高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用全册精品教案 新人教A版必修2

4.2.3 直线与圆的方程的应用
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解掌握,直线与圆的方程在实际生活中的应用. (2)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 2.过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几 何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 3.情态与价值观 让学生通过观察图形, 理解并掌握直线与圆的方程的应用, 培养学生分析问题与解决问 题的能力. (二)教学重点、难点 重点与难点:直线与圆的方程的应用. 教学环节 教学内容 你能说出两点间的距离公 式直线方程的四种形式及圆的 方程的两种形式吗? 师生互动 学生思考后作答 教师再引入课题 现在我们通过几个例子说明 直线与圆的方程在实际生活以及 平面几何中的应用. 师: 指导学生观察教科书上的 图形特征,利用平面坐标系求解. 生:自学例 4,并完成练习题 1、2. 师: 分析例 4 并展示解题过程, 启发学生利用坐标法求, 注意给学 生留有总结思考的时间. 指 导 学生从直 观认识过 渡到数学 思想方法 的选择. 设计意图 启 发 并引导学 生回顾, 从而引入 新课.

复习引入

应用举例

3. 阅读并思考教科书上的 例 4,你将选择什么方法解决 例 4 的问题? 例 4 图是某圆拱形桥一孔 圆拱的示 意图.这 个圆的圆 拱 跨 度 AB = 20m,拱高 OP = 4m,建 造时每间隔 4m 需要用一根支 柱支撑, 求支柱 A2P2 的高度(精 确到 0.01m). 解析:建立图所示的直角 坐 标 系,使 圆心在 y 轴上. 设圆心的坐标是(0,b),圆的 半径是 r,那么圆的方程是 x2 + (y – b)2 = r2. 下面确定 b 和 r 的值.
用心

爱心

专心

1

因为 P、B 都在圆上,所以 它们的坐标(0,4),(10,0) 2 2 2 都满足方程 x + (y – b) = r . 于是,得到方程组
?02 + (4 ? b) 2 = r 2 , ? ? 2 2 2 ?10 + (0 ? b) = r ?

解得

b = –10.5,r2 = 14.52
所以,圆的方程是 x2 + (y + 10.5)2 = 14.52. 把点 P2 的横坐标 x = –2 代入圆的方程,得 2 2 (–2) + (y + 10.5) = 2 14.5 , 取 y + 10.5 = 14.52 ? (?2)2 (P2 的纵坐标 y>0 平方根取正 值).所以
y = 14.52 ? (?2) 2 ? 10.5

≈14.36 – 10.5 =3.86(m) 4. 你能分析一下确定一个 圆的方程的要点吗? 教师引导学生分析圆的方程 中,若横坐标确定,如何求出纵坐 标的值. 师: 引导学生建立适当的平面 直角坐标系, 用坐标和方程表示相 应的几何元素, 将平面几何问题转 化为代数问题. 生:建立适当的直角坐标系, 探求解决问题的方法. 证明:如图,以四边形 ABCD 互直垂直的对角线 CA,DB 所在直 线分别为 x 轴,y 轴,建立直角坐 标系.设 A(a,0),B(0,b),C(c, 0),D(0,d). 过四边形 ABCD 外接圆的圆心 O′分别作 AC、BD、AD 的垂线,垂 足分别为 M、N、E 分别是线段 AC、 BD、AD 的中点.由线段的中点坐标 公式,得 使 学 生加深对 圆的方程 的认识. 巩 固 “ 坐 标 法” ,培养 学生分析 问题与解 决问题的 能力.

5.你能利用“坐标法”解 决例 5 吗? 例 5 已知内接于圆的四 边形的对角线互相垂直,求证 圆心到一边的距离等于这条边 所对边长的一半.

用心

爱心

专心

2

xO′ = xM = yO ′ = y N = xE =

a+c 2 b+d 2

a d , yE = 2 2

所以
a c a b d d | O ′E |= ( + ? ) 2 + ( + ? ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 = b + c2 2

又 | BC |= b 2 + c 2 所以 | O ′E |= 6. 完成教科书第 140 页的 练习题 2、3、4. 练习 2 赵州桥的跨度是 37.4m,圆拱高约为 7.2m.求这 座圆拱桥的拱圆的方程.
1 | BC | . 2

练习 3 某圆拱桥的水面跨 度 20m,拱高 4m.现有一船,宽 10m,水面以上高 3m,这条船 能否从桥下通过? 练习 4 等边△ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且
| BD |= 1 1 | BC | , CE| = | |CA|, 3 3

教师指导学生阅读教材, 并解 决课本第 140 页的练习题 2、 4, 3、 教师要注意引导学生思考平面几 何问题与代数问题相互转化的依 据. 练习 2 解:建 立如图所示的直角 坐 标 系 .|OP| = 7.2m , |AB| = 37.4m.即有 A(–18.7,0),B (18.7,0), C(0,7.2) . 2 设所求圆的方程是(x – a) + 2 2 (y – b) = r . 于是有
?(a + 18.7) 2 + b 2 = r 2 , ? 2 2 2 ?(a ? 18.7) + b = r , ? 2 2 2 ? a + (b ? 7.2) = r

AD、BE 相交于点 P.求证 AP⊥ CP.

使 学 生熟悉平 面几何问 题与代数 问题的转 化,加深 “ 坐 标 法”的解 题步骤.

解此方程组,得 a = 0,b = –20.7,r = 27.9. 所以这这圆拱桥的拱圆的方 程是 x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤ y ≤7.2) 练习 3 解: 建立如图所示 的坐标系.依 题意,有
用心 爱心 专心 3

A(–10,0),B (10,0),P(0, 4),D(–5,0),E(5,0). 2 设所求圆的方程是(x – a) + 2 2 (y – b) = r .于是有
?(a + 10) 2 + b 2 = r 2 , ? 2 2 2 ?(a ? 10) + b = r , ? 2 2 2 ? a + (b ? 4) = r

解此方程组,得 a = 0,b = –10.5,r = 14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方 程是 x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤ y ≤4). 把点 D 的横坐标 x = –5 代入上式, 得 y = 3.1. 由于船在水面以上高 3m,3<3.1, 所以该船可以从桥下穿过. 练习 4 解:以 B 为原点,BC 边所 在直线为 x 轴,线 段 BC 长的 为单 位长,建立如图所示的坐标系.则
A(3, 3), B(0, 0), C (6, 0) .
1 6

由已知,得 D(2,0), E (5, 3) . 直线 AD 的方程为 y = 3 3( x ? 2) . 直线 BE 的方程为
y= 3 ( x ? 5) + 3 . 5 5 3 ,y= 3. 7 7 15 3 , 3) . 7 7 3 . 9 3 ) = ?1 , 9

解以上两方程联立成的方程组, 得
x=

所以,点 P 的坐标是 ( 直线 PC 的斜率 k pc = ? 因为 k AD k pc = 3 3 × (? 所以,AP⊥CP.

用心

爱心

专心

4

练习题 直角△ABC 的斜边 为定长 m,以斜边的中点 O 为 圆心作半径为长定长 n 的圆, BC 的延长线交此圆于 P、Q 两 2 2 2 点,求证|AP| + |AQ| + |PQ| 为定值. 7. 你能说出练习题蕴含了 什么思想方法吗?

学生独立解决练习题, 教师组 织学生讨论交 流. 证明: 如图, 以 O 为原点,分 别以直线 PQ 为 x 轴,建立直角坐 标系. 于是有 B(?
m m , 0), C ( , 0) , 2 2

n n P(? , 0) , Q( , 0) 2 2

设 A(x,y),由已知,点 A 在 圆 x2 + y 2 =
m2 上. 4 n 2

反 馈 学生掌握 “ 坐 标 法”解决 问题的情 况,巩固 所 学 知 识.

AP2 + AQ2 + PQ2
= ( x + )2 + y 2 + ( x ? )2 + y 2 + n2 = 2 x2 + 2 y 2 + n2 =
3 2 m2 3 2 + n (定值) 2 2 n 2

归纳总结

8.小结: 师:指导学生完成练习题. 生:阅读教科书的例 3,并完 (1)利用“坐标法”解决 问题的需要准备什么工作? 成. 教师引导学生自己归纳总结 (2)如何建立直角坐标 系,才能易于解决平面几何问 所学过的知识,组织学生讨论、交 题? 流、探究. (3) 你认为学好 “坐标法” 解决问题的关键是什么? (4) 建立不同的平面直角 坐标系,对解决问题有什么直 接的影响呢? 布置作业习案 4.2 第 2 课 时 学生独立完成

对 知 识进行归 纳概括, 体会利用 “ 坐 标 法”解决 实际问题 的作用.

课后作业

巩 固 所学知识

备选例题
例 1 一圆形拱桥,现时的水面宽为 22 米,拱高为 9 米,一艘船高 7.5 米,船顶宽 4 米的船,能从桥下通过吗? 【解析】建立坐标系如图所示: C(–11,0 ),D(11,0),M(0,9) 可 求 得 过 C 、 D 、 M 三 点 的 圆 的 方 程 是

x2 + ( y +

20 2 101 ) = ( )2 9 9 20 2 101 ) = ( )2 ? 4 9 9

故 A 点坐标是(2,y1),则 ( y1 + 得 y1≈8.82,(取 y1>0)
用心

爱心

专心

5

∴y1>7.5,因此船不能从桥下通过. 例 2 设半径为 3km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,A 向东,B 向北,A 出村后不久改变前进方向,斜着沿切于村落圆周的方向前进,后来恰好与 B 相遇,设 A、B 两人的速度一定,其比为 3:1,问 A、B 两人在何处相遇. 【解析】由题意以村中心为原点,正东方向为 x 轴的正方向,正北为 y 轴的正方向,建 立直角坐标系,设 A、B 两人的速度分别的为 3vkm/h,vkm/h,设 A 出发 ah,在 P 处改变方 向,又经过 bh 到达相遇点 Q,则 P(3av,0)Q (0,(a + b)v),则 |PQ| = 3bv,|OP| = 3av,|OQ| = (a + b)v 2 2 2 在 Rt△OPQ 中|PQ| = |OP| + |OQ| 得 5a = 4b

k PQ =
∴ k PQ

0 ? v( a + b) 3av ? 0 3 =? 4 3 x+b 4

设直线 PQ 方程为 y = ?
2 2

由 PQ 与圆 x + y = 9 相切,

| 4b | 42 + 32

=3

解得 b =

15 4 15 km. 4

故 A、B 两人相遇在正北方离村落中心

例 3 有一种商品,A、B 两地均有售且价格相同,但某居住地的居民从 两地往回运时,每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍.已知 A、B 相距 10km,问这个居民应如何选择 A 地或 B 地购买此种商品最合算?(仅从运费 的多少来考虑) 【解析】以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的中点为原点建立直角坐标系. |AB| = 10,所以 A(–5,0),B(5,0) 设 P(x,y)是区域分界线上的任一点,并设从 B 地运往 P 地的单位距离运费为 a,即从 B 地运往 P 地的运费为|PB|·a,则运住 A 地的运费|PA|·3a , 当运费相等时,就是|PB|·a = 3a·|PA| 即 3 ( x + 5) + y =
2 2

( x ? 5) 2 + y 2


整理得 ( x +

25 2 15 ) + y 2 = ( )2 4 4

所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在 A 或 B 地购买,在圆内的居民应选择在 A 地购买,在圆外的居民应选择在 B 地购买.

用心

爱心

专心

6


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