【学海导航】2015届高三数学(文)(人教版B)第一轮总复习同步训练:第3单元《导数及其应用》

第三单元 导数及其应用 第 15 讲 导数的概念及其运算 1.已知函数 f(x)=-x2+2x,函数 f(x)从 2 到 2+Δx 的平均变化率为( ) A.2-Δx B.-2-Δx C.2+Δx D.(Δx)2-2·Δx 2.下列函数求导运算正确的个数为( ) 1 ①(3x)′=3xlog3e; ②(log2x)′= ; x· ln 2 ③(ex)′=ex; ④(x· ex)′=ex+1. A.1 B.2 C.3 D.4 1 3 3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t s 后的位移为 s= t3- t2+2t,那么速度为 3 2 零的时刻是( ) A.0 s 末 B.1 s 末 C.2 s 末 D.1 s 末和 2 s 末 1 1 5 4.曲线 y= x3+ x2 在点 T(1, )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) 3 2 6 49 49 A. B. 18 36 49 49 C. D. 72 144 5.已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f′(x)的图象大致形状是( ) 6.曲线 C:f(x)=sin x+ex+2 在 x=0 处的切线方程为________. 7. 与直线 2x - 6y + 1 = 0 垂直,且与曲线 f(x) = x3 + 3x2 - 1 相切的直线方程是 __________. 8.求下列函数的导数: 3-4x (1)y= ; 2+3x (2)y=(x2-1)sin x+xcos x; 1+sin x (3)y= ; 1-cos x x+1 (4)y= . 5 2 x b 9.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积 为定值,并求此定值. 第 16 讲 导数在函数中的应用 1.下列命题中的真命题是( ) A.“f ′(x)≥0 在[a,b]上恒成立”是“连续可导函数 f(x)在[a,b]上为增函数”的充 要条件 B.若 f ′(x0)=0,则 x0 一定是 y=f(x)的极值点 C.函数的极大值可能会小于这个函数的极小值 D.函数在开区间内不存在最大值和最小值 2.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f ′(x)的图象可 能是( ) 3.函数 f(x)=x3+3x2+4x-a 的极值点的个数是( ) A.2 B.1 C.0 D.由 a 确定 4.函数 y=xex 的最小值是( ) A.-1 B.-e 1 C.- D.不存在 e 1 5.设函数 f(x)=x(ex+1)+ x2,则函数 f(x)的单调增区间为________. 2 6.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有三个相异的公共点,则 a 的取值范围是 __________. 7.已知函数 f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值, 则实数 m 的取值 范围是__________. 1 8.设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x), 若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=- 对 2 称,且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 9.已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+b 在 x=-1 处的切线与 x 轴平行. (1)求 a 的值和函数 f(x)的单调区间; 3 (2)若函数 y=f(x)的图象与抛物线 y= x2-15x+3 恰有三个不同的交点,求 b 的取值范 2 围. 第 17 讲 导数的综合应用(主要含优化问题) 60-x 1.某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2· (0<x<60), 则当箱子的容积最大 2 时,箱子底面边长是( ) A.30 B.40 C.50 D.其他 2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、 b,若 a<b,则必有( ) A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a) C.bf(b)≤af(a) D.bf(a)≤af(b) 3.欲制作一个容积为 2π 立方米的圆柱形储油罐(有盖),为能使所用的材料最省,它的 底面半径和高分别为( ) A.底面半径为 0.5 米,高为 1 米 B.底面半径为 1 米,高为 1 米 C.底面半径为 1 米,高为 2 米 D.底面半径为 2 米,高为 0.5 米 4.某企业生产某种产品, 固定成本为 20000 元, 每生产一件产品, 成本增加 100 元. 已 1 ? ?400x-2x2?0≤x≤400? 知总收益 R(元)与年产量 x(件)的关系式是 R(x)=? , 则总利润最大时, ? ?80000 ?x>400? 年产量是( ) A.100 件 B.150 件 C.200 件 D.300 件 5.如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器 中,请按顺序写出与容器 (1) 、 (2)、 (3) 、 (4)对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象 ______________. 6.已知函数 f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f ′(x)-ax-5.若对任意 a∈[-1,1]都有 g(x)<0 成立,则实数 x 的取值范围是____________. 7.设函数 f(x)=x-x2+3ln x,证明:当 x>0 时,f(x)≤2x-2. 8.某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:元)与日产量 x(单位:吨)满足函数关系 式 C=10000+20x,每日的销售额 R(单位:元)与日产量 x 的函数关系式 1 ? ?-30x3+ax2+290x ?0<x<120? R=? , ?20400 ?x≥120? ? 已知每日的利润 y=

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