【精品】2019年人教版高中数学同步教学讲与练★★8.8求空间角和距离

【精品】2019 年人教版高中数学同步教学讲与练★★ §8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 最新考纲 考情考向分析 1.能用向量方法解决直线与直线、 本节是高考中的必考内容,涉及用向量法计算空间 直线与平面、平面与平面所成角的 计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问 题中的应用. 异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空 间距离等内容,考查热点是空间角的求解.题型以 解答题为主,要求有较强的运算能力,广泛应用函 数与方程的思想、转化与化归思想. 1.两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ 范围 ??0,π2?? 求法 cosθ=||aa|·|bb|| a 与 b 的夹角 β [0,π] cosβ=|aa|·|bb| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,a 与 n 的夹 角为 β,则 sinθ=|cosβ|=||aa|·|nn||. 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ =〈A→B,C→D〉. (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). 知识拓展 利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点 A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则|AB|=|A→B|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α 的距离为|B→O| =|A→|Bn·|n|. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) (4)两异面直线夹角的范围是??0,π2??,直线与平面所成角的范围是??0,2π??,二面角的范围是[0, π].( √ ) (5)若二面角 α-a-β 的两个半平面 α,β 的法向量 n1,n2 所成角为 θ,则二面角 α-a-β 的 大小是 π-θ.( × ) 题组二 教材改编 2.[P104T2]已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( ) A.45° B.135° C.45°或 135° D.90° 答案 C 解析 cos〈m,n〉=|mm|·|nn|=1·1 = 2 22,即〈m,n〉=45°. ∴两平面所成二面角为 45°或 180°-45°=135°. 3.[P117A 组 T4(2)]如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2, 侧棱长为 2 2,则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为______. 答案 π 6 解析 →→ → 以 A 为原点,以AB,AE(AE⊥AB),AA1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴(如图)建立空 间直角坐标系,设 D 为 A1B1 的中点, 则 A(0,0,0),C1(1, 3,2 2),D(1,0,2 2),∴A→C1=(1, 3,2 2), A→D=(1,0,2 2). ∠C1AD 为 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角, →→ cos∠C1AD= AC1·AD →→ |AC1||AD| ?1, = 3,2 2?·?1,0,2 12× 9 2? = 23, 又∵∠C1AD∈??0,π2??,∴∠C1AD=6π. 题组三 易错自纠 4.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA =CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) 1 2 30 2 A.10B.5C. 10 D. 2 答案 C 解析 以点 C 为坐标原点,CA,CB,CC1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系. 设直三棱柱的棱长为 2,则可得 A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),∴B→M=(1,-1,2),A→N =(-1,0,2). ∴cos〈B→M,A→N〉= B→M·A→N →→ |BM||AN| = -1+4 = 12+?-1?2+22× ?-1?2+02+22 3 6× 5 = 30 10 . 5.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉=-12,则 l 与 α 所成的角为________. 答案 30° 解析 设 l 与 α 所成角为 θ,∵cos〈m,n〉=-12, ∴sinθ=|cos〈m,n〉|=12,∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°. 6.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,若 AB=PA,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的角为______. 答案 45° 解析 如图,以点 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设 AB=PA=1, 则 A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 由题意,知 AD⊥平面 PAB,设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD, 又 CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AE,从而 AE⊥平面 PCD. ∴A→D=(0,

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