【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习第七章立体几何课时规范训练7-6

课时规范训练
[A 级 基础演练] ) 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置 在( A.y 轴上 C.xOz 平面上

B.xOy 平面上 D.yOz 平面上

解析:由点的坐标的特征可得该点在 xOz 平面上. 答案:C 2.(2016· 孝感模拟)在坐标平面 xOy 上,到点 A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的 点有( ) B.2 个 D.无数个

A.1 个 C.不存在

解析:在坐标平面 xOy 内,可设点 P(x,y,0), 由题意得 ?x-3?2+?y-2?2+25 = ?x-3?2+?y-5?2+1, 1 解得 y=-2,x∈R.所以符合条件的点有无数个. 答案:D 3. (2016· 襄州模拟)正方体不在同一表面上的两个顶点为 A(-1,2, -1), B(3, -2,3),则正方体的体积为( A.8 C.64 解析:设正方体的棱长为 a, 根据条件则有 3a= 42+?-4?2+42,解得 a=4, 所以体积为 43=64. 答案:C 4.在空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点为 A(3,-1,2), 其中心为 M(0,1,2),则该正方体的棱长为________. 解析:∵A(3,-1,2),中心 M(0,1,2), ) B.27 D.128

∴C1(-3,3,2). ∴|AC1|=2 13, ∴棱长 a= 2 13 2 39 = 3 . 3

2 39 答案: 3 5.点 A(10,4,-2)关于点 M(0,3,-5)对称的点的坐标是________. 解析:设所求点为 P(x,y,z),则 M 是 AP 的中点.

? ? 4+y 即?3= 2 , -2+z ? ?-5= 2 ,
10+x 0= 2 , ∴P(-10,2,-8). 答案:(-10,2,-8)

?x=-10, 即?y=2, ?z=-8.

6. 在 z 轴上与点 A(-4,1,7)和点 B(3,5, -2)等距离的点 C 的坐标为________. 解析:设点 C 的坐标为(0,0,z),由条件得|AC|=|BC|, 即 ?-4-0?2+?1-0?2+?7-z?2 14 = ?3-0?2+?5-0?2+?-2-z?2,解得 z= 9 . 14? ? 答案:?0,0, 9 ? ? ? 7. 设正四棱锥 S-P1P2P3P4 的所有棱长均为 a,建立适当的坐标系,求点 S、 P1、P2、P3 和 P4 的空间坐标.

解:以正四棱锥 S-P1P2P3P4 的高为 z 轴,以平行于底面相邻两边的直线为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系如图所示,其中原点 O 为底面正方形的中心, P1P2⊥Oy 轴,P1P4⊥Ox 轴,SO 在 Oz 轴上,

∵d(P1,P2)=a,而 P1、P2、P3、P4 均在 xOy 平面上. ?a a ? ? a a ? ∴P1?2,2,0?,P2?-2,2,0?. ? ? ? ? P3 与 P1 关于原点 O 对称,P4 与 P2 关于原点 O 对称. a ? a ? ? a ?a ∴P3?-2,-2,0?,P4?2,-2,0?. ? ? ? ? 2 又∵|OP1|= 2 a. ∴在 Rt△SOP1 中,|SO|= a2 2 ? 2 ? a2- 2 = 2 a.∴S?0,0, a?. 2 ? ?

8.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,AB=AC=AA1=2,M 为 BC1 的中点,N 为 A1B1 的中点,求|MN|.

解:如图,以 A 为原点,AB,AC,AA1 为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴建立空 间直角坐标系, 则 B(2,0,0),C1(0,2,2),A1(0,0,2), B1(2,0,2),∴N(1,0,2),M(1,1,1), ∴|MN|= ?1-1?2+?0-1?2+?2-1?2= 2. [B 级 能力突破]

1.在空间直角坐标系中,点 P(1, 2, 3),过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ, 则 Q 的坐标为( ) B.(0, 2, 3) D.(1, 2,0)

A.(0, 2,0) C.(1,0, 3)

解析:由于点 Q 在 xOy 内,故其竖坐标为 0,又 PQ⊥xOy 平面,故点 Q 的 横坐标、纵坐标分别与点 P 相同,从而点 Q 的坐标为(1, 2,0). 答案:D

2.以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,AD,AA1 所在的直线为 坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形 AA1B1B 的对角线交点的坐 标为( ) 1? ?1 B.?2,0,2? ? ? ?1 1 1? D.?2,2,2? ? ?

1 1? ? A.?0,2,2? ? ? ?1 1 ? C.?2,2,0? ? ?

解析:由题知所求点即为 AB1 的中点,由于 A(0,0,0),B1(1,0,1),所以 AB1 1? ?1 的中点坐标为?2,0,2?. ? ? 答案:B 3.到点 A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点 C(x,y,z)的坐标满足 ( ) A.x+y+z=-1 C.x+y+z=4 B.x+y+z=1 D.x+y+z=0

→ → 解析:到点 A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点 C 应满足|CA|2=|CB |2,即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化简得 x+y+z=0. 答案:D 4. (2016· 武汉模拟)如图, 已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AA1=2, BC=3,M 为 AC1 与 CA1 的交点,则 M 点的坐标为________.

解析:由题意得 M 为 AC1 的中点. 3 ? ? 又 A(0,0,0),C1(2,3,2),故 M?1,2,1?. ? ? 3 ? ? 答案:M?1,2,1? ? ? 5. 给定空间直角坐标系, 在 x 轴上找一点 P, 使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30,

则该点的坐标为________. 解析:设点 P 的坐标是(x,0,0), 由题意得,|P0P|= 30, 即 ?x-4?2+12+22= 30, ∴(x-4)2=25,解得 x=9 或 x=-1. ∴点 P 坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). 答案:(9,0,0)或(-1,0,0) 6.对于任意实数 x,y,z 则 x2+y2+z2+ ?x+1?2+?y-2?2+?z-1?2的最小值为________. 解析:设 P(x,y,z),M(-1,2,1), 则 x2+y2+z2+ ?x+1?2+?y-2?2+?z-1?2 =|PO|+|PM|, 由于 x,y,z 是任意实数,即点 P 是空间任意一点, 所以|PO|+|PM|≥|OM|= 1+4+1= 6, 即所求代数式的最小值为 6. 答案: 6 7.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),试问: (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|? (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 坐标. 解:(1)假设在 y 轴上存在点 M,满足|MA|=|MB|. 因 M 在 y 轴上,可设 M(0,y,0), 由|MA|=|MB|,可得 32+y2+12= 12+y2+32, 显然,此式对任意 y∈R 恒成立. 这就是说 y 轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|. (2)假设在 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形. 由(1)可知, y 轴上任一点都有|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得△ MAB 是等边三角形. 因为|MA|= ?3-0?2+?0-y?2+?1-0?2= 10+y2,

|AB|= ?1-3?2+?0-0?2+?-3-1?2= 20, 于是 10+y2= 20,解得 y=± 10. 故 y 轴上存在点 M 使△MAB 为等边三角形, M 坐标为(0, 10,0)或(0,- 10,0).


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