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求轨迹方程的常用方法
1.用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点轨 迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量 之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在 求轨迹中的作用,只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得 出方程。
例 1 :已知 ?ABC 的顶点 A , B 的坐标分别为( -4 , 0 ) , (4,0) , C 为动点,且满足

sin B ? sin A ?

5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4

熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 (1) 圆:到定点的距离等于定长 (2) 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离) (3) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离) (4) 到定点与定直线距离相等。

【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1,圆 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。

的圆心为 M2,

2:一动圆与圆 O: x ? y ? 1 外切,而与圆 C: x ? y ? 6x ? 8 ? 0 内切,那么动圆的圆心
2 2 2 2

M 的轨迹是: A:抛物线 B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支

-1-

3. 与⊙ C: 0? ?x ? 2? ? y 2 ? 2 内切,且过点 A?2,
2

2.用直接法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。 例 2: 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求 AB 中点 P 的轨迹方程

1)代入题设中的已知等量关系:若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用直 接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2)列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条 件列出等式,得出其轨迹方程。 3)运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的 恒等变换即得其轨迹方程。 4)借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中 的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、垂直平分线定理的性质等等,从而分析出其数量 的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】 : 1.动点 P (x,y) 到两定点 A (-3, 0) 和B (3, 0) 的距离的比等于 2 (即 求动点 P 的轨迹方程?

| PA | ? 2) , | PB |

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2.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

3.过圆 O:x +y = 4 外一点 A(4,0) ,作圆的割线,求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨 迹。

2

2

3.用相关点法(代入法)求轨迹方程

x2 y2 0)为定点, 求线段AB的中点M的 例 3. 点B是椭圆 2 ? 2 ? 1上的动点,A (2a, a b
轨迹方程。

【变式 3】如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆 上两动点,且满足 ∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程

y
B Q

R A

o

P

x

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4.用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例 4.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

5.常见错误: 【例题 5】 ?ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0) , (3,0) ,且三角形周长为 16, 求点 A 的轨迹方程。

对应练习:
2 2 1:已知两点 M (1, ), N ( ?4,? ) 给出下列曲线方程:① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x ? y ? 3 ;③

5 4

5 4

x2 x2 2 ? y ? 1; ? y2 ? 1, ④ 在曲线上存在点 P 满足 | MP |?| NP | 的所有曲线方程是 ( 2 2
A ①③ B ②④ C ①②③ D ②③④ . 2.两条直线 x ? m y ? 1 ? 0 与 m x ? y ? 1 ? 0 的交点的轨迹方程是



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3、点 P 是圆 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 上的动点, O 是坐标原点,则线段 OP 的中点 Q 的轨迹方 程是 . 4. 点 M 到点 F( 4 , 0 )的距离比它到直线 x ? 50 ?的距离小 1,则点 M 的轨迹方程为 ____________。 已知一条曲线在 x 轴上方,它上面的每一点到点 A(0,2) 的距离与到 x 轴的距离的差都是 2 , 则这条曲线的方程是 .

O , 0 、 A 3 , 0 5 .求与两定点 O 距离的比为 1:2 的点的轨迹方程为_________ 1
2 2 2 2 6、动点 M ?x, y ? 满足 (x ? 6) ? y ? ( x ? 6) ? y ? 20 ,则 M 的轨迹方程是

?

? ? ?

7、动点 P 到两坐标轴的距离之和等于 2,则点 P 的轨迹所围成的图形面积是 8、已知点 Q 是曲线 y ? x2 上的动点,点 A 的坐标为 ?1,0 ? ,求线段 QA 的中点 P 的轨迹.

9. 抛物线 y 2 ? 4 x 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于 A、B 两点,动点 C 在抛物线上,求△ABC 重心 P 的轨迹方程。

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10.过原点作直线 l 和抛物线 y ? x ? 4 x ? 6 交于 A、B 两点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方
2

程。

11、动点 P 与两个定点

F1 ? ?1,0? , F2 (1,0)

连线的斜率之积等于

m ? m ? 0?

,求点 P 的轨迹方

程,并就 m 的不同取值讨论其轨迹的形状.

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