导学案030等比数列及其前n项和


济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 029

班级:高三(



姓名

等比数列及其前 n 项和
考纲要求 1. 理解等比数列的概念. 2. 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 考情分析 1.等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式是高考的热点. 2.客观题突出“小而巧”,考查学生对基础知识的掌握程度,主观题考查较为全面,在考查基 本运算、基本概念的基础上,又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法. 3.题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高. 教学过程 基础梳理 一、等比数列的相关概念

相关名词

等比数列{

a

n

}的有关概念及公式

定义

=q(q 是常数且 q≠0,n∈N*)或 常数且 q≠0,n∈N*且 )

=q(q 是

通项公式

a

n



前 n 项和公式

设 a、b 为任意两个同号的实数,则 a、b 的等比中项 G=
等比中项 二、等比数列的性质 1.通项公式的推广:

a

= n

a q
m

n? m

2.对于任意正整数 p、q、r、s,只要满足 p+q=r+s,则有 . 1 an 3.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},{ },{a2},{an·n},{ }(λ≠0)仍是等比 b n an bn 数列. 4.三个数成等比数列且积一定,通常设为 比较方便.

1 惜光阴百日犹短,看众志成城拼搏第一;细安排一刻也长,比龙争虎斗谁为争锋?

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 029

班级:高三(



姓名

双基自测 1.在等比数列{an}中, ( ) A.2 C.4

a

2012

=8

a

2009

,则公比 q 的值为

B.3 D.8

2.(教材习题改编)等比数列{an}中,a4=4,则 (

a a · 6 等于
2

) A.4 B.8 C.16 D.32 3.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4, 则 an= ( )

?3 A.4·2?n ? ? ?3 - C.4·2?n 1 ? ?

?2 B.4·3?n ? ? ?2 - D.4·3?n 1 ? ?

4.(2012·广州调研)已知等比数列{an}的公比是 2,a3=3,则

a 的值是________.
5

1 5.(2011· 北京高考)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4,则公比 q=________;a1+a2+? 2 +an=________. 典例分析 考点一、等比数列的判断与证明 例 1.(2011· 绵阳二模)在正项数列{an}中,a1=2,点( an, 上,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 2 8 变式 1.(2012· 长安模拟)已知数列{an}中,a1= ,a2= .当 n≥2 时,3an+1=4an-an-1(n∈N*). 3 9 (1)证明:{an+1-an}为等比数列; (2)求数列{an}的通项. an-1)(n≥2)在直线 x- 2y=0

等比数列的判定方法有: an+1 an 1.定义法:若 =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2),则{an}是等比数列. an an-1 2.中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 a2+1=an·n+2(n∈N*), a n 则数列{an}是等比数列.

2 惜光阴百日犹短,看众志成城拼搏第一;细安排一刻也长,比龙争虎斗谁为争锋?

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 029

班级:高三(



姓名

考点二、等比数列的基本运算 [例 2] (2011·全国高考)设等比数列{an}的前 n 项和为 求

S

n

, 已知

a

2

=6,

6a + a =30,
1 3

a

n



S

n

变式 2.(2012· 金华联考)已知正项数列{an}为等比数列,且 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项,若 a2=2,则该数列的前 5 项的和为 33 A. 12 31 C. 4 B.31 D.以上都不正确 ( )

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q,

an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中, 还应善于运用整体代换思想简化运算的过程. 3.在使用等比数列的前 n 项和公式时,应根据公比 q 的 情况进行分类讨论,切不可忽视 q 的取值而盲目用求和公式. 考点三、等比数列的性质 [例 3] (2012·苏北四市联考)已知一个等比数列前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所 有项的积为 243,则该数列的项数为________. 变式 3.(2012· 成都模拟)在由正数组成的等比数列{an}中,若 a3a4a5 =3π,则 sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)的值为 1 A. 2 C.1 B. 3 2 3 2 ( )

D.-

变式 4.(2012·巴中模拟)已知等比数列{an}中,an>0,若

a1+a2=1,a3+a4=9,

则 a4+a5 等于
A.16 C.36 B.27 D.82

(

)

等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,它们的通项公式和性质有许多相似之处, 其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比. 关注它们之间的异同 有助于我们从整体上把握它们, 同时也有利于类比思想的推广. 对于等差数列项的和或等比 数列项的积的运算,若能关注通项公式 an=f(n)的下标 n 的大小关系,可简化题目的运算.

3 惜光阴百日犹短,看众志成城拼搏第一;细安排一刻也长,比龙争虎斗谁为争锋?

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 029

班级:高三(



姓名

考题范例 (本题满分 12 分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+ ?是等比数列. 4? ?

[解答示范] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15, 解得 a=5.(2 分) 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,由(7-d)(18+d)=100,解得

d=2 或 d=-13(舍去).(4 分)
故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2, 由 b3=b1·2 ,即 5=b1·2 , 5 解得 b1= . 4 5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 4
2 2

bn= ·2n-1=5·2n-3.(6 分)
5 n ? 1-2 ? 4 (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= 1-2 5 4 5·2n-1 5 5 所以 S1+ = , = n-2=2.(10 分) 4 2 5 5·2 Sn+ 4

5 4

=5·2

n-2

5 5 n-2 - ,即 Sn+ =5·2 .(8 分) 4 4

Sn+1+

? 5? 5 因此?Sn+ ?是以 为首项,公比为 2 的等比数列.(12 分) 4? 2 ?

一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和:

Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1,
同乘 q 得:qSn=a1q+a1q +a1q +?+a1q ,
2 3

n

a1? 1-qn? 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1q ,∴Sn= (q≠1). 1-q
n

两个防范
4 惜光阴百日犹短,看众志成城拼搏第一;细安排一刻也长,比龙争虎斗谁为争锋?

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 029

班级:高三(



姓名

(1)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q =1 这一特殊情形导致解题失误. 三种方法 等比数列的判断方法有: (1)定义法:若 比数列. (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 an+1=an·an+2(n∈N ),则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·q (c,q 均是不为 0 的常数,n∈N ),则{an} 是等比数列. 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.
n
* 2 *

an+1 an * =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N ),则{an}是等 an an-1

本节检测

1. 2+1 与 2-1 两数的等比中项是( A.1 C.± 1

)

B.-1 1 D. 2 )

2.(2011· 辽宁高考)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( A.2 C.8 B.4 D.16

3.已知数列{an},则“an,an+1,an+2(n∈N*)成等比数列”是“a2+1=anan+2”的 n ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.(2012· 太原模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于( A.80 C.26 ) B.30 D.16

5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 S6=( A.63 B.64

)

5 惜光阴百日犹短,看众志成城拼搏第一;细安排一刻也长,比龙争虎斗谁为争锋?

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 029

班级:高三(



姓名

C.31

D.32

2 6.已知各项不为 0 的等差数列{an},满足 2a3-a7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=

a7,则 b6b8=________. 7.在等比数列{an}中,若 a1=1,a4=-8,|a1|+|a2|+?+|an|=127,则 n=________.

自我反思

6 惜光阴百日犹短,看众志成城拼搏第一;细安排一刻也长,比龙争虎斗谁为争锋?


相关文档

高考复习等比数列及其前n项和导学案
《等比数列前n项和及其性质》导学案
等比数列及其前n项导学案和
等比数列及其前n项和导学案
广东省佛山市顺德区高三数学第一轮复习 等比数列及其前n项和导学案 理
《等比数列及其前n项和》一轮复习导学案和(有答案)
高三数学第一轮复习 等比数列及其前n项和导学案 理
电脑版