2013年高考第二轮复习数学全国文科第3讲 解答题题型特点与技法指导

第3讲

解答题题型特点与技法指导

高考解答题一般有六大方向:三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、数列与不 等式、解析几何、不等式与函数及导数.一般来说,前三题属于中、低档题,第四题属中档 偏难题,后两题属难题.三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在前三题中出现的概 率较高,掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键.目前的高考解答题已经由单纯的 知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.能否做好解答题,是高考成败的关键.

1.三角函数 有关三角函数的大题即解答题,主要是考查基础知识、基本技能和基本方法,且难度不 大.凸显恒等变换与三角函数图象、性质在三角形内考查.主要考查以下 4 个方面:①三角 函数的图象、性质、图象变换,主要是 y=Asin(ωx+φ)+b 的图象、性质及图象变换,考查三 角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、最值及图象的平移和对称等;②三角恒等变换, 主要考查公式的灵活运用、变换能力,一般需要运用和差角公式、倍角公式,尤其是对公式 的应用与三角函数性质的综合考查;③三角函数性质的应用,通过解三角形来考查三角恒等 变形及应用三角函数性质的综合能力;④三角函数与平面向量、数列、不等式等知识的综合 问题. 已知向量 a=(cos ωx-sin ωx, ωx), sin b=(-cos ωx-sin ωx,2 3cos ωx), 设函数 f(x)=a· b 1 ? +λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈?2,1?. ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; π 3π (2)若 y=f(x)的图象经过点?4,0?,求函数 f(x)在区间?0, 5 ?上的取值范围. ? ? ? ? 点评 利用向量的工具作用,与向量结合在一起命制综合题,体现了在知识交汇点处命题 的指导思想.这类问题求解时,首先利用向量的运算,将向量式转化为代数式,再进行有关 的三角恒等变换,再研究三角函数的图象与性质. π 2 变式训练 1 (2012· 安徽高考,理 16)设函数 f(x)= cos?2x+4?+sin2x. ? ? 2 (1)求 f(x)的最小正周期; π π 1 (2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有 g?x+2?=g(x),且当 x∈?0,2?时,g(x)= -f(x).求 g(x) ? ? ? ? 2 在区间[-π,0]上的解析式. 2.立体几何 立体几何是高中数学的主干知识之一,命题形式比较稳定,主要考查:(1)三视图:解答 题中一般是根据三视图还原几何体模型,然后展开推理; (2)空间线面关系的判定和推理证明:主要是证明平行和垂直,求解这类问题要依据线面 关系的判定定理和性质定理进行推理论证; (3)空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算:求解这类问题,常用方法 是依据公理、定理以及性质等经过推理论证,作出所求几何量并求之.一般解题步骤是“作、 证、求”. (2012· 安徽八校一联考,18)如图,在多面体 ABDEC 中,AE⊥平面 ABC,BD∥AE,且 AC =AB=BC=AE=1,BD=2,F 为 CD 的中点.

(1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:EF⊥平面 BCD; (3)求多面体 ABDEC 的体积. 点评 本题第(1)问是证明线面平行问题,证明直线与平面平行,往往通过证直线与直线平 行来实现.第(2)问是证线面垂直问题,往往转化为证线线垂直来实现.第(1)(2)问充分体现了 问题的转化思想.第(3)问是几何体的体积计算问题,需要把握锥体的体积计算公式. 变式训练 2 (2012· 广东高考,文 18)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD, 1 AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上 2 的高.

(1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB. 3.概率与统计 概率解答题为每年高考的必考内容,主要考查互斥事件和对立事件的关系、古典概型和 几何概型.要求学生能准确理解题意,迅速确定是古典概型还是几何概型,然后用概率公式 求解.对于古典概型,要准确列出所有基本事件的个数和所求事件包含的基本事件个数.对 于几何概型,一定要明确其与面积(体积、长度等)的关系.对于较复杂的问题,可以借助于图 形和表格帮助分析. (2012· 河南洛阳统测,文 18)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的 A 班和文史类专业的 B 班各抽取 20 名同学参加环保知识测试.两个班同学的成绩(百分制)的 茎叶图如图所示:

按照大于或等于 80 分为优秀,80 分以下为非优秀统计成绩. (1)根据以上数据完成下面的 2×2 列联表:

成绩与专业列联表 优秀 非优秀 总计 20 A班 20 B班 40 总计 (2)能否有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关? n(ad-bc)2 附:K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.050 0.010 0.001 P(K2≥k0) k0 3.841 6.635 10.828 点评 本题主要考查统计中的茎叶图独立性检验,考查分析解决问题的能力、运算求解能 力,难度适中.准确读取茎叶图中的数据是解题的关键. 变式训练 3 (2012· 陕西高考,文 19)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量 相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结 果统计如下: 甲品牌

乙品牌

(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率. 4.数列与不等式 高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点: (1)与等差、等比数列基本量有关的计算,可根据题意列方程(方程组)或利用等差、等比数 列的性质求解; (2)与求和有关的题目,首先要求通项公式,并根据通项公式选择恰当的求和方法(如错位 相减法、裂项相消法、分组求和法等); ? ?S1,n=1, (3)含 Sn 的式子,要根据题目特征利用 an=? 进行转化; ? ?Sn-Sn-1,n≥2 (4)与递推数列有关的问题,要能合理转化,使之构造出新的等差、等比数列; (5)与数列有关的不等式问题,可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法等); (6)与函数有关的问题,应根据函数的性质求解. (2012· 四川成都二诊,20)已知数列{an}和{bn},b1=1,且 bn+1-3bn=2n-2,记 an=bn+1

-bn+1,n∈N*. (1)证明:数列{an}为等比数列; (2)求数列{an}和{bn}的通项公式; (3)记 cn= logan 3 ? logan+2 3 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若 45Tk<29,k∈N*恒成立,求 k 的最大值. 点评 第(1)问考查了等比数列的证明,它是为第(2)、(3)问服务的.第(2)问考查了求数列 通项公式的常规方法.第(3)问考查了数列的求和方法,是数列与不等式知识的综合问题. 变式训练 4 (2012· 湖北八校二联,19)各项为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:Sn 1 2 1 1 = an+ an+ (n∈N*). 4 2 4 (1)求 an; ?an,n为奇数, ? (2)设函数 f(n)=? ?n? cn=f(2n+4)(n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. f?2?,n为偶数, ? ? 5.解析几何 解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理 有关问题的基本技能、基本方法,往往以中档偏难题或以压轴题形式出现,主要考查学生的 逻辑推理能力、运算能力,考查学生综合运用数学知识解决问题的能力、突破解答题,应重 点研究直线与曲线的位置关系,要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理,注意运用 “设而不求”的思想方法,灵活运用“点差法”解题,要善于运用数形结合思想分析问题, 使数与形相互转化,根据具体特征选择相应方法. x2 y2 已知椭圆 + =1,点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点 P 作椭圆的切线 l,交 y 轴 4 3 于点 A,直线 l′过点 P 且垂直于 l,交 y 轴于点 B.试判断以 AB 为直径的圆能否经过定点,若 能,求出定点坐标;若不能,请说明理由. 点评 直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点, 基本方法是联立方程, 利用判别式、 根与系数关系求解,运算量一般较大,这类综合题中常涉及的问题有弦长问题、面积问题、 对称问题、定点定值问题等,是历年高考的热点问题,复习时要注重通性通法的训练. x2 y2 3 变式训练 5 (2012· 山东高考,文 21)如图,椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直 a b 2 线 x=± 和 y=± 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. a b

(1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设直线 l:y=x+m(m∈R)与椭圆 M 有两个不同的交点 P,Q,l 与矩形 ABCD 有两个不 |PQ| 同的交点 S,T.求 的最大值及取得最大值时 m 的值. |ST| 6.函数与导数 以函数为载体,以导数为工具,以考查函数性质及导数的应用为目标,以导数为工具围 绕函数、不等式、方程等综合考查.在知识的交汇处命题,涉及到具体内容较多,如给定解 析式求参数值,给定条件求参数范围,以及对参数讨论与证明不等式问题,极值、最值、值 域及分析图象交点等问题,都以导数为工具.既考查函数部分的相关知识,又渗透函数与方 程、数形结合、化归与转化、分类与整合等数学思想. 1 (2012· 山东青岛一模,21)已知函数 f(x)= x3-x. 3 (1)若不等式 f(x)<k-2 005 对于 x∈[-2,3]恒成立,求最小的正整数 k; 1 (2)令函数 g(x)=f(x)- ax2+x(a≥2),求曲线 y=g(x)在(1,g(1))处的切线与两坐标轴围成 2

的三角形面积的最小值. 点评 第(1)问是恒成立求参数范围问题,常用分离参数求最值.第(2)问考查了利用导数的 几何意义求切线方程,利用导数求最值问题. 变式训练 6 (2012· 广西南宁一模, 21)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是定义在 R 上的奇函 1 数,其图象过点?1,-2?和(2,2). ? ? (1)求出函数 f(x)的解析式,并求 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=f(x)-5t,当实数 t 取何值时,关于 x 的方程 g(x)=0 有且只有一个实数根?

参考答案
方法例析 【例 1】解:(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωx· ωx+λ cos π? =-cos 2ωx+ 3sin 2ωx+λ=2sin?2ωx-6?+λ. ? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, π 可得 sin?2ωπ-6?=± ? ? 1, π π 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z), 6 2 k 1 即 ω= + (k∈Z). 2 3 1 又 ω∈?2,1?,k∈Z, ? ? 5 所以 k=1,故 ω= . 6 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π ? π (2)由 y=f(x)的图象过点?4,0?,得 f?4?=0, ? ? ? 5 π π π 即 λ=-2sin?2×6×4-6?=-2sin =- 2, ? ? 4 即 λ=- 2. 5 π 故 f(x)=2sin?3x-6?- 2. ? ? 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6 5 π 1 所以- ≤sin?3x-6?≤1, ? ? 2 5 π? 得-1- 2≤2sin?3x-6?- 2≤2- 2, ? 3π 故函数 f(x)在?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. ? ? π 2 【变式训练 1】解:(1)f(x)= cos?2x+4?+sin2x ? ? 2 π π 1-cos 2x 2 = ?cos 2xcos4-sin 2xsin4?+ ? 2? 2 1 1 = - sin 2x, 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π. π 1 1 (2)当 x∈?0,2?时,g(x)= -f(x)= sin 2x.故 ? ? 2 2

π π π ①当 x∈?-2,0?时,x+ ∈?0,2?. ? ? ? 2 ? π? π 1 π 1 1 由于对任意 x∈R,g?x+2?=g(x),从而 g(x)=g?x+2?= sin?2?x+2??= sin(π+2x)=- ? ? ? 2 ? ? ?? 2 2 sin 2x. π π ②当 x∈?-π,-2?时,x+π∈?0,2?. ? ? ? ? 1 1 从而 g(x)=g(x+π)= sin[2(x+π)]= sin 2x. 2 2 综合①②得 g(x)在[-π,0]上的解析式为 π 1 sin 2x,x∈?-π,-2?, ? ? 2 g(x)= π 1 - sin 2x,x∈?-2,0?. ? ? 2

? ? ?

【例 2】(1)证明:取 BC 的中点 G,连接 AG,FG.

∵F,G 分别为 DC,BC 的中点, 1 ∴FG 綉 DB 綉 EA. 2 ∴四边形 EFGA 为平行四边形. ∴EF∥AG. 又因为 EF ? 平面 ABC,AG?平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC. (2)证明:因为 AE⊥面 ABC,BD∥AE, ∴DB⊥平面 ABC. 又∵DB?平面 BCD, ∴平面 ABC⊥平面 BCD. 又∵G 为 BC 的中点且 AC=AB=BC, ∴AG⊥BC.∴AG⊥平面 BCD. 又∵EF∥AG,∴EF⊥平面 BCD. (3)解:过 C 作 CH⊥AB,则 CH⊥平面 ABDE 且 CH= 3 , 2

1 1 (1+2)×1 3 3 ∴VC-ABDE= S 四边形 ABDE· CH= × × = . 3 3 2 2 4 【变式训练 2】(1)证明:AB⊥平面 PAD,PH?面 PAD?PH⊥AB, 又 PH⊥AD,AD,AB?平面 ABCD,AD∩AB=A?PH⊥平面 ABCD. 1 1 (2)解:E 是 PB 中点?点 E 到面 BCF 的距离 h= PH= , 2 2 1 11 1 1 2 ∴三棱锥 E-BCF 的体积 V= S△BCF· ·· AD· ×1× 2× = . h= FC· h= 3 32 6 2 12

(3)证明:取 PA 的中点为 G,连接 DG,EG. PD=AD?DG⊥PA, 又 AB⊥平面 PAD,AB?平面 PAB?平面 PAD⊥平面 PAB, 又平面 PAD∩平面 PAB=PA,DG?平面 PAD?DG⊥面 PAB, 点 E,G 是棱 PB,PA 的中点?EG 綉 又 DF 綉

1 AB, 2

1 AB?EG 綉 DF?DG∥EF,得 EF⊥平面 PAB. 2

【例 3】解:(1)成绩与专业列联表 优秀 非优秀 总计 14 6 20 A班 7 13 20 B班 21 19 40 总计 (2)根据列联表中的数据,得到 40×(14×13-6×7)2 k= ≈4.912>3.841. 21×19×20×20 所以有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关. 5+20 1 【变式训练 3】 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 解: = , 用频率估计概率, 100 4 1 所以,甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 . 4 (2)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145(个), 75 其中甲品牌产品是 75 个, 所以在样本中, 寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 145 15 15 = ,用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 . 29 29 【例 4】(1)证明:∵bn+1-3bn=2n-2, ∴bn-3bn-1=2(n-1)-2,n≥2,n∈N*. 两式相减,得 bn+1-bn-3bn+3bn-1=2(n≥2,n∈N*). 整理,得 bn+1-bn+1=3(bn-bn-1+1)(n≥2,n∈N*), 即 an=3an-1(n≥2,n∈N*). ∴数列{an}是公比为 3 的等比数列. (2)解:∵b2=3, ∴a1=3-1+1=3.∴an=3n(n∈N*). ∵an=bn+1-bn+1=3n, - - ∴bn-bn-1+1=3n 1,bn-1-bn-2+1=3n 2,?,b2-b1+1=31. n 1-3 累加,得 bn-b1+n-1= -1. 1-3 3n 1 ∴bn= -n+ (n∈N*). 2 2 1 1 1 1 (3)解:cn= log3n 3 ? log3n +2 3 = = ?n-n+2?. ? n(n+2) 2?

1 1 1 1 1 3 1 1 ∴Tn= ?1+2-n+1-n+2?= - ?n+1+n+2?. 2? ? 4 2? ? 1 1 由 45Tk<29 得 135-90?k+1+k+2?<116. ? ? 1 1 19 1 1 ∴ + > = + . k+1 k+2 90 9 10 ∴k<8. 又 k∈N*,∴k 的最大值为 7, 1 1 1 【变式训练 4】解:(1)由 Sn= an2+ an+ ,① 4 2 4 1 2 1 1 得:当 n≥2 时,Sn-1= an -1+ an-1+ .② 4 2 4 ①-②,化简得:(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 又∵数列{an}的各项为正数, ∴当 n≥2 时,an-an-1=2. 故数列{an}为等差数列,且公差为 2. 1 1 1 又 a1=S1= a12+ a1+ ,解得 a1=1, 4 2 4 ∴an=2n-1. ?an,n为奇数, ? (2)由分段函数 f(n)=? ?n? ?f?2?,n为偶数, ? 可以得到:c1=f(6)=f(3)=a3=5, c2=f(8)=f(4)=f(2)=f(1)=a1=1; 当 n≥3,n∈N*时, - - - - cn=f(2n+4)=f(2n 1+2)=f(2n 2+1)=2(2n 2+1)-1=2n 1+1, 4(1-2n 2) - 故当 n≥3 时,Tn=5+1+(22+1)+(23+1)+?+(2n 1+1)=6+ +(n-2)=2n+ 1-2 n. n=1 时,T1=5 不满足 Tn=2n+n; n=2 时,T2=c1+c2=6 满足 Tn=2n+n. ? ?5,n=1, 故 Tn=? n ? ?2 +n,n≥2. x2 y2 【例 5】解:设点 P(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0),代入 + = 4 3 1,


整理得(3+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-12=0. ∵x=x0 是方程的两个相等实根, 8k(y0-kx0) ∴2x0=- , 3+4k2 3x0 解得 k=- . 4y0

∴直线 l 的方程为 y-y0=- 又∵

4y02+3x02? 3x0 (x-x0).令 x=0,得点 A 的坐标为?0, . 4y0 4y0 ? ?

x0 2 y0 2 ? ? 1 ,∴4y02+3x02=12, 4 3 3 ∴点 A 的坐标为?0,y ?. ? 0?
y0 4y0 又直线 l′的方程为 y-y0= (x-x0),令 x=0,得点 B 的坐标为?0,- 3 ?, ? ? 3x0 3 ? ? y0? ∴以 AB 为直径的圆方程为 x· ?y-y ?·y+ 3 ?=0, x+? 0 ? ?x2+y2-1=0, ?x=± 1, ? ? y0 3 整理得 x2+y2+? 3 -y ?y-1=0.由? 得? ? 0? ? ? ?y=0, ?y=0. ∴以 AB 为直径的圆恒过定点(-1,0)和(1,0). 【变式训练 5】解:(1)设椭圆 M 的半焦距为 c,

?a =b +c , ?c 3 由题意知? = , a 2 ?4ab=8, ?
所以 a=2,b=1. x2 因此椭圆 M 的方程为 +y2=1. 4 2 ?x +y2=1, ? (2)由? 4 整理得 5x2+8mx+4m2-4=0,

2

2

2

? ?y=x+m

由 Δ=64m2-80(m2-1)=80-16m2>0, 得- 5<m< 5. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 4(m2-1) 8m 则 x1+x2=- ,x1x2= . 5 5 所以|PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 2[(x1+x2)2-4x1x2] 4 = 2(5-m2)(- 5<m< 5). 5 线段 CD 的方程为 y=1(-2≤x≤2),线段 AD 的方程为 x=-2(-1≤y≤1). ①不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1≤m< 5,S(-2,m-2),D(-2,1), 所以|ST|= 2|SD|= 2[1-(m-2)]= 2(3-m), 5-m2 |PQ| 4 因此 = . |ST| 5 (3-m)2 令 t=3-m(1≤m< 5), 则 m=3-t,t∈(3- 5,2], 2 |PQ| 4 5-(3-t) 4 4 6 所以 = = - 2+ -1 |ST| 5 t2 5 t t 1 3 4 5 = -4? t -4?2+ , ? ? 4 5

由于 t∈(3- 5,2], 所以 ∈ ? , 因此当 ?

1 t

? 1 3+ 5 ? ?, 4 ? ?2 ?

1 t

PQ 3 4 5 2 5 ,即 t ? 时, 取得最大值 ,此时 m ? . 4 3 3 5 ST PQ ST ? 2 5 ? m2 , 5

②不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上,此时-1≤m≤1, 因此|ST|= 2 |AD|= 2 2 ,此时 所以当 m=0 时,

PQ ST

取得最大值

2 5 . 5
5 2 5 ,此时 m ? ? . 3 5

③不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 BC 边上, ? 5 <m≤-1, 由椭圆和矩形的对称性知 综上所述, m ? ?

PQ ST

的最大值为

PQ 5 2 5 或 m=0 时, 取得最大值 . 3 5 ST

1 【例 6】解:(1)∵f(x)= x3-x, 3 令 f′(x)=x2-1=0,解得 x=± 1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化如下: x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) f′(x) 0 + - f(x) 极大值 ? ? 2 由上表可知:f(x)极大值=f(-1)= . 3 2 又 f(3)=6,f(-2)=- . 3 比较可得:当 x∈[-2,3]时,f(x)max=f(3)=6. 因为 f(x)<k-2 005 恒成立, 所以 k-2 005>6,即 k>2 011, 所以最小的正整数 k=2 012. 1 1 1 (2)g(x)=f(x)- ax2+x= x3- ax2, 2 3 2 2 则 g′(x)=x -ax,所以 g′(1)=1-a. 1 1 又因为 g(1)= - a, 3 2 1 1 所以切线方程为 y-?3-2a?=(1-a)(x-1). ? ? 4-3a 1 2 令 x=0,得 y= a- ,令 y=0,得 x= , 2 3 6(1-a) 4-3a ? 1? 1 2 所以 S= ??2a-3?× ? 6(1-a)?. 2?? ? (3a-4)2 因为 a≥2,则 S= , 72(a-1) (3a-4)(3a-2) 则 S′= . 72(a-1)2 所以 S′>0,即 S 在[2,+∞)上单调递增,

1 0 极小值

(1,3) +

3

?

(3×2-4)2 1 = . 72×(2-1) 18 【变式训练 6】解:(1)∵f(-x)=-f(x), ∴ -ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d. ∴ b=0,d=0.故 f(x)=ax3+cx. 1 而它的图象过点?1,-2?和(2,2), ? ? ?f(1)=a+c=-1, ? 2 则? 所以 a=2 时,Smin=

?f(2)=8a+2c=2, ?

?a=1, ? 1 解得? 2 故 f(x)= x3-x. 2 ?c=-1, ? 3 3 2 2 3 6 6 从而 f′(x)= x2-1= ?x -3?= ?x- ??x+ ?; ? 2? 2 2? 3 ?? 3? 6 6 由 f′(x)>0,得 f(x)的单调增区间为?-∞,- ?和? ,+∞?, 3? ?3 ? ? 6 6? 由 f′(x)<0,得 f(x)的单调减区间为?- , . ? 3 3?
(2)令 g(x)=0,得 f(x)=5t,要使得方程 g(x)=0 有且只有一个解,即函数 y=f(x)与 y=5t 的图象有且只有一个交点, 6 6 而由(1)知,f(x)在 x=- 时取得极大值,在 x= 时取得极小值, 3 3 6 1 ? 6 6 2 6 而 f?- ?= × - ?3-?- ?= , ? 3? 2 ? 3? ? 3? 9 2 6 6 6 f? ?=-f?- ?=- , 9 ?3? ? 3? 故要使得 y=f(x)与 y=5t 的图象只有一个交点, 2 6 2 6 2 6 2 6 则 5t> 9 或 5t<- 9 ,即 t> 45 或 t<- 45
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