山东省济宁市高三数学第一次模拟考试 文 新人教A版

2013 年济宁市高三模拟考试 数学(文史类)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 l50 分, 考试时间 l20 分钟. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名,考号填写在答题卡上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号, 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分。共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则 ?1 ? ( A.第一象限

1? i 2 ) 在复平面内对应的点位于 2
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2.设集合 A={-1,0,a},B={ x | 0 ? x ? 1 },若 A

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

A{1} B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(0.1) 3.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛 得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员得分的中位 数分别为 A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20 4.下列命题中是假命题的是 A. ?x ? ( 0 ,

?
2

),tan x ? sin x

B. ?x ? R,3 ? 0
x

C. ?x0 ? R,sin x0 ? cos x0 ? 2

D. ?x0 ? R,lg x0 ? 0

5.点 M、N 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1B1、A1D1 的中点,用过 A、M、N 和 D、N、C1 的 两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、侧(左)视 图、俯视图依次为

A.①、②、③

B.②、③、③

C.①、③、④ D.②、④、③

x ?1 ? ? 6.实数 x,y 满足 ? y ? a( a ? 1 ) ,若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为 ? x? y ?0 ?
A.4 B.3 C.2 D.

3 2

7.函数 f ( x ) ? ln( x ?

1 ) 的图象是 x

8.执行右边的程序框图。则输出 n 的值为 A.6 B.5 C.4 D.3 9.若曲线 f ( x ) ? x sin x ? 1在 x ? 垂直,则实数 a 的值为 A.-2 B.-l C.1 D.2 10. 若函数 f ( x ) ? sin( ? x ?

?
2

处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相

?
3

) 的图象向右平移

的图象关于 x 轴对称,则 ? 的最小正值是 A.

? 个单位后与原函数 3

1 2

B.1 D.3
o

C.2

11.在△ABC 中,G 是△ABC 的重心,AB、AC 的边长分别为 2、1, ? BAC=60 .则 AG BG = A. ?

8 9

B. ?

10 9

C.

5? 3 9

D.-

5? 3 9

12.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0,b ? 0 ) 的左、 a 2 b2

右焦点,过 F2 的直线与双曲线 C 交于 A,B 两点.若|AB|:|BF1|: |AF1|=3:4:5。则双曲线的离心率为 A. 13

C.3 B.2 D. 5

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 4 分,共 16 分. 13.已知等差数列{ an }中, a3 ? a5 =32, a7 ? a3 =8,则此数列的前 10 项和 S10 = 14.函数 f ( x ) ? ? ▲ .

?ln x ? x 2 ? 2 x,x ? 0 ? 4 x ? 1,x ? 0

的零点个数是 ▲



15.已知 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,且 l ? ? ,则 l //? 是 ? ? ? 的 ▲ 条件。 (填:充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要) x y 16.设满足 3 =5 的点 P 为(x,y),下列命题正确的序号是 ▲ . ①(0,0)是一个可能的 P 点;②(lg3,lg5)是一个可能的 P 点;③点 P(x,y)满足 xy≥0; ④所有可能的点 P(x,y)构成的图形为一直线. 三、解答题:本大题共 6 小题.共 74 分.解答应写出文宇说明、证明过程或推演步骤。 17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 A= (I)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 18.(本小题满分 12 分) 某校从参加高三年级期中考试的学生中随 机统计了 40 名学生的政治成绩, 这 40 名学生的 成绩全部在 40 分至 l00 分之间,据此绘制了如 图所示的样本频率分布直方图。 (I)求成绩在[80,90)的学生人数; (Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,求至少有 l 名学生成绩在 [90,100] 的概率。

? 2 5 ,cosB= . 4 5

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S-ABC 中,底面 ABCD 是矩形,SA ? 底 面 ABCD,SA=AD,点 M 是 SD 的中点,AN ? SC,且交 SC 于点 N. (I)求证:SB∥平面 ACM; (II)求证:平面 SAC ? 平面 AMN。

20.(本小题满分 l2 分) 设数列{ an }满足:a1=5,an+1+4an=5,(n ? N*) (I)是否存在实数 t,使{an+t}是等比数列? (Ⅱ)设数列 bn=|an|,求{bn}的前 2013 项和 S2013.

21.(本小题满分 13 分) 如图,已知半椭圆 C1:

x2 ? y 2 ? 1( a ? 1,x ? 0 ) 的离 2 a

心率为

2 ,曲线 C2 是以半椭圆 C1 的短轴为直径的圆在 y 2

轴右侧的部分,点 P(x0,y0)是曲线 C2 上的任意一点,过点 P 且与曲线 C2 相切的直线 l 与半椭圆 C1 交于不同点 A,B. (I)求 a 的值及直线 l 的方程(用 x0,y0 表示); (Ⅱ)△OAB 的面积是否存在最大值?若存在, 求出最大值; 若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

a . x

(I)若 a>0,试判断 f ( x ) 在定义域内的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 在[1,e]上的最小值为
2

3 ,求 a 的值; 2

(III)若 f ( x ) ? x 在(1,+ ? )上恒成立,求 a 的取值范围

2013 年济宁市高三模拟考试 数学(文史类)试题参考答案及评分标准 一、 选择题:每小题 5 分,共 60 分. BDACB CBCDD AA 二、填空题:每小题 4 分,共 16 分. 13. 190 14. 3 15. 充分不必要 16. ①③④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.

17.解: (Ⅰ)? cos B ?

2 5 5 且 B ? (0, ? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B ? 5 5

…………2 分

3? cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos( ? B) 4
? cos

…………………………………… 4 分

3? 3? 2 2 5 2 5 10 cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? ………………………6 分 4 4 2 5 2 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? (?

10 2 3 10 ……………………8 分 ) ? 10 10

由正弦定理得

BC AB 2 5 AB ,即 ,解得 AB ? 6 .………………10 分 ? ? sin A sin C 2 3 10
2 10

在 ?BCD 中, CD2 ? (2 5 ) 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 2 5 ?

2 5 ? 5, 5

所以 CD ? 5 . ………………………………………………………………12 分 18.解: (Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 ,

…………………………2 分

所以,40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40 ? 0.1 ? 4 (人). ……4 分 (Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一 名学生成绩在区间 [90,100] 内” , 由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 4 人, 记这四个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 2 人,记这两个人分别为 e, f .…………6 分 则选取学生的所有可能结果为:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) , (d , e), (d , f ), (e, f )
基本事件数为 15,………………………………………………………………8 分 事件“至少一人成绩在区间 [90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,
基本事件数为 9, …………………………………………………………10 分

所以 P ( A) ?

9 3 ? . 15 5

………………………………………………………12 分 S

19.证明: (Ⅰ)连接 BD,交 AC 于点 O,连接 MO ABCD 为矩形, ? O 为 BD 中点 又 M 为 SD 中点,

? MO//SB

………………………………3 分

M

N

MO ? 平面 ACM,SB ? 平面 AC………………4 分

A O D C

B

? SB//平面 ACM
(Ⅱ)

…………………………5 分

SA ? 平面 ABCD,? SA ? CD ABCD 为矩形,? CD ? AD,且 SA AD=A

? CD ? 平面 SAD,? CD ? AM…………………8 分
SA=AD,M 为 SD 的中点

? AM ? SD,且 CD SD=D ? AM ? 平面 SCD
? AM ? SC
又 ……………………………………………………………………10 分 AM=A ? SC ? 平面 AMN

SC ? AN,且 AN

SC ? 平面 SAC,? 平面 SAC ? 平面 AMN. ……………………………………12 分 20.解: (I)由 an +1 +4an =5 得 an +1 = ? 4an +5 令 an+1 +t = ? 4 ? an +t ? ,…………………………………………………………2 分 得 an +1 = ? 4an ? 5t 则 ?5t =5 , t = ? 1 从而 an +1 ?1= ? 4 ? an ?1? . 又 a1 ? 1=4 , ………………………………………4 分

??an ?1? 是首项为 4,公比为 ?4 的等比数列,
………………………6 分
n

? 存在这样的实数 t = ? 1 ,使 ?an +t? 是等比数列.
(II)由(I)得 an ? 1=4 ? ? ?4 ?
, n为奇数 ? bn = an = 1+4 4n ?1,n为偶数
n ?1

? an =1 ? ? ?4 ? . ………………………7 分
………………………………………………8 分

?

n

? S 2013 =b1 +b2 +

b2013 = ?1+41 ? + ? 4 2 ? 1? + ?1+43 ? + ? 4 4 ? 1? +

+ ?1+4 2013 ?

…9 分

=41 +42 +43 +

+42013 +1 ………………………………………………10 分

=

4 ? 42014 42014 ? 1 +1= 1? 4 3
半椭圆 C1 的离心率为

……………………………………………12 分

21.解: (I)

a2 ?1 2 2 2 ,? =( ) , 2 a 2 2

? a= 2

………………………………………………………………2 分

设 Q(x,y ) 为直线 l 上任意一点,则 OP ? PQ ,即 OP ? PQ=0
2 2 (x0 ,y0 ) ? (x ? x0 ,y ? y0 )=0 , x0 x+y0 y=x0 +y0

……………………………4 分 ………………………6 分



2 2 x0 +y0 =1 , ?直线l的方程为x0 x+y0 y ?1=0

? ? x x+y y ? 1=0 ? 0 (II)① 当 P 点不为(1,0)时, ? 0 , 2 ?x 2 +y =1 ? ? 2
2 2 2 2 2 得 (2x0 +y0 )x2 ? 4x0 x+2 ? 2 y0 =0 , 即 (x0 +1)x2 ? 4x0 x+2x0 =0

? 4x ? x1 +x2 = 2 0 ? x0 +1 ? 设 A? x1,y1 ? ,B ? x2 ,y2 ? ,? ? 2 ? x x = 2 x0 2 ? 1 2 x0 +1 ? ?

……………………………………8 分

AB = 1+k 2 ?

? x1 +x2 ?
2

2

? 4 x1 x2
2 8 x0 4 2 x0 +2 x0 +1

=

?1 ? x ?? x +1?
2 0 2 0

2 8 x0 ?1 ? x02 ?

=

…………………………………………9 分

=

8 8 < = 2 1 2 1 2 x0 + 2 +2 2 x0 ? 2 +2 x0 x0

……………………………………10 分

?S

OAB

=

1 1 2 AB OP = AB < 2 2 2 =

………………………………………………11 分

②当 P 点为(1,0)时,此时, S

OAB

2 . …………………………………12 分 2

综上,由①②可得, ?OAB 面积的最大值为

2 . 2

…………………………13 分

22.解 (I)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 a x+a 且 f′(x)= + 2= 2 .

x x

x

………………………………………………2 分

∵a>0,∴f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (II)由(I)可知,f′(x)= ………………………………4 分

x+a . x2

①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 3 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ………………………5 分

②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为减函数,

a 3 e ∴f(x)min=f(e)=1- = ,∴a=- (舍去). ………………………6 分 e 2 2
③若-e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数, 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,∴a=- e. 2 综上所述,a=- e.
2

………………………………………………8 分

(Ⅲ)∵f(x)<x ,∴ln x- <x . 又 x>0,∴a>xln x-x .
3 3

a x

2

………………………………………………9 分
2

令 g(x)=xln x-x ,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x ,…………………10 分

h′(x)= -6x= x

1

1-6x

2

x

.

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数. ………………………………12 分

g(x)<g(1)=-1,
∴当 a≥-1 时,f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立.…………………………13 分
2


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