《曲线和方程》教学设计论文

《曲线和方程》教学设计 【教学目标】 知识目标:1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系; 2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念;3、强化数 形结合的思想方法。 能力目标:在形成曲线和方程的概念的教学中,学生经历观察、 分析、讨论等数学活动过程,探索出结论,并能有条理的阐述自己 的观点; 情感目标:通过反例辨析和问题解决,培养学生合作交流、独立 思考等良好的个性品质,以及勇于批判、敢于创新的科学精神。 【教学重点】 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念 【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线,方程是曲线 的方程 【教学方法】问题引导式教学 【教学过程】 一、问题设计,探究课题 在本章开始时,我们研究过直线的各种方程,讨论了直线和二元 一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系. 教师提出问题 1: “直线的方程”是什么?二元一次方程与直线的 对应关系是什么? 生:直线的方程是关于 x,y 的二元一次方程。二元一次方程与直 线的对应关系:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一个 二元一次方程表示,同时任何一个二元一次方程也表示着一条直 线。 问题 2: “圆的方程”是什么?此方程与圆的对应关系是什么? 生:圆的方程是:x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2-4f>0)它是关于 x,y 的二元二次方程。此方程表示一个圆。 问题 3: (1)画出方程 x-y=0 表示的直线,分析直线上的点的坐标 与方程的解的关系。 (2)写出以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程,分析圆上的 点的坐标与方程的解的关系。 让学生深刻体会如下结论: 1、直线(或圆)上的点的坐标都是方程的解; 2、以这个方程的解为坐标的点都在直线(或圆)上。 即:直线(或圆)上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了 一一对应关系。 问题 4:任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢? 也即:方程 f(x,y)=0 的解与曲线 c 上的点的坐标具备怎样的 关系就能用方程 f(x,y)=0 表示曲线 c,同时曲线 c 也表示着方 程 f(x,y)=0?为什么要具备这些条件? 师:以上问题就是本节课的内容:曲线和方程(板书课题) 。 学生讨论。 师:刚才的讨论中,有的同学提到了应具备关系: “曲线上的点的 坐标都是方程的解” ;有的同学提到了应具备关系: “以这个方程的 解为坐标的点都是曲线上的点” ;还有的同学虽用了不同的提法, 但意思不外乎这两个。 问题是上述的两种提法一样吗?它们反映的是不是同一事实?有 何区别?为了弄清这些问题,我们来研究下列问题: 问题 5:用下列方程表示如图所示的曲线 c,对吗?为什么? 让学生回答问题,并加以纠正和总结 师:方程⑴、⑵、⑶都不是曲线 c 的方程。第⑴题中曲线 c 上的 点不全是方程 的解;例如点 a(-2,-2) 、b( , )等即不符合“曲 线上点的坐标都是方程的解”这一结论。第⑵题中,尽管“曲线上 点的坐标都是方程的解” ,但是以方程 x2-y2=0 的解为坐标的点却 不全在曲线上;例如 d(2,-2) 、e( , )等不符合“以这个方程 的解为坐标的点都在曲线上”这一结论。第⑶题中既有以方程 |x|-y=0 的解为坐标的点,如 g(-3,3) 、h( , )等都不在曲线 上,又有曲线 c 上的点,如 m(-3,-3) 、n(-1,-1)等的坐标不 是方程|x|-y=0 的解。事实上,⑴、⑵、⑶中各方程所表示的曲线 应该是如图所示的 3 种情况。 师:以上我们观察分析了问题 3、5,发现“问题 3”中的问题完 整地用方程表示曲线,用曲线表示方程;而“问题 5”中的问题不 能完整地用方程表示曲线,用曲线表示方程。如果我们把完整地用 方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲 线”的话,那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义 了。 问题 6:从充要条件的角度看,仅关系⑴或⑵是“曲线的方程”和 “方程的曲线”的什么条件, 怎样才能使得它们成为“曲线的方程” 和“方程的曲线”的充要条件呢? 生:仅关系⑴或⑵是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条 件,只有两者都满足了才是充要条件。 二、问题解决,巩固课题 问题 7: 下列各题中, 如图所示的曲线 c 的方程为所列方程, 对吗? 如果不对,是不符合关系⑴还是关系⑵? 学生回答:⑴错。不符合定义中的关系⑵,即 c f 但 f c。⑵错。 不符合定义中的关系⑴,即 f c 但 c f。⑶错。不符合定义中的关 系⑴和⑵,即 c f 且 f c。 问题 8: (教师启发学生共同完成如下证明)证明与两条坐标轴的 距离之积是常数 k(k>0)的点的轨迹方程是 xy=±k。 师:请同学思考,证明应从何着手? 生:应从以下两方面: (1)轨迹上的点的坐标都满足方程:xy=± k; (2)以方程 xy=±k 的解为坐标的点都在圆上。 师: (1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全 体元素,怎样解决全体问题? 师: (学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明 中常用的方法。 (请同学们完成证明过程,同桌间交流,参照课本 证明纠正错误,完善证题过程,加强证明题的严密性。 ) 三、小结 本节课我们通过实例的研究,掌握了“曲线的方程”和“方程的 曲线”的定义,在领会定义时,要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可, 它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件,两者都满 足了, “曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。 曲线和方程之间一一对应关系的确立,进一步把“曲线”与“方 程”统一了起来,在此基础上,我们就可以更多地用代数的方法研 究几何问题。 四、作业 1、教材 37 页,练习题 1、2 题。 2、思考题:如果两条曲线的方程 f1(x,y)=0 和 f2(x,y)=0 的交点为 m(x0,y0) ,求证:方程 f1(x,y)+λ f2(x,y)=0 表 示的曲线也经过点

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