2015届四川省南充市高三第三次高考适应性考试数学试卷(理)

南充市高 2015 届第三次高考适应性考试 数学试卷(理科) 【试卷综析】这套试题,具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适 当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析 几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考 察了学生的学习方法和思维能力的考察 ,有相当一部分的题目灵活新颖 ,知识点综合与迁移 . 试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血.但是综合知识、创新题目的题考 的有点少.这套试题以它的知识性、 思辨性、 灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法, 考潜能的检测功能 .试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方 向发展的作用. 【题文】第 I 卷共 10 小题。 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分·在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.设集合 M 满足{1,2} {1,2,3,4} ,则满足条件的集合 M 的个数为

() A.1 B .2 C .3. D. 4 【知识点】子集与真子集 A1 【答案】 【解析】C 解析:根据子集的定义,可得集合 M 必定含有 1、2 两个元素,而且 含有 1,2,3,4 中的至多三个元素.因此,满足条件{1,2}? M? {1,2,3,4}的集合 M 有: {1,2}、{1,2,3}、{1,2,4},共 3 个.故选:C. 【思路点拨】根据集合包含关系的定义,将满足条件的集合逐个列出,即可得到本题答案. 【题文】2.已知点 A(1,3),B(4,一 1) ,则与向量 AB 的方向相反的单位向量是()

3 4 A、 (- 5 , 5 )
【知识点】单位向量 F1 【答案】 【解析】 A

4 3 B、 (- 5 , 5 )

3 4 C、 ( 5 ,- 5 )

4 3 D、 ( 5 ,- 5 )

解析:AB = (4, ﹣1) ﹣ (1, 3) = (3 , ﹣4) , | AB |=

=5.

?
∴与向量 AB 的方向相反的单位向量

AB AB

??

? 3, ?4 ? ? ? ? 3 , 4 ?
5 ? ? ? 5 5?
.故选:A.

?
【思路点拨】利用与向量
2

AB AB
即可得出.

的方向相反的单位向量

【题文】3.函数 f ( x) ? x +bx 的图象在点 A(l,f(1) )处的切线与直线 3x - y+2=0 平行, 若数列

1 { f ( n ) }的前 n 项和为 Sn,则 S2015=()
2013 B、 2014 2014 C、 2015 2015 D、 2016

A、1

【知识点】数列的求和;二次函数的性质.B5 D4 【答案】 【解析】D 解析:f′ (x)=2x+b,由直线 3x﹣y+2=0 可知其斜率为 3,

1 根据题意,有 f′ ( 1 ) =2+b=3 ,即 b=1 ,所以 f ( x ) =x2+x ,从而数列 { f ( n ) } 的通项为

, 所以 S2015=

=

, 故选: D.

1 【思路点拨】由 f′ (1)与直线斜率相等可得 f(x)的解析式,从而可得数列{ f ( n ) }的通项
公式,计算可得答案. 【题文】4.某锥体三视图如右,根据图中所标数据,该锥体的各侧面中,面积最大的是()

A. 3

B. 2 5

C. 6

D. 8

【知识点】由三视图求面积、体积.G2 【答案】 【解析】C 解析:因为三视图复原的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面 矩形的长边的中点,底面边长分别为 4,2,后面是等腰三角形,腰为 3,所以后面的三角形 的高为: = ,所以后面三角形的面积为: ×4× =2 .两个侧面面积为:

×2×3=3,前面三角形的面积为: ×4× =6,四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中 面积最大的是前面三角形的面积:6.故选 C. 【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥,利用三视图的数据直接求解四棱锥 P﹣ABCD

的四个侧面中面积,得到最大值即可. 【题文】5.已知圆 C1: (x 一 2)2+(y-3 )2 =1 ,圆 C2 : (x -3)2+(y-4).2 =9,M,N 分 别是 Cl ,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM |+ |PN|的最小值为( ) A.

17 -1

B、6-2 2

C、5 2 -4

D. 17

【知识点】圆与圆的位置关系及其判定.H4 【答案】 【解析】C 解析:如图圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A(2,﹣3) ,半径为 1, 圆 C2 的圆心坐标(3,4) ,半径为 3,由图象可知当 P,C2,C3,三点共线时,|PM|+|PN| 取得最小值,|PM|+|PN|的最小值为圆 C3 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和, 即:|AC2|﹣3﹣1= ﹣4= ﹣4=5 ﹣4.故选:C.

【思路点拨】求出圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A,以及半径,然后求解圆 A 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和,即可求出|PM|+|PN|的最小值.

【题文】6.函数

恰有两个零点,则实数 k 的范围是(



A.(0,1) B.(0,l)U(1,2) C. (1,+oo) 【知识点】函数的零点与方程根的关系.B9

D、 (一 oo,2)

x2 ?1
【答案】 【解析】B 解析:由题意,令 f(x)=0,则 x ? 1

? kx



y1 ?

x2 ?1 x ? 1 , y2 ? kx ,则 y1=
= ,图象如图所示

y2 ? kx 表示过点(0,0)的直线,结合图像以及斜率的意义,∴ k 的取值范围是(0,1)∪
(1,2) , 故选 B.

x2 ?1
【思路点拨】令 f(x)=0,则 x ? 1 值范围.

? kx
,构建函数,作出函数的图象,即可求得 k 的取

【题文】7.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M(1,m) (m >0)到其焦点的距离为 5,
2

x2 ? y2 ? 1 2 双曲线 a 的左顶点为 A, 若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行、 则实数 a 等于 (
1 A、 9 1 B、 4 1 C、 3 1 D、 2



【知识点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.H6 H7 【答案】 【解析】A 解析:抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ ,

由抛物线的定义可得 5=1+ ,可得 p=8,即有 y2=16x,M(1,4) ,

双曲线

﹣y2=1 的左顶点为 A(﹣

,0) ,渐近线方程为 y=±

x,

直线 AM 的斜率为

,由双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,

可得 = ,解得 a= ,故选 A. 【思路点拨】求得抛物线的准线方程,再由抛物线的定义可得 p=8,求出 M 的坐标,求得 双曲线的左顶点和渐近线方程,再由斜率公式,结合两直线平行的条件:斜率相等,计算即

可得到 a 的值. 【题文】8.函数 在 x=1 和 x=-1 处分别取得最大值和最小

值,且对于

,则函数 f(x+1)一定是(



A.周期为 2 的偶函数 B.周期为 2 的奇函数 C.周期为 4 的奇函数 D.周期为 4 的偶函数 【知识点】正弦函数的图象.B4 【答案】 【解析】C 解析:由题意可得,[﹣1,1]是 f(x)的一个增区间,函数 f(x)的 周期为 2×2=4, ∴ =4,ω= ,∴f(x)=Asin( x+φ) .再根据 f(1)=Asin(ω+φ)=A,可得 sin( +φ)

=cosφ=1,故 φ=2kπ,k∈ z,f(x)=Asin x,故 f(x)是周期为 4 的奇函数,故选:C. 【思路点拨】由题意可得函数 f(x)的周期为 4,由此求得 ω 的值,再根据 f(1)=A,求 得 φ 的值,可得 f(x)的解析式,从而得出结论. 【题文】9.已知正方体 ABCD 一 A1B1C1D1, ,下列命题:

③向量

AD1 与向量 A1B 的夹角为 600 | AB AA1 AD | ,其中正确命题序号是

④正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的体积为

A.①③ B.①②③ C.①④ D.①②④. 【知识点】空间向量及应用 F1 【答案】 【解析】A 解析:如图所示:

以点 D 为坐标原点,以向量 系,





所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标

设棱长为 1,则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) , A1(1,0,1) ,B1(1,1,1) ,C1(0,1,1) ,D1(0,0,1) , 对 于 ①: ∴ 对于② : ∴ 对于③ : 对于④:∵ =2.∴ ② 错误; , ,∴④错误,故选 A. , , 所在直线分别为 x,y, ,∴ ,∴ ③ 正确; , ∴ ,∴ | |= ,| , |=1,∴ ① 正确; , , ,

【思路点拨】结合图形,以点 D 为坐标原点,以向量

z 轴,建立空间直角坐标系,然后结合空间向量的坐标运算, 对四个命题进行逐个检验即可.

【题文】10.已知函数

,则关于 x 的方程

有5个

不同实数解的充要条件是( ) A. b<一 2 且 c>0 B. b>一 2 且 c<0 C. b<一 2 且 c=0 D. b≤一 2 且 c=0 【知识点】充要条件.A2 【答案】 【解析】C 解析:∵ 方程 f2(x)+af(x)+b=0 有且只有 5 个不同实数解, ∴ 对应于 f(x)等于某个常数有 4 个不同实数解,由题意作出 f(x)的简图: 由图可知,只有当 f(x)=0 时,它有﹣个根.且 f(x)=﹣b 时有四个根, 由图可知﹣b>2,∴ b<﹣2.故所求充要条件为:b<﹣2 且 c=0,故选 C.

【思路点拨】作出 f(x)的简图,数形结合可得.

【题文】 第 II 卷(非选择题,满分 100 分) 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】11、若复数 x=(1+ai) (2+i)的实部与虚部相等,则实数 a= 【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.L4

1 【答案】 【解析】3
所以

解析:

x=?1 +ai ?? 2+i ? ? 2 ? a ? ? 2a ?1? i

, 因为实部与虚部相等,

2 ? a ? 2a ? 1 ,解得

a?

1 1 3 ,故答案为 3

【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘法,虚数单位 i 的幂运算性质,把复数化为最简形 式,由实部和虚部相等,求出实数 a.

x 3 9 ? ) x 的展开式中常数项等于 【题文】12. 3 (
【知识点】二项式系数的性质.J3

28 【答案】 【解析】 9 ?

x 3 9 ? ) x 的展开式的通项公式为 Tr+1= 解析: 3 (

?

?

(﹣3)r? 3=﹣ ,

,令

=0,求得 r=3,可得展开式中常数项等于

?

?(﹣3)

28 故答案为: 9 . ?
【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可 求得展开式中的常数项的值. 【题文】13.7 个身高各不相同的学生排成一排照相,高个子站中间,从中间到左边一个比一 个矮,从中间到右边也一个比一个矮,则共有 种不同的排法(结果用数字作答) . 【知识点】排列、组合及简单计数问题.J3 【答案】 【解析】20 解析:最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步:先排左边, 有 =20 种排法,第二步:排右边,有 =1 种,根据分步乘法计数原理,共有 20×1=20 种,

故答案为:20. 【思路点拨】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步:先排左边,有 法,第二步:排右边,有 =1 种,根据分步乘法计数原理可得结论. =20 种排

【题文】14.阅读右边框图,为了使输出的 n=5,则输人的整数 P 的最小值为

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】8 解析:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S n 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 否 故 S=7 时,满足条件 S<p S=15 时,不满足条件 S<p 故 p 的最小值为 8 故答案为:8 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是利用循环计算变量 S 的值,并输出满足退出循环条件时的 k 值,模拟程序的运行, 用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果. 【题文】 15. 平面内两定点 M (0, 一 2) 和 N(0,2) , 动点 P (x, y) 满足 动点 P 的轨迹为曲线 E,给出以下命题: ① ? m,使曲线 E 过坐标原点; ②对 ? m,曲线 E 与 x 轴有三个交点; ③曲线 E 只关于 y 轴对称,但不关于 x 轴对称; ④若 P、M、N 三点不共线,则△ PMN 周长的最小值为 2 m +4; ⑤曲线 E 上与 M,N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的另外一点为 H,则四边形 GMHN ,

的面积不大于 m。 其中真命题的序号是 . (填上所有真命题的序号) 【知识点】命题的真假判断与应用;轨迹方程.A2 【答案】 【解析】①④⑤ 解析:∵ 平面内两定点 M(0,﹣2)和 N(0,2) ,动点 P(x,y) 满足| |?| |=m(m≥4) ,∴ ? =m

① (0,0)代入,可得 m=4,∴ ① 正确; ② 令 y=0,可得 x2+4=m,∴ 对于任意 m,曲线 E 与 x 轴有三个交点,不正确; ③ 曲线 E 关于 x 轴对称,但不关于 y 轴对称,故不正确; ④ 若 P、M、N 三点不共线,| 2 +4,正确; |+| |≥2 =2 ,所以△ PMN 周长的最小值为

⑤ 曲线 E 上与 M、N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的点为 H,则四边形 GMHN 的面积为 2S△ MNG=|GM||GN|sin∠ MGN≤m,∴ 四边形 GMHN 的面积最大为不大于 m,正确. 故答案为:① ④ ⑤ . 【思路点拨】利用平面内两定点 M(0,﹣2)和 N(0,2) ,动点 P(x,y)满足| (m≥4) ,可得 ? |?| |=m

=m,对选项进行分析,即可得出结论.

【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 【 题 文 】 16. 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 对 边 a , b , c , 已 知 向 量

(l)求角 A 的大小; (2)若 ,求边 a 的最小值.

【知识点】向量在几何中的应用.F3 【答案】 【解析】 (l) (2)2

解析: (1)∵ 向量 =(c﹣2b,a) , =(cosA,cosC)且 ⊥ .∴ (c﹣2b)cosA+acosC=0 ∴ sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA,∴ sin(A+C)=2sinBcosA,∴ sinB=2sinBcosA,∴ cosA= 又∵ A 为三角形内角,∴ A= (2)若 ;

=4,即 cb=8,由余弦定理得

a2=b2+c2﹣2bcsosA=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣24 又由基本不等式可得(b+c)2≥4bc=32

∴ a2≥8,即 边 BC 的最小值为 2 .

【 思 路 点 拨 】( 1 ) 根 据 正 弦 定 理 边 角 互 化 , 我 们 易 将 已 知 条 件 中 转化为关于 A 角的三角方程,解方程,即可求出 A 角大小. (2)由(1)的中结论,代入余弦定理,结合基本不等式,可得两边和的最小值,代入即可 求出边 BC 的最小值. 【题文】17 已知数列{ 前 n 项和 }中,首项 a1=1, ,数列{bn}的

(1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{| bn |}的前 n 项和. 【知识点】递推公式;数列的和 D1 D4

? 5n ? n 2 1 ? x ? 3, n ? N * ? ? ? ? Tn ? ? 2 2 ? n ? 5n ? 12 n ? 3, n ? N * ? ? b ? n ?3 ; ? ? 2 【答案】 【解析】 (l) n (2)
解析: (l)由已知 即

log 3 an ? log 3 ? an ?1 ? 3n ?1 ? ? log 3 an ?1 ? ? n ? 1? , ? n ? 2 ?



log3 an ? log3 an?1 ? n ?1 ,
log 3 an ? log 3 a1 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ... ? ? n ? 1? ? ?

累加得:



a1 ? 1,? log3 an ?

n ? n ? 1? 2 。 Sn ? log3 an n2 ? 5n ? log a ? 2 n ? 3 n 9n 2

对于数列

?bn ? 的前 n 项和:

所以当 n ? 2 时,

bn ? Sn ? Sn?1 ? n ? 3
Tn ? ? Sn ? 5n ? n 2 2 ,

(2)设数列

? b ? 的前 n 项和 Tn ,则当1 ? n ? 3 时,bn ? n ? 3 ? 0 ,
n

n2 ? 5n ? 12 Tn ? Sn ? 2S3 ? 2 当 n ? 3 时, ,

? 5n ? n 2 ?1 ? x ? 3, n ? N * ? ? ? 2 Tn ? ? 2 ? n ? 5n ? 12 n ? 3, n ? N * ? ? ? ? 2 故
【思路点拨】 (l)两边取对数,变形后可利用累加法;(2)对 n 分两种情况可得结果. 【题文】18.南充市招商局 2015 年开年后加大招商引资力度,现已确定甲、乙、丙三个招商 引资项目,一位投资商投资开发这三个项目的概率分别为 0. 4 , 0. 5, 0. 6,且投资商投资哪个 项目互不影响。 (1)求该投资商恰投资了其中两个项目的概率; . (2)用 X 表示该投资商投资的项目数与没有投资的项目数之差的绝对值,求 X 的分布列 和 数学期望 E(X) . 【知识点】离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量 及其分布列.K1 K6 【答案】 【解析】 (l) 0.38 ; (2) 1.48 解析: (1)分别设“投资甲” 、 “投资乙” 、 “投资丙”为事件 独立,互不影响,

A1 , A2,A3 ,已知 A1 , A2,A3 相互

P ? A1 ? ? 0.4, P ? A2 ? ? 0.5, P ? A3 ? ? 0.6

,则恰投资两个项目的概率为

P ? P A1 ? A2 ? A3 ? P A1 ? A2 ? A3 ? P A1 ? A2 ? A3

?

? ?

? ?

?

? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.38 ,
(2) 投资商投资的项目数的可能取值为 0,1,2,3 ,对应的没有投资的项目数的可能取值为 3,2,1,0, 所以 X 的可能取值为 1,3,

P ? X ? 3? ? P ? A1 ? A2 ? A3 ? ? P A1 ? A2 ? A3 ? 0.24
,所以分布列为:

?

?



P ? X ? 1? ? 1 ? P ? X ? 3? ? 0.76

E ? X ? ? 1? 0.76 ? 3? 0.24 ? 1.48
【思路点拨】 (1) 分别设 “投资甲” 、 “投资乙” 、 “投资丙” 为事件

A1 , A2,A3 ,已知 A1 , A2,A3

相互独立,互不影响,据

P ?A1 ? ? 0.4, P ?A 2 ? ?0.5, P A 0.6 ? 3 ??

,可根据恰投资两个项目的

概率可求出结果. (2)投资商投资的项目数的可能取值为 0,1,2,3,对应的没有投资的项目数 的可能取值为 3,2,1,0, 所以 X 的可能取值为 1,3, X 的分布列和数学期望. 【题文】19.如图,直三棱柱 ABC 一 A1B1 C1 中,AB= 2 ,AC=3 ,BC= 5 ,D 是 ACl 的中点,E.是侧棱 BB1 上的一个动点 ( I)当 E 是 BB1 的中点时,证明:DE//平面 A1B1C1

P ? X ? 3? ? P ? A1 ? A2 ? A3 ? ? P A1 ? A2 ? A3 ? 0.24

?

?

, 由此能求出

BE BB1 的 (2) 在棱 BB1 上是否存在点 E 使二面角 E 一 AC1 一 C 是直二面角?若存在, 求出
值,若不存在,说明理由

【知识点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定.G4 G11 【答案】 【解析】 (l)见解析; (2)见解析 解析: (1)证明:取 A1C1 中点 F,连接 DF,DE,B1F ∵ D 是 AC1 的中点,E 是 BB1 的中点. ∴ DF∥ AA1,B1E∥ AA1,DF= AA1,B1E= AA1, ∴ DF∥ B1E,DF=B1E,所以 DE∥ B1F,DE=B1F…(2 分) 又 B1F? 平面 A1B1C1,所以 DE∥ 平面 A1B1C1…(4 分) (2)解:分别在两底面内作 BO⊥ AC 于 O,B1O1⊥ A1C1 于 O1,连接 OO1,则 OO1∥ AA1,以 O 为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OO1 为 z 轴建立直角坐标系,

设 AA1=t,BE=h,则 λ= 平面 A1ACC1 的法向量为 设平面 AC1E 的法向量为 ∵ =(1,1,h) ,

,A(0,﹣1,0) ,C1(0, =(1,0,0)…(7 分) =(x,y,z) ,h)

,t) ,E( (1,0,h) .

=(0,

∴ 由 取 z=1 得 y= ∴ 由题知

可得 ,x=

…(9 分)

…(11 分) ,∴ =0



,∴ λ=

=

所以在 BB1 上存在点 E,当

时,二面角 E﹣AC1﹣C 是直二面角.…(12 分)

【思路点拨】 (1)取 A1C1 中点 F,连接 DF,DE,B1F,利用三角形中位线的性质,可得线 线平行,利用线面平行的判定,可得 DE∥平面 A1B1C1; (2)建立直角坐标系,求出平面 A1ACC1 的法向量、平面 AC1E 的法向量,利用数量积为 0 建立方程,即可求得结论.

x2 ?
【题文】20·已知椭圆 C:

y2 3 ?1 m 的焦点在 y 轴上,且离心率 e= 2 ,过点 M(0,3)

的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A .B (l)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆上一点,且满足 数 的取值范围. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8 (0 为原点) ,当 时,求实

【答案】 【解析】 (l)

(2) (﹣2,﹣

)∪ (

,2)

解析: (1)由题知 a2=m,b2=1,∴ c2=m﹣1



,解得 m=4.

∴ 椭圆的方程为

. (4 分) ,不符合条件. (5 分)

(2)当 l 的斜率不存在时,

设 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+3.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) ,联立 l

和椭圆的方程:

, .消去 y,整理得(4+k2)x2+6kx+5=0,

∴ △ = (6k) 2﹣4× (4+k2) ×5=16k2﹣80>0, 解得 k2>5. 且







=

=

由已知有 , ∴ 5<k2<8. (9 分) ∵



整 理 得 13k4 ﹣ 88k2 ﹣ 128 < 0 , 解 得

,即(x1,y1)+(x2,y2)=λ(x0,y0) ,

∴ x1+x2=λx0,y1+y2=λy0

当 λ=0 时, 无解.



,显然,上述方程

当 λ≠0 时,





∵ P(x0,y0)在椭圆上,即

+

=1,

化简得

.由 5<k2<8,可得 3<λ2<4,

∴ λ∈ (﹣2,﹣

)∪ (

,2) .即 λ 的取值范围为(﹣2,﹣

)∪ (

,2) . (12 分)

【思路点拨】 (1)由题知 a2=m,b2=1,∴c2=m﹣1,且离心率为 椭圆的方程. (2)当 l 的斜率不存在时,

,得 m=4.由此能求出 ,不符合条件.设 l 的

斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+3.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) ,联立 l 和椭圆

的方程: 行求解.

,消去 y,整理得(4+k2)x2+6kx+5=0,再由根的判别式和韦达定理进

【题文】21·已知函数 的定义域为(0,+ ) , (a =2. 71828..-自然对数的底数) (1)求函数 y=f(x)在[m,m+2〕 (m>0)上的最小值; (II)若 x>1 时,函数 y=f(x)的图象总在函数 实数 t 的取值范围; 的图象的上方,求

(III)求证: 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.B11 B12 【答案】 【解析】 (l)见解析; (2)见解析; (3)见解析; 解析: (1)

【思路点拨】 (l)根据函数导数的符号和函数单调性的关系可知 f′(x)≥0 在[1,+∞)上

a?
恒成立,所以得到 ax-1≥0,

1 x ,这样便得到 a 的取值范围. (2)f(x)在(0,+∞)上

的单调区间,再讨论函数 f(x)在[m,m+1]上的单调情况,从而求出每一种情况对应的 f (x)的最小值.(3) 观察式子取的倒数的情况,又因为 x>0 时,有些项可以相互抵消,从 而完成证明.


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