,一般是由 求和式利用函数思想求解,其次是判定数 列项的正负分界.

? 2.已知数列的通项公式为an= ? (1)0.98是不是它的项? ? (2)判断此数列的增减性.

【解析】 (1)假设 0.98 是它的项,则存在正整数 n, n2 满足 2 =0.98,∴n2=0.98n2+0.98. n +1 ∵n=7 时成立,∴0.98 是它的项. (n+1)2 n2 (2)an+1-an= - (n+1)2+1 n2+1 2n+1 = >0. [(n+1)2+1](n2+1) ∴此数列为递增数列.

? 本节内容在近几年高考试题中出现的频率 并不高,但是高考题中的一些概念创新题, 大都以本节内容作为背景.数列的前n项 和Sn和an的关系考查是命题的重点和热点; 题型多以选择、填空形式出现,题型为中 档题.

1.(2009 年陕西卷)设曲线 y=xn 1(n∈N?)在点(1,1)


处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 x1·2· xn 等于 x …· ( 1 A. n n C. n+1 1 B. n+1 D.1 )

【解析】 f′(x)=(n+1)xn, f(x)在点(1,1)处的切线斜 率 k=n+1,则切线方程: y-1=(n+1)(x-1),令 y=0, n ∴切线与 x 轴交点横坐标 xn= , n+1 1 2 n 1 ∴x1·2…·n=2×3×…× x x = ,故选 B. n+1 n+1
【答案】 B

? 2.(2008年江苏卷)将全体正整数排成一个 三角形数阵:

? 根据以上排列规律,数阵中第n(n≥3)行的 从左向右的第3个数是________.

【解析】 前 n-1 行共有正整数 1+2+…+(n-1) n(n-1) n2-n = 个,即 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正 2 2 n2-n n2-n+6 整数中第 2 +3 个,即为 . 2


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