宁夏银川一中高三第六次月考数学(理)试题Word版含答案

朝花夕拾 杯中酒

银川一中 2018 届高三年级第六次月考

数学试卷(理)
命题人:
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?x | ?3 ? x ? 5? , N ? { x | x ? ?5 或 x ? 5} ,则 M ? N = A.﹛ x | x <-5,或 x >-3﹜ C.﹛ x |-3< x <5﹜ B.﹛ x |-5< x <5﹜ D.﹛ x | x <-3,或 x >5﹜

2.若复数 z 满足 z(1 ? i ) ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 z 的共轭复数 z = A. ? i B. ? 2 i C. i D. 2i

? 3.已知 ? , ? 均为锐角,p: sin? ? sin(? ? ? ) ;q: ? ? ? ? .则 p 是 q 的 2
A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

? 1 ?x 2 , x ? 0 , 则 f [ f ( ?4)] ? 4.已知函数 f ( x ) ? ? 1 ?( ) x , x ? 0 ? 2 ?
1 4 1 4

A. ?4

B. ?

C. 4

D.

5.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最 大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法 —“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除

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法”,当输入 a=6102,b=2016 时,输出的 a ? A.6 B.9 C.12 D.18

6.设 ? 表示平面, a , b 表示直线,给定下列四个命题: ① a // ? , a ? b ? b ? ? ; ③ a ? ? , a ? b ? b // ? ; 其中正确命题的是 A.①② B.①③ C.②④ D.②③④ ② a // b, a ? ? ? b ? ? ; ④ a ? ? , b ? ? ? a // b .

7 . 已 知 在 函 数 f ( x ) ? 3 sin

?x
R

图像上,相邻的一个最高点与一个最低点恰好在

x 2 ? y 2 ? R 2 上,则 f ( x ) 的最小正周期为

A.1

B.2

C.3

D. 4

8.双曲线 积为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任一点 P 到两渐近线的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 d 1 d 2 的 a 2 b2

a 2b2 A. 2 a ? b2

B.

ab a ?b
2 2

C.

a 2b2 a ?b
2 2

D.

ab a ? b2
2

9.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了 该校 100 名高三学生的视力情况,得到频率分布 直方图,如右图,由于不慎将部分数据丢失,但知 道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等 差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间 的学生数为 b,则 a, b 的值分别为 A.0.27, C.2.7, 78 78 B.0.27, 83 D.2.7, 83

10.已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b ? c
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A.有最大值
? 15 2

15 2

B.有最大值 ?

15 2

C.有最小值

15 2

D.有最小值

11.已知向量 OB =(2,0),向量 OC =(2,2),向量 CA ? ( 2 cos? , 2 sin? ) ,则向量 OA 与向量 OB 的夹角的范围为

A.[0,

? ] 4

B.[

? 5?
4 12 ,



C.[

5? ? , ] 12 2

D.[

, ] 12 12

? 5?

12.已知 c 是椭圆

x2 y2 b?c ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距,则 取最大值时椭圆的离心率是 a a 2 b2
2 3

A.

1 2

B.

C.

2 2

D.

3 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.等差数列 {a n } 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a 1 ? 1, a k ? a 4 ? 0 ,则 k ? .

? x ? y?4?0 ? x , y 14.实数 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 2 x ? y 的最小值为 ? x ? 0, y ? 0 ?



15.已知某几何体的三视图是三个等腰直角三角形 (如图),且腰长都是 1,若该几何体的所有顶 点都在一个球面上,则该球面的表面积是 .

2 16.当 x ? R 时,不等式 loga m ? cos2 x ? 2 sin x ? 2 loga m ? 5

恒成立,其中常数 0 ? a ? 1 ,则实数 m 的取值范围
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三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的首项 a1 ? 2 ,且 2a n?1 ? a n ? 1 (n ? N ? ) . (1)求证:数列 {a n ? 1} 是等比数列; (2)设 bn ? log2 (a n ? 1) ,求使不等式 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?45 成立的最小正整数 n.

18.(本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边是 a,b,c,且 a2+c2-b2=
A? C +cos2B 的值; 2 1 ac 2

(1)求 sin2

(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,正方形 A D E F 与梯形 A B C D 所在的 平面互相垂直, AD ? CD , AB ∥ CD ,

AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上. 2

(1)当点 M 为 EC 中点时,求证: BM ∥平面 ADEF ;

(2) 当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 的体积. 20.(本小题满 12 分)

6 时, 求三棱锥 M ? BDE 6

2 过抛物线 y =2px(p>0)的对称轴上的定点 M(m,0)(m>0),作直线 AB 与抛物线相交于 A、

B 两点.
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(1)证明:A、B 两点的纵坐标之积为定值; (2)若点 N 是定直线 l : x ? ?m 上的任一点,设三条直线 AN,MN,BN 的斜率分别为
k AN , k MN , k BN ,证明: k AN ? k BN ? 2k MN

21.(本小题满 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln x ? m . (1)若函数 f(x)的最小值为 0,求 m 值; (2)设 0 ? a ? b ,证明: 0 ? f (a ) ? f (b) ? 2 f (
a?b ) ? (b ? a ) ln a 2

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做则按所做的第一题记分.做答时请 写清题号。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? 3 ? 2 cos? 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin?

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A( ?2,0), B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y),求△ABM 面积的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设函数 f ( x ) ?| x ? 1 | , g( x ) ?| x ? 2 | . (1)解不等式 f ( x ) ? g( x ) ? 2 ; (2)对于实数 x, y ,若 f ( x ) ? 1, g( y ) ? 1 ,求证: | x ? 2 y ? 1 |? 5 .

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银川一中 2017-2018 高三第六次月考数学(理科)参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 C 7 D 8 A 9 A 10 B 11 D 12 C

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分)

13. 10 ; 14.

1 ; 2

15. 3?

; 16. ( a ,

1 ) a3

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 17.(Ⅰ)由 2an?1 ? an ? 1 得 a n ?1 ? 1 ?

1 (a n ? 1) 2 1 的等比数列. 2

可知数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 1 为首项,公比为

?1? ? an ? ? ? ? 2?

n ?1

? 1 (n ? N ? ) . …………………………………………(6 分)

(Ⅱ) bn ? log2 (an ? 1) ? 1 ? n .

? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ?

n ? n2 . ………………(9 分) 2

? n ? n 2 ? ?90 . 解得 n ? ?9 或 n ? 10 ,又 n ? N ? .
∴使不等式成立的最小正整数 n 为 11. 18.(本小题满分 12 分) 18.解:(1)∴a2+c2-b2=
1 ac 2

………………………………(12 分)

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∴cosB=

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? --------------------------------------------------------3 分 2ac 4

∴sin2

A?C 1 1 ? cos 2B ? [1-cos(A+C)]+[2cos2B-1]= [1+cosB]+[2cos2B-1] 2 2 2 1 1 1 1 [1+ ]+[2× ? 1 ] =2 4 16 4

=

--------------------6 分

(2)由 cosB=

1 15 得:sinB= ∵b=2-------------------------------------------8 分 4 4 8 ----------10 分 3

2 2 ∴a +c =

8 1 ac+4≥2ac(当且仅当 a2=c2= 时取“=”号) 3 2 1 1 8 ac·sinB≤ × × 15 = 15 2 2 3 4 3

∴ac≤

∴S△ABC=

故:△ABC 面积的最大值为

15 ---------------------------------------12 分 3

19.解:(1)以直线 DA 、 DC 、 DE 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系,则 A( 2,0,0) , B( 2,2,0) C (0,4,0) , E (0,0,2) ,所以 M (0,2,1) . ∴ BM ? (?2,0,1) —————--------------———2 分 又, OC ? (0,4,0) 是平面 A D E F 的一个法向量. ∵ BM ? OC ? 0 即 BM ? OC ————--------------——4 分 ∴ BM ∥平面 A D E F (2)设 M ( x , y , z ) ,则 EM ? ( x, y, z ? 2) , 又 EC ? (0,4,?2) 设 EM ? ? EC(0 ? ? ? 1 ,则, x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? 即 M (0,4? ,2 ? 2? ) .——6 分

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设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BDM 的一个法向量,则

OB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0
取 x1 ? 1 得 y1 ? ?1, z1 ?

OM ? n ? 4?y1 ? (2 ? 2? )z1 ? 0

2? 1? ?



n ? (1,?1,

2? ) 1? ?

又由题设, OA ? (2,0,0) 是平面 ABF 的一个法向量,————----——8 分



|co s ? OA, n ?|?

OA ? n | OA | ? | n |

? 2 2?

2 4? (1 ? ? ) 2
2

?

6 6

?? ?

1 2 ————10 分

即点 M 为 EC 中点,此时, S ?DEM ? 2 , AD 为三棱锥 B ? DEM 的高,



VM ? BDE ? VB? DEM ?

1 4 ? 2 ? 2 ? ————————————12 分 3 3

20. (本小题满分 12 分) 20.(1)证明:.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 有 y1 ? y2 ? ?2 pm ,下证之: 设直线 AB 的方程为: x ? ty ? m 与 y 2 ? 2 px 联立得---------------2 分

y 2 ? 2 px

x ? ty ? m
由韦达定理得

消去 x 得 y 2 ? 2 p t y ?2 p m ?0

y1 ? y2 ? ?2 pm ,------------------------------4 分

(2)解:三条直线 AN , MN , BN 的斜率成等差数列, 下证之: 设点 N (?m, n) ,则直线 AN 的斜率为 k AN ?

y1 ? n ; x1 ? m

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直线 BN 的斜率为 kBN ?

y2 ? n ---------------------6 分 x2 ? m

? k AN ? k BN ?

y1 ? n y ?n ? 2 2 p ( y ? n ) 2 p ( y2 ? n ) 2 ? 2 1 ? y1 y2 2 ?m ? m y1 ? 2 pm y2 2 ? 2 pm 2p 2p

? 2 p(

y1 ? n y ?n y ( y ? n) ? y1 ( y2 ? n) ? 22 ) ? 2p? 2 1 -----------------9 分 y ? y1 y2 y2 ? y1 y2 y1 y2 ( y1 ? y2 )
2 1

? 2p?

n( y1 ? y2 ) n n n ? 2p? ? 2p? ? ? --------------------------11 分 y 1 y2 ( y1 ? y2 ) y1 y2 ?2 pm m
n?0 n ?? ?m ? m 2m



直线 MN 的斜率为 k MN ?

? k AN ? kBN ? 2kMN
21.(本小题满分 12 分)

即直线 AN , MN , BN 的斜率成等差数列.---------------------12 分

22.解析:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= ln x +1.

令 f′(x)=0,解得 x=

1 .----------------------------------------------2 分 e

当 0<x<

1 1 时,f′(x)<0; 当 x> 时, f′(x)>0. e e

故当 x=

1 时,f(x)取得最小值,最小值为 e

1 1 1 1 1 f ( ) ? ln ? m ? ? ? m ? 0 ,得 m ? .--------------------------4 分 e e e e e
(2)f′(x)= ln x +1.. 设 F ( x ) ? f (a ) ? f ( x ) ? 2 f (

a?x )则 2

F ?( x ) ? f ?( x ) ? 2[ f (

a?x a?x )]? ? ln x ? ln ----------------------6 分 2 2
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令 F ?( x) ? 0 ,得

x?a

当 0<x<a 时, F ?( x) ? 0 ,因此 F ( x ) 在 (0, a ) 内为减函数; 当 x>a 时, F ?( x) ? 0 ,因此 F(x)在 (a, ??) 上为增函数. 从而,当 x=a 时, F ( x ) 有极小值 F ( a ) .----------------------8 分

F (a ) ? 0, b ? a, ? F (b) ? 0 即 0 ? g ( a ) ? g (b) ? 2 g (

a?b ) .-------------------9 分 2 a?x ? ln 2 ? ln x ? ln( a ? x ) 2

设 G( x) ? F ( x) ? ( x ? a )ln 2 ,则 G?( x ) ? ln x ? ln

当 x>0 时, G?( x) ? 0 ,因此 G( x)在(0,+?)上为减函数。

G(a) ? 0, b ? a,?G(b) ? 0, --------------------------------11 分
即 g ( a ) ? g ( b) ? 2 g (

a?b ) ? (b ? a ) ln 2 ,综上,原不等式得证.------------12 分 2

选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一 题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

22.【试题解析】解:(1)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?

所以普通方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 .

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 .
(2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

…………5 分

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

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? ABM 的面积 S ?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4
…………10 分
8

所以 ? ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 23.(本小题满分 10 分)

6

4

23.解: (Ⅰ)令 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ,则
2

? 3 ? 2 x, x ? 1 ? y ? ?1, 1 ? x ? 2 ?2 x ? 3, x ? 2 ?

1

-5

1

2

5

10

15

-2

-4

作出函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 ( ,2) 和 ( ,2) .
-6 -8

1 2

5 2

所以 f ( x) ? g ( x) ? 2 的解集为 ( , ) .---------------------------------5 分

1 5 2 2

(Ⅱ)因为

| x ? 2 y ? 1 |?| ( x ? 1) ? 2( y ? 1) | ?| x ? 1 | ?2 | ( y ? 2) ? 1 | ?| x ? 1 | ?2(| y ? 2 | ?1) ? f ( x) ? 2 g ( y ) ? 2 ?5
所以

| x ? 2 y ? 1 |? 5 .-------------------------------------------10 分

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