江苏省2014高考压轴卷数学Word版含答案

江苏省 2014 高考压轴卷 数 学
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含[填空题(第 1 题~第 14 题,共 70 分) 、解答题(第 15~20 题,共 90 分) 。本次考试时间 120 分钟,满分 160 分、考试结束后,请将答题卡交回。理科学生完成加试, 考试时间 30 分钟。 2.答题前,请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题 卡上相应的位置,并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。 3.答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作图,并请加黑加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答 题卡相应位置上. 1.设全集 U=R,A= ?1,2,3,4,5? ,B={ x∈R︱x 2+ x-6=0},则下图中阴 影表示的集合为 2. 若 x ? x
1 2 ? 1 2
3


? 3 2

.

? 3, 则 x 2 ? x

?



.

2 3. 设函数 f ( x) ? x ? ln x ,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ax ? b ,则

a?b ?



. ▲ .

4.已知 a=log0.55,b=log0.53,c=log32,d=20.3,则 a,b,c,d 依小到大排列为
x ?1 ? x?2 ? 2e ? 1, 5.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? ?log 3 ? x ? 1? , x ? 2

,则 f ? f ? 2? ? ?



.

6.函数 f(x)=

x2 ? 4 的定义域为 log 2 ( x ? 1)



.

7.设定义在 R 上的函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,若 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 2 x ,则

f (log2

8.函数 f ( x) ? x e 在区间 ? a, a ? 1? 上存在极值点,则实数 a 的取值范围为
2 x

1 )? 48



. ▲ .

9.已知命题 p: A ? {x || x ? a |? 4} ,命题 q: B ? {x | ( x ? 2)(3 ? x) ? 0} ,若 ? p 是 ? q 的充分条件,

则 a 的取值范围为



. ▲ ▲ . .

10.已知函数 f ( x) ? x3 ? x x ,若 f ( x2 ? 2) ? f (3x) ? 0 ,则实数 x 的取值范围是 11.若函数 f ( x) ? mx 2 ? ln x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是

12.对于 R 上可导的非常数函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ' ( x) ? 0 ,则 f (0) ? f (2)与2 f (1) 的大小关 系为 ▲ . ▲ .

13.下列四个命题中,所有真命题的序号是 ① ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) xm
2

?4 m?3

是幂函数;

②若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,则函数 f ( x ) 周期为 2; ③如果 a ? 0且a ? 1,那么 loga f ( x) ? loga g ( x) 的充要条件是 a f ( x) ? a g ( x) ; ④命题“ ?x ? R, 都有x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 使得x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”.

1 1 14.已知函数 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ), 当 x ?[1,3], f ( x) ? ln x , 若在区间[ ,3] 内, 函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 3 x
有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

二.解答题: 本大题共 6 小题.共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)
2x ? 1 ? ? , x ? 0, 且x ? 1? , 设集合 A ? ? y | y ? x ?1 ? ?
2 2 集合 B ? x | y ? lg ? ? x ? (2a ? 1) x ? a ? a ? ?,a?R .

?

?

(1)求集合 A, B ; (2)若 A
B ? R ,求实数 a 的取值范围

16.(本小题满分 14 分)
2 设命题 p :存在 x ? R ,使关于 x 的不等式 x ? 2 x ? m ? 0 成立;命题 q :关于 x 的方程

(4 ? m) ? 3x ? 9x ? 4 有解;若命题 p 与 q 有且只有一个为真命题,求实数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分)

1 ? ax ? x 为奇函数, a 为常数. x ?1 (1)求 a 的值;
设 f ( x) ? log2 (2)判断并证明函数 f ( x) 在 x ? (1,??) 时的单调性; (3)若对于区间 ? 2,3? 上的每一个 x 值,不等式 f ? x ? ? 2x ? m 恒成立,求实数 m 取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 某国庆纪念品,每件成本为 30 元,每卖出一件产品需向税务部门上缴 a 元(a 为常数,4≤a≤6)的 税收.设每件产品的售价为 x 元,根据市场调查,当 35≤x≤40 时日销售量与 ? ? (e 为自然对数 的底数)成正比.当 40≤x≤50 时日销售量与 x2 成反比,已知每件产品的售价为 40 元时,日销售量 为 10 件.记该商品的日利润为 L(x)元. (1)求 L(x)关于 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价 x 为多少元时,才能使 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值.

?1? ?e?

x

19. (本小题满分 16 分)

已 知 命 题 p :“ 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 点 P( a、b) 成 中 心 对 称 图 形 ” 的 充 要 条 件 为 “ 函 数 y ? f ( x ? a ) ? b 是奇函数”. (1)试判断命题 p 的真假?并说明理由; (2)设函数 g ( x) ? x3 ? 3x2 ,求函数 g ( x) 图像对称中心的坐标; (3)试判断“存在实数 a 和 b,使得函数 y ? f ( x ? a) ? b 是偶函数”是“函数 y ? f ( x) 的图像关 于某直线成轴对称图像”成立的什么条件?请说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ?
? ,a?R . x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? 2a 成立,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 0 时,设 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,试比较 f (

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 的大小并说明理由. )与 2 2

数学加试试卷
解答题(共 4 小题,每小题 10 分共 40 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 21. 求下列函数 y ? sin ( 2 x ?
2

?
3

) 的导数.

22. 将水注入锥形容器中,其速度为 4m / min ,设锥形容器的高为 8m ,顶口直径为 6 m ,求当水深 为 5 m 时,水面上升的速度.

3

23. 证明下列命题: (1)若函数 f(x)可导且为周期函数,则 f'(x)也为周期函数; (2)可导的奇函数的导函数是偶函数.

24. 已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

?1,0?

1 3 1 2 x ? x ? mx ? n ,直线 l 与函数 f ? x ? , g ? x ? 的图象都相切于点 3 2

(1)求直线 l 的方程及 g ( x) 的解析式; (2)若 h ? x ? ? f ? x ? ? g ' ? x ? (其中 g ' ? x ? 是 g ? x ? 的导函数) ,求函数 h ? x ? 的值域.

高三数学(加试)

第 1 页(共 1 页)

参考答案
一.填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接 填写在答题卡相应位置上 1. ?2? 2.18 3.1 4. a<b<c<d 5. 1 6.

?x x ? 2?

7.

4 8. (?3, ?2) ? (?1,0) 3


9. ?1 ? a ? 6 10. (?2, ?1) 11. m ? 0 12.

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

? ) 13. ①

14.

[

ln 3 1 , ) 3 e

二.解答题: 本大题共 6 小题.共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1)A=

?x | x ? ?1或x ? 2?
B=

??????????????????????5 分

?x | x ? a或x ? a ?1?
(2)由 A

??????????????????????8 分

B ? R 得, a ? 1 ? ?1 或
????????????????12 分

a?2


a ? ?2



a?2

,





a ??
16.

,


?? ?


2 ??
由 命

???????????? 14 2 ? , ? ?分 题

p







? ? 4 ? 4m ? 0





m ? ?1
x x

????????????4 分

由 (4 ? m) ? 3 ? 9 ? 4 得 m ? 4 ? ? 3 ?
x

? ?

4? ??0 3x ?
q
为 真 时 ,









m?0

????????????8 分

若命题 p 为真,命题 q 为假,则 m ? ?1 且 m ? 0 得 m ? 0 若命题 p 为假, 命题 q 为真, 则 m ? ?1 且 m ? 0 得 m ? ?1 12 分 所 ?????????







m













(??, ?1) (0, ??)

???????????????14 分

17. 解: (1)由条件得: f (? x) ? f ( x) ? 0 ,? log 2

1 ? ax 1 ? ax ? log 2 ?0, ?x ?1 x ?1

2

化简得 (a 2 ? 1) x 2 ? 0 , 因此 a 2 ? 1 ? 0, a ? ?1 , 但 a ? 1 不符合题意, 因此 a ? ?1 . ??????

4分 (也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称,得出结果,同样给分) (2)判断函数 f ( x) 在 x ? (1,??) 上为单调减函数; 证明如下:设 1 ? x1 ? x2 ? ??

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 2

x1 ? 1 x ?1 x ?1 x ?1 ? x1 ? log 2 2 ? x2 ? log 2 1 ? 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

1 ? x1 ? x2 ? ??

? x2 ? x1 ? 0 , x1 ?1 ?0 ,x2 ? 1 ? 0

( x1 ? 1)( x2 ?1) ? ( x1 ?1)( x2 ? 1) ? x1x2 ? x1 ? x2 ?1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 1 ? ? 2 ( x2 ? x) 0 1 ?


( x1 ? 1)( x2 ?1) ? 0,( x1 ?1)( x2 ?1) ? 0

?

x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 1 x2 ? 1 , log 2 1 ? ? ? 0 ,又 x2 ? x1 ? 0 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 函数 f ( x) 在 x ? (1,??) 上为单调减函数;
( 分) 也 可 以 利 用 导 数 证 明 ??????????????????9 分
x









(3)不等式为 m ? f ( x) ? 2 恒成立,? m ? [ f ( x) ? 2x ]min

? f ( x) 在 x ?[2,3] 上单调递减, 2 x 在 x ?[2,3] 上单调递增,

? f ( x) ? 2x 在 x ? [2,3] 上单调递减,


x?3















?10



? m ? (??, ?10) 。

????????????14 分

18. 解: (1)当 35≤x≤40 时,由题意日销售量为 k1 ? ?

?1? ?e?

x

3

售 价 为

40

元 时 , 日 销 售 量 为

10

件 , 故 k1 ? ?

?1? ?e?

40

=10 ,

k1 = 10e40

??????3 分 当 40≤x≤50 时,由题意日销售量为 售 价 为 40

k2 x2
10 件 , 故

元 时 , 日 销 售 量 为

k2 =10 , 1600

k2 ? 16000

??????6 分 以 该 商 品 的 日 利 润



? 10e40 ( x ? 30 ? a) x ? ? e L( x) ? ? 16000 ?( x ? 30 ? a) ? x2 ?

35 ? x ? 40

??????8 分
40 ? x ? 50

(2)当 35≤x≤40 时, L( x) ? ( x ? 30 ? a)

10e40 ex

31 ? a ? x ,4≤a≤6, 35 ? 31 ? a ? 37 , ex 因为 35≤x≤40,令 L?( x) ? 0 得 x ? a ? 31 当 35 ? x ? a ? 31 时 L?( x) ? 0 当 a ? 31 ? x ? 40 时 L?( x) ? 0 L?( x) ? 10e40

Lmax ( x) ? L(a ? 31) ? 10e9 ? a

?????????????????????11 分

当 40 ? x ? 50 时, L( x) ? ( x ? 30 ? a) 显然 L( x) 在 40 ? x ? 50 时 L?( x) ?

16000 x2

16000( x2 ? ( x ? 30 ? a)2x) x4

16000(? x2 ? (60 ? 2a) x) x4 16000(60 ? 2a ? x) ? ?0 x3 所以 L( x) 在 40 ? x ? 50 时为增函数 ?

Lmax ( x) ? L(50)
40 ? x ? 50



????????????????????13 分

又 L(a ? 31) ? 10e9?a ? 10e3

L(50) ?

32 32 ?16 (20 ? a) ? 5 5
????????????????????15 分

故 L(a ? 31) ? L(50)

4

于是每件产品的售价 x 为 a ? 31 时才能使 L (x)最大,L (x)的最大值为 10e9 ? a ??? 16 分 19. 解: (1)命题 p 为真命题; 充分性:若 y ? f ( x ? a) ? b 为奇函数,则 f (a ? x) ? b ? ? f (a ? x) ? b 即 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 设 M ( x, y ) 为 f ( x) 图像上任一点,则 M 关于 (a, b) 的对称点为 N (2a ? x, 2b ? y ) f (2a ? x) ? f (a ? (a ? x)) ? 2b ? f (a ? (a ? x))
? N 在 y ? f ( x) 图像上,即 f ( x) 的图像上,即 f ( x) 的图像关于 (a, b) 对称

必要性:若 y ? f ( x) 的图像关于 (a, b) 设 M ( x, y ) 为 f ( x) 图像上任一点,则由上知: f (2a ? x) ? 2b ? f ( x) 令 x 取 x ? a ,则 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 即 f ( ? x ? a ) ? b ? ? f (a ? x ) ? b ? y ? f ( x ? a) ? b 为奇函数 综 真 上 命 题 为 ????????????????5 分

(2)设函数 f ( x) ? g ( x ? a) ? b 为奇函数, 则 f ( x) ? ( x ? a)3 ? 3( x ? a)2 ? b

? x3 ? (3a ? 3) x2 ? (3a2 ? 6a) x ? a3 ? 3a2 ? b
∵ f ( x) ? g ( x ? a) ? b 为奇函数,则 ?

3a ? 3 ? 0 ? a ?1 ,即 ? 2 ?a ? 3a ? b ? 0 ?b ? ?2 ?
3

3 2 由 命 题 p 为 真 命 题 , 则 函 数 g ( x) ? x ? 3x 的 图 像 对 称 中 心 为

(1, ?2)

?????10 分

(3) ⅰ.当 l : x ? a 时 “存在实数 a 和 b , 使得函数 y ? f ( x ? a) ? b 是偶函数” 是 “函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 l 成轴对称图形”的充要条件; (证明方法参考(1) ) ⅱ. 当 l 不为 x ? a 时“存在实数 a 和 b ,使得函数 y ? f ( x ? a) ? b 是偶函数”是“函数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 l 成 轴 对 称 图 形 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ?????????????16 分 20. 函数 f ( x) 的定义域为 (0. ? ?) Ⅰ ) 由 题 意
x?0



f ?( x) ?

a 1 ? x x2

??????????????????2 分

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 a

1 所以 f ( x) 的递减区间 (0, ) a
由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 a
5

? f ( x)













1 ??????????????????4 分 ( , ??) a (2)当 a ? 0 时
由于 x ? 0 ,? f ?( x) ?
(0, ??)

a 1 ? ? 0 恒成立 x x2 ? f ( x) 的 递 减 区 ??????????????????6 分
对 任 意 正 实 数





Ⅱ 立



x









2a ? a ln x ?

1 x





?????????????7 分 因为 a ? 0 由Ⅰ可知 当x?

1 1 时,函数 f ( x) ? a ln x ? 有最小值 a x

1 1 f ( ) ? a ln ? a ? a ? a ln a a a
所以 2a ? f min ( x) ? a ? a ln a 解之得: 0 ? a ? 故
? 1? ? 0, ? ? e?

??????????????????9 分



1 e 求





a













??????????????????11 分
f( x1 ? x2 x ? x2 2 ) ? a ln 1 ? 2 2 x1 ? x2

Ⅲ)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? a ln x1 x2 ? 1 2 2 x1 x2

?f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ( x1 ? x2 )2 )? ? a ln 1 2 ? 2 2 2 x1 x2 2 x1 x2 ( x1 ? x2 )

?????????12 分



1









x1 ? x2





f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

?????????13 分

(2)当 x1 ? x2 时,因为 x1 ? 0, x2 ? 0 且 a ? 0

x1 ? x2 ? 2 x1 x2
? x1 ? x2 2 x1 x2 ?1 ? a ln x1 ? x2 2 x1 x2 ?0

6

又?

( x1 ? x2 )2 ?0 2 x1 x2 ( x1 ? x2 )

?f( ?f(
15 分

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ?0 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2
x1 ? x2

?????????

综上:当 x1 ? x2 时 f ( 当



f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

????????????16 分

数学(加试)参考答案
21. 解:法一:

y ' ? 2sin(2 x ? ) ? [sin(2 x ? )]' ? 2sin(2 x ? ) cos(2 x ? ) ? (2 x ? ) ' 3 3 3 3 3 2? ? 2sin(4 x ? ) ???????????????? 3
??10 分 法 二 :

?

?

?

?

?

y ?s

2

x?

?
3

?

1?

x? 2

2? 3

c i??????????????5 分 n

o

? y ' ? 2sin(4 x ?

2? ) ??????????????????10 分 3 22.解:设注入水 t min 后,水深为 hm ,由相似三角形对应边成比例可 3 得水面直径为 hm , 4
这 时 水 的 体 积 为

1 3 3? 3 V ? ? ( h) 2 ? h ? h 3 8 64

????????????4 分

由于水面高度 h 随时间 t 而变化,因而 h 是 t 的函数 h ? h(t ) 由此可得水的体积关于时间 t 的导数为 Vt? ? Vh? ? ht? ? (
3 由假设,注水速度为 4m / min , 4t ?

3? 3 h 64

3? 3 9? 2 h )? ? ht? ? h ? ht? 64 64 9? 2 ?4 ? h ? ht ' 64

7

所以当 h ? 5 时, ht ' ? 当 水 深 为

256 m / min , 225? 5m 时 ,















256 ????????????10 分 m / min 。 225? 法(2)设 t 时刻水面的高度为 h m 1 3 则 ? ( h)2 h ? 4t 3 8
h(t ) ? 256t

3

?
256 1

?????????????????4 分

h?(t ) ? 3

?

3t

2 3

?????????????????6 分
256t

由 h(t ) ?

3

?

?5

t?

375 ? 256

?????????????????8 分

375 256 ?????????????????10 分 ?) ? m / min 256 225? 23.证明:(1)设 f(x)的周期为 T,则 f(x)=f(x+T). ∴f'(x)=[f(x+T) ]'= f'(x+T)· (x+T)' = f' (x+T) ,即 f' (x) 为周期函数且周期与 ( f x) 的周期相同. ???? 5分 (2)∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴[f(-x) ]'=[-f(x) ]'. ∴f'(-x)· (-x)'=-f'(x). ∴f' (-x) = f' (x) ,即 f' (x) 为偶函数 ?????????????? 10 分 ? h?(
24.解: (1)直线 l 是函数 f ? x ? ? ln x 在点 ?1,0 ? 处的切线,故其斜率 k ? f ' ?1? ? 1 , 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1. 又因为直线 l 与 g ? x ? 的图象相切,所以 g ? x ? ?

1 3 1 2 x ? x ? mx ? n 在点 3 2

?1, 0? 的导函数值为 1.


?m ? ?1 ? ? g ?1? ? 0 ? ?? 1 ? n? g ' 1 ? 1 ? ? ? ? ? 6 ?

8

g ? x? ?
5分 (2)

1 3 1 2 1 x ? x ?x? 3 2 6
( x ? 1)( x ? c) , x

??????????????

h?(1) ? 0 ? b ? c ? 1 ? 0 ,故 h '( x) ?

若 c ? 0 ,则 f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增

1 而当 x ? 0 时 h( x) ? ?? ,当 x ? ?? 时 h( x) ? c(ln x ? x) ? x2 ? x ? ?? 2 h( x) ? 0 恰有一解
? h(1) ? 0 即 c ? ?

1 2

1 2 x ? (c ? 1) x 2 令 h( x ) ? 0 得 x ? 0 (舍)或 x ? 2(c ? 1) ? 2 ,符合题意
当 c ? 0 时 h( x) ? 若 0 ? c ? 1 ,则 h极大 ( x) ? h(c) ? c ln c ?

1 1 2 c ? bc , h极小 ( x) ? h(1) ? ? b 2 2

c2 c2 ? c(?1 ? c) ? c ln c ? c ? ? 0 因为 b ? ?1 ? c ,则 h极大 ( x) ? c ln c ? 2 2
1 h极小 ( x) ? ? ? c , 2
0 ? c ? 1? h(c) ? 0, h(1) ? 0

又 x ? 0 时 h( x) ? ?? ,当 x ? ?? 时 h( x) ? ?? 从而 h( x) ? 0 恰有一解; 若 c ? 1 ,则 h极小 ( x) ? c ln c ?

c2 c2 ? c(?1 ? c) ? c ln c ? c ? ? h(1) ? 0 2 2

1 h极大 ( x) ? h(1) ? ? ? c ? 0 , 2
1 当 x ? ?? 时 h( x) ? c ln x ? x2 ? bx ? ?? 2
所以从而 h( x) ? 0 恰有一解









c









0?c

或 ?1 或c

1 ? ? .? 1 c ????????????? 10 分 2

9


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