数学必修4教学案:2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教、学案)


2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
一、教学内容分析 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算, 也叫向量的初等运算, 是进一 步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。 实数与向量的积的结果是向量, 要按大小 和方向这两个要素去理解。 向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的, 定理为 解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。 特别: 向量的平行要与平面中直线的平 行区别开。 二、教学目标设计 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算; 2.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了 解事物运动变化的辩证思想。 三、教学重点与难点

重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量平行的充要条件; 难点:理解实数与向量的积的定义,向量平行的充要条件。 四、教学用具准备

多媒体、实物投影仪 五、教学流程设计

情境设置 向量平 行的充 要条件 数乘向 量的运 算律

引入定义

六、教学过程设计

运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)

1.设置情境: 引入:位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数 量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系 F = m a ,位移与速度的关系

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? ? s = v t 。这些公式都是实数与向量间的关系。
师: 我们已经学习了向量的加法, 请同学们作出 a + a + a 和 (- a) + (- a) + (- a) 向量, 并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关? 生: + a + a 的长度是 a 的长度的 3 倍, 其方向与 a 的方向相同, - a) + (- a) + (- a) ( a 的长度是 a 长度的 3 倍,其方向与 a 的方向相反。 师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题, (板书课题:实数与向量的乘 积) 2.探索研究 1)定义: 请大家根据上述问题并作一下类比, 看看怎样定义实数与向量的积? (可结合教材思考) 可根据小学算术中 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 5 的解释,类比规定:实数 λ 与向量 a 的积就 是 λa ,它还是一个向量,但要对实数 λ 与向量 a 相乘的含义作一番解释才行。 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa . 它的长度和方向规定如下: (1) | λa |= | λ || a | . (2) λ > 0 时, λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ < 0 时, λa 的方向与 a 的方向相反; 特别地,当 λ = 0 或 a = 0 时, λa = 0 . 2)运算律: 问:求作向量 2(3a ) 和 6a( a 为非零向量)并进行比较,向量 2(a + b) 与向量 2a + 2b 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较) 生: 2(3a) = 6 a , 2a + 2b = 2(a + b) . 师:设 a 、 b 为任意向量, λ 、 μ 为任意实数,则有: (1) ( λ + μ)a = λa + μa ; (2) λ( μa) = ( λμa) ; (3) λ(a + b) = λa + λb .

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通常将(2)称为结合律, (3)称为分配律。 (1) 小练习 1: 计算: (1) (- 3) 4a ;

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(2) 3(a + b) - 2(a - b) - a ;

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(3) (2a + 3b - c) - (3a - 2b + c) . 3)向量平行的充要条件: 请同学们观察 a = m - n , b = - 2m + 2n ,回答 a 、 b 有何关系? 生:因为 b = - 2a ,所以 a 、 b 是平行向量. 引导:若 a 、 b 是平行向量,能否得出 b = λa ?为什么?可得出 a = λb 吗?为什么? 生:可以!因为 a 、 b 平行,它们的方向相同或相反. 师:由此可得向量平行的充要条件:向量 b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一 个实数 λ ,使得 b = λa . 对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = λa ,则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平 行,即 b 与 a 平行.

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? ? ? ? ? ? ? |b| 其二,若 b 与 a 平行,且不妨令 a ? 0 ,设 ? = μ (这是实数概念) .接下来看 a 、 b |a|
方向如何:① a 、 b 同向,则 b = μa ,②若 a 、 b 反向,则记 b = - μa ,总而言之,存在 实数 λ ( λ = μ 或 λ = - μ )使 b = λa . 小练习 2:如图:已知 AD = 3 AB , DE = 3BC ,试判断 AC 与 AE 是否平行. 解:∵ AE = AD + DE = 3 AB + 3BC = 3( AB + BC ) = 3 AC ∴ AE 与 AC 平行. 4)单位向量: 单位向量:模为 1 的向量. 向量 a ( a ? 0 )的单位向量:与 a 同方向的单位向量,记作 a0 .

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1 ? a) |a|
A

题 1:如图,在 ΔABC 中, D 是 AB 的中点, E 是 BC 延长线上的点,且 BE = 2 BC ,是根据下列要求表示向量
D

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B

? ??? ??? ? ? ??? ??? ? (1) 用 BA 、 BC 表示; (2)用 CA 、 CB 表示.

C

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题1

题 2:如图,在 ΔABC 中,已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点,用向量方法证明:

1 MN // BC 2
A
C1

N M
C B B1

C B

O

题 2

A

题 3

A1

OB = kOB1 , = kOC1 , OC 题 3: 如图, 已知 OA = kOA1 , 求证: ΔABC ∽ ΔA1 B1C1
练习: P145 1、2、3、4 4.课堂小结: (1) λ 与 a 的积还是向量, λa 与 a 是共线的; (2)向量平行的充要条件的内容和证明思路,也是应用该结论解决问题的思路。该结 论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 5.作业布置: 练习部分 P88-89 习题 3 A 组 2、3、4、5. P89 习题 3 B 组 2、3. 6.拓展思考题: 设 a 、 b 是两个不共线向量,已知 AB = 2a + mb , CB = a + 3b ,若 A 、 B 、 C 三点共线,求 m 的值。

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七、教学建议与说明 1.从实际问题出发引入新课,不但展示了教学的主要内容,而且还激发了学生学习兴 趣。如可以通过物理中力与加速度的关系 F = m a ,位移与速度的关系 s = v t 等实际问题 引入实数与向量的积。 2.实数与向量的三个运算律,为了降低难度课本上没有证明,可以结合图形给学生直 观解释,程度好的学生可以适当指导给出证明,证明的关键是向量的两要素:方向和大小。 3.由于学生已理解平行向量,因此可以让学生观察平行向量间的关系,可以提示从方 向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到 的。给学生说明定理的作用,通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行,要指出与平 面中直线间的平行的区别。

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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课前预习学案 预习目标: 通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系,引入向量与数量之间的乘法运算, 同时也为该运算赋予其物理意义。 预习内容: 引入:位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数 量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系 F = m a ,位移与速度的关系

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? ? s = v t 。这些公式都是实数与向量间的关系。
师: 我们已经学习了向量的加法, 请同学们作出 a + a + a 和 (- a) + (- a) + (- a) 向量, 并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关? 生:

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师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题, (板书课题:实数与向量的乘 积) 课内探究学案 学习目标: 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算; 2.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了 解事物运动变化的辩证思想。 学习过程: 1、探索研究 1)定义:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?(可结 合教材思考)

可根据小学算术中 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 5 的解释,类比规定:实数 λ 与向量 a 的积就 是 λa ,它还是一个向量,但要对实数 λ 与向量 a 相乘的含义作一番解释才行。 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa . 它的长度和方向规定如下: (1) (2) 2)运算律: 问:求作向量 2(3a ) 和 6a( a 为非零向量)并进行比较,向量 2(a + b) 与向量 2a + 2b 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较) 生: 师:设 a 、 b 为任意向量, λ 、 μ 为任意实数,则有: (1) ( λ + μ)a = λa + μa ; (2) λ( μa) = ( λμa) ; (3) λ(a + b) = λa + λb . 通常将(2)称为结合律, (3)称为分配律。 (1) 小练习 1: 计算: (1) (- 3) 4a ; . . .

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(3) (2a + 3b - c) - (3a - 2b + c) .

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3)向量平行的充要条件: 请同学们观察 a = m - n , b = - 2m + 2n ,回答 a 、 b 有何关系? 生: .

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师:由此可得向量平行的充要条件:向量 b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一 个实数 λ ,使得 b = λa .

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对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = λa ,则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平 行,即 b 与 a 平行.

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方向如何:① a 、 b 同向,则 b = μa ,②若 a 、 b 反向,则记 b = - μa ,总而言之,存在 实数 λ ( λ = μ 或 λ = - μ )使 b = λa . 小练习 2:如图:已知 AD = 3 AB , DE = 3BC ,试判断 AC 与 AE 是否平行. 解:∵ AE = AD + DE = 3 AB + 3BC = 3( AB + BC ) = 3 AC ∴ AE 与 AC 平行.

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4)单位向量: 单位向量:模为 1 的向量. 向量 a ( a ? 0 )的单位向量:与 a 同方向的单位向量,记作 a0 . 思考: a0 如何用 a 来表示?

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2.例题与练习: 题 1:如图,在 ΔABC 中, D 是 AB 的中点, E 是 BC 延长线上的点,且 BE = 2 BC ,是根据下列要求表示向量
D

A

??? ? DE :
B

? ??? ??? ? ? ??? ??? ? (2) 用 BA 、 BC 表示; (2)用 CA 、 CB 表示.

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题1

题 2:如图,在 ΔABC 中,已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点,用向量方法证明:

1 MN // BC 2
A
C1

N M
C B B1

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题 2

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题 3

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练习:

P145 1、2、3、4

3.课堂小结: (1) λ 与 a 的积还是向量, λa 与 a 是共线的; (2)向量平行的充要条件的内容和证明思路,也是应用该结论解决问题的思路。该结 论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 4.作业布置: 练习部分 P88-89 习题 3 A 组 2、3、4、5. P89 习题 3 B 组 2、3. 5.拓展思考题: 设 a 、 b 是两个不共线向量,已知 AB = 2a + mb , CB = a + 3b ,若 A 、 B 、 C 三点共线,求 m 的值。

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