【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:8.6双曲线


第六节 双 曲 线

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)双曲线的定义: 之差的绝对值 为常数 ①平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_____________ 焦点 2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的_____, 焦距 两焦点间的距离叫做_____.

②集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数 且a>0,c>0. 2a<|F1F2| 时,M点的轨迹是双曲线; (ⅰ)当_________ 2a=|F1F2| 时,M点的轨迹是两条射线; (ⅱ)当_________

2a>|F1F2| 时,M点不存在. (ⅲ)当_________

(2)双曲线的标准方程和几何性质:

图形

标准方程 性 质 范围 对称性

x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b __________(a>0,b>0)

y2 x 2 ? 2 ?1 2 a b __________(a>0,b>0)

x≥a或x≤-a ____________ 坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____

y≤-a或y≥a ____________ 坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____

顶点 渐近线 性 质 离心率

顶点坐标: (-a,0) 2______ (a,0) A1_______,A
b ? x y=_____ a

顶点坐标: (0,-a) 2______ (0,a) A1_______,A
a ? x b y=____

c (1,+∞) e=___,e∈________ a

实虚轴 a,b,c间 的关系

2a 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=___; 2b 线段B B 叫做双曲线的虚轴,它的长|B B |=___;
1 2 1 2

a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a2+b2 c2=_____(c>a>0,c>b>0)

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e=____ 2 ?双曲线的两条渐 垂直 近线互相_____. (2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系:当焦点在x轴上时,渐近 线斜率为± b ,当焦点在y轴上时,渐近线斜率为± a .
a b

(3)渐近线与离心率:
2 x 2 y 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 b =______. e ?1 ? 2 2 a a b

≥ (4)若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|___c-a.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:定义法、待定系数法、点差法.
(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想、方程思想.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲
线.( )

(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线.( )

2 2 x y (3)方程 ? ? 1(mn ? 0) 表示焦点在x轴上的双曲线.( m n

)

2 2 2 2 x y x y (4)双曲线方程 2 ? 2 ? ?(m ? 0, n ? 0, ? ? 0) 的渐近线方程是 2 ? 2 ? 0, m n m n 即 x ? y ? 0. ( ) m n

【解析】(1)错误.由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线 的全部. (2)错误.因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线. (3)错误.当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m<0,n<0时则表 示焦点在y轴上的双曲线.

2 2 x y (4)正确.因为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线方程为y=〒 b x,即 a a b 2 2 2 2 x y x y ? ?1 ? ? 0 , 所以当λ>0时, (m>0,n>0)的渐近线方程为 2 2 2 2 ?m ?n a b 2 2 x2 y2 x y x y 即 即 ? ? 0 , ? ? 0. 同理当λ<0时,仍成立, ? ? 0 , 2 2 2 2 ?m ?n m n m n

故结论正确. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)〓 (4)√

2.教材改编

链接教材

练一练

2 2 x y (1)(选修1-1P54A组T1改编)双曲线 ? ? 1 上的点P到点(5,0)的距 16 9

离是6,则点P的坐标是_______.

【解析】根据双曲线方程可知c= 16 ? 9 =5. 所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0). 设P(x,y),由两点间距离公式: |PF2|=

? x ? 5?

2

? y 2 =6,



所以点P在双曲线右支上, |PF1|= ? x ? 5 ?2 ? y 2 , 因为|PF1|-|PF2|=2a=8,

所以 ? x ? 5 ?2 ? y 2 =2a+6=14, 所以(x+5)2+y2=196, ①②联立得x=8. 代入原式可得y=〒3 3 . 所以点P坐标为(8,〒3 3 ). 答案:(8,〒3 3 ) ②

2 2 x y (2)(选修1-1P53T3改编)以椭圆 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点 4 3

为焦点的双曲线方程为

.

x 2 y2 x 2 y2 【解析】设要求的双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),由椭圆 ? ? 1 4 3 a b

得焦点为(〒1,0),顶点为(〒2,0). 所以双曲线的顶点为(〒1,0),焦点为(〒2,0). 所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3, 所以双曲线标准方程为x22 y 答案:x2=1 3

y 2 =1. 3

3.真题小试

感悟考题

试一试

2 2 x y (1)(2014?天津高考)已知双曲线 2 - 2 ? 1(a>0,b>0)的一条渐近线 a b

平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程 为( )
x 2 y2 B. - ? 1 20 5 3x 2 3y 2 D. - ?1 100 25

x 2 y2 A. - ? 1 5 20 3x 2 3y 2 C. - ?1 25 100

【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上,易知直线l过双曲线
左焦点,所以0=-2c+10,即c=5,又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,

故有

b =2,结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为 a

x 2 y2 - ? 1. 5 20

2 2 x y (2)(2014?新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 ? ? 1(a>0)的离心率 2 a 3

为2,则a=(
A.2 B.

)
6 2 C. 5 2 D.1

【解析】选D.由双曲线的离心率可得

a2 ? 3 解得a=1. ? 2, a

2 2 x y (3)(2014?广东高考)若实数k满足0<k<9,则曲线 - ?1 25 9-k 2 2 与曲线 x - y ? 1 的( ) 25-k 9

A.焦距相等 C.虚半轴长相等

B.实半轴长相等 D.离心率相等

【解析】选A.因为0<k<9,
2 2 2 2 x y x y 所以曲线 - ? 1 与曲线 - ? 1 都表示焦点在x轴上的 25 9-k 25-k 9

双曲线,且25≠25-k,9-k≠9, 但a2+b2=34-k, 故两双曲线的焦距相等.

2 2 x y (4)(2014?山东高考)已知双曲线 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的焦距为2c, 2 a b

右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线
所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为______.

【解析】由题意知

p ? c 2 ? a 2 ? b, 2
2 2

抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 (c, ? p ),
2 c b c 即(c,-b),代入双曲线方程为 2 ? 2 ? 1, 得 2 ? 2, a b a 2 所以 b ? c 2 ? 1 ? 1, 所以渐近线方程为y=〒x. a a

2

答案:y=〒x

考点1

双曲线的定义及其应用
是双曲线x2y 2 =1的两个焦点,P是双曲线上的 24

【典例1】(1)设F1,F2

一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(
A.4 2 B.8 3 C.24 D.48

)

2 2 x y (2)已知F1,F2为双曲线 =1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一 ? 5 4

点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为(
A. 37 ? 4 C. 37 ? 2 5 B. 37 ? 4 D. 37 ? 2 5

)

2 2 x y (3)已知F为双曲线C: - =1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等 9 16

于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为

.

【解题提示】(1)由双曲线的定义及3|PF1|=4|PF2|可求出|PF1|,|PF2|
的值.

(2)|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a,故要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求
|AP|+|AF1|的最小值即可.

(3)可想法求出|FP|+|FQ|,再求周长.

【规范解答】(1)选C.双曲线的实轴长为2,焦距为|F1F2|=2〓5=10.据
1 题意和双曲线的定义知,2=|PF1|-|PF2|= 4 |PF2|-|PF2|= |PF2|, 3 3

所以|PF2|=6,|PF1|=8.

所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以PF1⊥PF2,所以 S
PF1F2

1 1 ? |PF1|?|PF2|= 〓6〓8=24. 2 2

(2)选C.|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a,要求|AP|+|AF2|的最小值,只 需求|AP|+|AF1|的最小值,当A,P,F1三点共线时,取得最小值,则 |AP|+|AF1|=|PF1|= 37 , 所以|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a= 37 -2 5 .

(3)显然,点A为双曲线的右焦点,P,Q都在双曲线的右支上,|PQ|=16,

由双曲线的定义得:|FP|-|PA|=6,|FQ|-|QA|=6,两式相
加,|FP|+|FQ|-|PA|-|QA|=12,即|FP|+|FQ|-|PQ|=12,

所以|FP|+|FQ|=28,所以△PQF的周长为|FP|+|FQ|+|PQ|=44.
答案:44

【易错警示】解答本题(3)易出现以下两点错误
(1)不判断PQ的位置,造成思路受阻,无法进行下去.

(2)对PQ位置判断错误,得出错误结论.

【互动探究】若将本例(1)中“3|PF1|=4|PF2|”改为“PF1⊥PF2”, 如何求解? 【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,则
2 2 ? ? m ? n ? 100, ? 2 2 m ? n ? 2mn ? 4, ? ?

解之得mn=48.

所以 S

PF1F2

?

1 mn=24. 2

【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线 的定义经常使用. (2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立它与 |PF1||PF2|的联系.

提醒:利用双曲线的定义解决问题,要注意三点:
(1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置.

2 2 x y 【变式训练】已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线 ? ? 1 的左、 16 9 右焦点,顶点P在双曲线上,则 sin A ? sin B 的值等于( ) sin P 4 7 5 A. ??????????????B. ??????????????C. ??????????????D. 7 5 4 4 sin A ? sin B || PB | ? | PA || 【解析】选A.在△ABP中,由正弦定理知 ? sin P AB 2a 8 4 ? ? ? . 2c 10 5

【加固训练】1.(2014?成都模拟)已知定点A,B,且|AB|=4,动点 P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为(
1 3 7 A. ????????????B. ????????????C. ????????????D. 5 2 2 2

)

【解析】选C.由|PA|-|PB|=3知P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲 线一支, 因为2a=3,2c=4,所以a= , c=2, 所以|PA|min=a+c= , 故选C.
7 2 3 2

2 2 x y 2.双曲线 2 - 2 =1 (a>0,b>0)的焦点分别为F1,F2,过F1作直线交双曲 a b

线的左支于A,B两点,且|AB|=m,则△ABF2的周长为

.

? | AF2 ? AF1 |? 2a, ? 【解析】由 ? ? ?| BF2 ? BF1 |? 2a

?|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,

又|AF1|+|BF1|=|AB|=m,
所以|AF2|+|BF2|=4a+m.

那么△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.
答案:4a+2m

3.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若

PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为

.

【解析】设P在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因为 PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x= 3 -1,x+2= 3 +1,所以 |PF2|+|PF1|=2 3 . 答案:2 3

考点2

双曲线的标准方程及性质

知?考情
双曲线的标准方程的求解以及双曲线的渐近线、离心率的求解是每年

高考的一个热点,难度适中,且多以选择题或填空题的形式出现.

明?角度 命题角度1:求双曲线的标准方程
2 2 x y 【典例2】(2014?江西高考)过双曲线C: 2 ? 2 ? 1 的右顶点作x轴的 a b

垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的 圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(
x 2 y2 A. ? ?1 4 12 x 2 y2 C. ? ?1 8 8 x 2 y2 B. ? ?1 7 9 x 2 y2 D. ? ?1 12 4

)

【解题提示】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4. 【规范解答】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16, 故a=2,b2=12,所以方程为
x 2 y2 =1. ? 4 12

命题角度2:求双曲线的离心率
x 2 y2 【典例3】(2014?重庆高考)设F1,F2分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, a b

b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab, 则该双曲线的离心率为( )

A. 2?????????????B. 15?????????????C.4??????????????D. 17

【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于a,b的等式,进而求出 离心率的值.

【规范解答】选D.由双曲线的定义知, (|PF1|-|PF2|)2=4a2, 又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab, 所以4a2=b2-3ab, 等号两边同除以a2,化简得 ( b ) 2 ? 3 b ? 4 ? 0,
a a

解得

b b ? 4或 ? ?1? 舍去 ?, a a

c c2 a 2 ? b2 b 2 故离心率e ? ? 2 ? ? 1 ? ( ) ? 17. 2 a a a a

【互动探究】若将本例中“(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab”改为“|PF1| +|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= 9 ab”,如何求解?
4

【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,
? ?m ? n ? 3b, ? 于是 ?m ? n ? 2a, ? 9 ?m n ? ab. 4 ? 9 m?n m?n 1 所以m n ? ? m ? 3n(m ? ? n舍去). 4 3 2 3 4 5 5 所以a ? n, b ? n ? c ? n, 所以e ? . 3 3 3

悟?技法 1.求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法:由条件判定动点的轨迹是双曲线,求出a2,b2,写出方程. (2)待定系数法:即“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应 注意分类讨论或恰当设置简化讨论.

常见设法有:
2 2 2 2 x y x y ①与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的可设为 2 ? 2 ? ? (λ ≠0); a b a b 2 2 b x y ②若渐近线方程为 y ? ? x, 则可设为 ? ? ? (λ ≠0); a a 2 b2 2 2 x y ③若过两个已知点,则设为 ? ? 1 (mn<0). m n

2.求双曲线离心率或离心率范围的两种方法:一种是直接建立e的关系 式求e或e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,c表示, 令两边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解.
2 2 x 2 y2 x y 3.求曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线的方法是令 2 ? 2 =0,即得两 a b a b x y 渐近线方程 ? =0. a b

通?一类
x 2 y2 1.(2014?大纲版全国卷)双曲线C: 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的离心率 a b

为2,焦点到渐近线的距离为 3 ,则C的焦距等于(

)

A.2

B.2 2

C.4
a

D.4 2
c ,且 ? 2, 解得c2-3=1, a c2 ? 3 3

【解析】选C.渐近线的斜率为 k ? b ?

所以c=2,则2c=4.

x 2 y2 2.(2015?成都模拟)已知F1,F2分别是双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的 a b

左、右焦点,过F2且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一
条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线的离心率 的取值范围是( )

? C.?

A. 1 , 2 ???????????????B.( 2,3)

? 3, 2 ????????????????D.(2, ? ?)

b ? y ? ? x ? c?, ? ? a 【解析】选D.联立方程 ? ? y ? ? b x, ? a ? c ? x ? , ? c ? bc c 2 bc 2 ? 2 解得 ? 所以M( , ), OM ? ( ) ? ( ? ) ? c, ? bc 2 2a 2 2a ?y ? , ? 2a ?

解上式得:b2>3a2,即c2-a2>3a2,即c2>4a2,
2 c 所以 2 >4,即e>2. a

2 2 x y 3.(2014?浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 ? ? 1 a 2 b2

(a>b>0)两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则

该双曲线的离心率是____________.
【解题提示】求出A,B的坐标,写出AB中点Q的坐标,因为|PA|=

|PB|,所以PQ与已知直线垂直,寻找a与c的关系.

b a 分别与x-3y+m=0(m≠0)联立方程组,解得 A( -am , -bm ), a-3b a-3b

【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y= x与y= - b x,
a

-am -am -bm bm ? ? -am bm B( , ),设AB的中点为Q,则 Q[ a-3b a ? 3b , a-3b a ? 3b ], a ? 3b a ? 3b 2 2

因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,所以kPQ=-3,解得 2a2=8b2=8(c2-a2),即 答案: 5
2
c2 5 c 5 ? ,? . a2 4 a 2

考点3

双曲线与直线、圆及其他圆锥曲线的综合

2 x 【典例4】(1)如图,F1,F2是椭圆C1: +y2=1与双曲 4

线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的 公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(
A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 6 2

)

2 x (2)(2014?江西高考)如图,已知双曲线C: 2 -y2=1 a

(a>0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上,
AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点). ①求双曲线C的方程. ②过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l: 与直线x= 定值.
x0x -y0y=1与直线AF相交于点M, 2 a MF

3 相交于点N,证明点P在C上移动时, 恒为定值,并求此 2 NF

【解题提示】(1)由已知条件求解双曲线中的a,c或是它们之间的关
系.(2)①写出直线OB、直线BF的方程联立得B点坐标,A点坐标可求,

进而根据AB⊥OB可得a的方程求解.
②由题意可得点M,N的坐标可用x0,y0表示,进而
MF 可表示,又点P在 NF

双曲线上,进而可求得

MF 具体的值. NF

【规范解答】(1)选D.设双曲线实半轴长为a,半焦距为c,|AF1|= m,|AF2|=n,由题意知c= 3,? ?
?m ? n ? 4,
2 2 m ? n ? ? 2c ? ? 12, ? ? 2

2mn=(m+n)2-

(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=|m-n|= 2 2,a= 2, 则双曲线的离心率 e= c = 3 = 6 , 故选D.
a 2 2

(2)①设F(c,0),因为b=1, 所以 c ? a 2 ? 1, 直线OB的方程为 y ? ? 1 x,
a 1 直线BF的方程为y= (x-c),解得 B( c , ? c ), a 2 2a 1 又直线OA的方程为y= x, a c c ? (? ) c 3 a 2a 则A(c, ),k AB ? ? . c a a c? 2 3 1 又因为AB ? OB, 所以 (? ) ? ?1 ,解得a 2 ? 3, a a x2 故双曲线C的方程为 ? y 2 ? 1. 3

②由①知 a ? 3, 则直线l的方程为

x0x ? 3 即y? . 因为直线AF的方程为x=2, 3y0 2x -3 所以直线l与AF的交点 M(2, 0 ), 3y0 3 x0 ? 3 3 3 直线l与直线x= 的交点为 N( , 2 ), 2 2 3y0
MF
2

x0x -y0y=1(y0≠0), 3

? 2x 0 ? 3? , (2x 0 ? 3) 2 4 则 ? ? ? 2 2 2 2 3 9y 9 3 2 2 NF 3y ? 3 x ? 2 ? ? 0 0 0 ( x ? 3) ? ? x0 ? 2? 1 2 0 4 4 ? 2 4 ? 3y0 ?
2

? 2x 0 ? 3? 2 ? 3y0 ?

2

x 02 因为P(x0,y0)是C上一点,则 -y02=1代入上式 3



MF NF

2 2

?

? 2x 0 ? 3? 2 ? 3y0 ?

2

3 ( x 0 ? 3) 2 1 2 ? 2 4 3y ? 0?
2 2

? 2x 0 ? 3? 4 4 ? 2x 0 ? 3? 4 ? ? ? , 2 2 2 3 x 0 ? 3 ? 3? x 0 ? 2? 3 4x 0 ? 12x 0 ? 9 3
则所求定值为 MF 2 2 3 ? ? . NF 3 3

【规律方法】解决与双曲线有关综合问题的方法

(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、
圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质 求解. (2)解决直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程, 消元求解一元二次方程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取 舍.

【变式训练】如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆 的离心率的比值是( )

A.3

B.2

C. 3

D. 2

【解析】选B.设椭圆长半轴的长为a(a>0),则双曲线实半轴的长为 a ,
2

由于双曲线与椭圆共焦点,设焦距为2c,所以双曲线的离心率
2c c 2c c e1 ? ? , 椭圆的离心率 e 2 ? , 所以 e1 ? a ? 2,故选B. a a a c e2 2 a

2 2 x y 【加固训练】1.(2015?遵义模拟)与曲线 ? ? 1 共焦点,且与 24 49 2 2 曲线 x ? y ? 1 共渐近线的双曲线方程为( ) 36 64

y2 x 2 x 2 y2 A. ? ? 1???????????????????B. ? ?1 16 9 16 9 y2 x 2 x 2 y2 C. ? ? 1???????????????????D. ? ?1 9 16 9 16

x 2 y2 【解析】选A.因为 ? ? 1 的焦点坐标为(0,〒5), 24 49
2 2 x y 又双曲线与曲线 ? ? 1 共渐近线, 36 64 2 2 y x 所以设双曲线方程为 ? ? ? (λ>0), 64 36 1 y2 x 2 2 且有64λ+36λ=5 ,所以 ? ? , 即所求双曲线方程为 ? ? 1. 4 16 9

2 2 x y 2.(2015?南充模拟)已知双曲线C: ? ? 1 的左、右焦点分别是 a 2 b2

M,N.正三角形AMN的一边AN与双曲线右支交于点B,且 AN ? 4BN,

则双曲线C的离心率为(
A.

)

3 13 ? 1 ? 1?????????????????????????????????B. 2 3 13 3 ?1 C. ? 1????????????????????????????????D. 3 2

【解析】选B.因为三角形AMN是正三角形,其边长MN=2c,
c AN ? 4BN, 设 BN ? m, 则 AN ? 4m ? 2c, 解得m ? , 2 c 根据双曲线的定义可得 BM ? 2a ? m ? 2a ? , 在三角形BMN 2 c2 c 2 4c ? ? (2a ? ) 2 1 4 2 中,由余弦定理得cos 60? ? ? , c 2 2 ? 2c ? 2 13 ? 1 ? 13 ? 1 整理得: 3e 2 ? 2e ? 4 ? 0,即e ? , 或e ? ? 舍去 ?. 3 3

2 2 x y 3.(2012?福建高考)已知双曲线 - 2 =1的右焦点与抛物线y2= 4 b

12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(
A. 5???????????????????B. 4 2??????????????????C. 3??????????????????D. 5

)

【解析】选A.易求得抛物线y2=12x的焦点为(3,0),故双曲线
x 2 y2 - 2= 1 的右焦点为(3,0),即c=3,故32=4+b2,所以b2=5, 4 b 所以双曲线的渐近线方程为y=? 5 x ,所以双曲线的焦点到其渐近 2 5 | ?3| 线的距离为 2 = 5. 5 1? 4

自我纠错20

求双曲线的离心率

【典例】(2015?长春模拟)双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双 曲线的离心率为________.

【解题过程】

【错解分析】分析上面的解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在把两渐近线的夹角认为是 60°,误认为直线 y= b x的倾斜角为30°而导致解题错误.
a

【规避策略】
1.正确识别两渐近线的夹角与倾斜角的关系

由于双曲线的两条渐近线关于坐标轴对称,所以当两渐近线的夹角为
α 时,第一象限内的渐近线的倾斜角应为 ? 或 ? ? ? .
2 2 2

2.正确理解渐近线与双曲线标准方程的关系
2 2 x y (1)对于 ? ? 1 方程表示的曲线一定要视m,n的不同取值进行讨 m n

论,m,n的取值不同表示的曲线就不同.
2 2 b 的值就不一 x y (2)对于双曲线 (mn>0) 的焦点位置不同,则 ? ?1 a m n

样,一定要注意区分.

2 2 x y 【自我矫正】不妨设双曲线方程为 ? ? 1 (a>0,b>0),则渐近线斜 2 2 a b 率是 ? b , 而夹角是60°,因为两直线关于x轴对称,所以和x轴夹角 a

是30°或60°,
b 3 b 即 ? tan 30? ? 或 ? tan 60? ? 3. a 3 a b 3 4 ? , 则a 2 ? 3b 2,又c 2 ? a 2 ? b 2 ? a 2 , a 3 3 c2 4 2 3 2 所以e ? 2 ? ,即e ? . a 3 3 若

b ? 3, 则b 2 ? 3a 2 , 又c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4a 2 , a c2 2 所以e ? 2 ? 4,即e ? 2. a 若 故双曲线的离心率为 2 3 或2. 3

答案: 2 3 或2
3


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