黑龙江省哈三中2013届高三3月第一次模拟数学文试题




黑龙江省哈三中 2013 届高三第一次模拟 数学文试题
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 一、选择題(本大題共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小題给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.) 1 设集合 A={x |, y ? A. ?

x ? 1 },B={y|y=x2,x∈R},则 A ? B=
C. [1,+ ? ) D. [-1,+ ? )

B. [0,+ ? )

2.已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx +c.若;x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项的命 题中为假命题的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) B. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) D. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

3.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,a6+8a3=0,则. A. 11 B. 5 C -8 D -11

S5 = S2

4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则该几何体的外接球的表 面积为 A.

3 ? 3

B.

16 ? 3
32 3 ? 27

C.

26 ? 3

D.

5.已知程序框图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 的值的一个程序 2 4 6 20

框图,其中判断框内应填入的条件是 A. i>12? C. i>10? B. i>11? D. i>9?

1



6.将函数 f ( x)3 sin(2 x ? A.

?
3

) 向右至少平移多少个单位,才能得到一个偶函数
D.

? 6

B.

5? 12

C.

? 12

? 2

7.已知椭圆

x2 y2 , ? ? 1 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k> O)的直线与椭圆交于 A,B 两 点 16 4



'= A. 1

,则 k= B.

2

C.

3

D. 2

8.向一个边长为 4 3 的正三角形内随机投一点 P, 则点 P 到三边的距离都不小于 1 的 概 率为
A.

1 2 13 18

B.

1 3 5 12

C.

1 4 2 3

D.

1 9 3 4

9.掷同一枚骰子两次,则向上点数之和不小于 6 的概率是
A. B. C. D.

10. 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1 与 AD 中点,那么异面直线 OE 与 FD1 所成的角的余弦值是 A

10 5

B

15 5

C

4 5

D

2 3

11. 若函数 f(x)=2x2-lnx 其定义域的一个子区间 (k-1,k+1)内不是单调函数, 则实数 k 的取值范围是 A. k ?

3 2

B. k ? ?

1 2

C.

?

1 3 ?k ? 2 2

D1 ? k ?

3 . 2

12. 已知点尸是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,F1,F2 分别是双曲线的 a2 b2

tan
左、右焦点, ,双曲线离心率为 e,则

tan
A.

?

a 2 = 2

e ?1 e ?1

B.

e ?1 e ?1

C.

e2 ? 1 e2 ?1

D.

e2 ?1 e2 ? 1

2



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置 上.) 13.已知 i 为虚数单位,则复数. ?

3 ? 4i 的虚部是______. 2?i

14.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽 出了一个 容量为 n 且支出在[20,60)元的样本,其频率分布直方图如图所示, 根据此图估计学生在课外 读物方面的支出费用的中位数为______元 15. Δ ABC 中,AB = 3,AC = 4,BC=5,P 为 BC 边上一动点,则

| PA ? 2 PC | 的最小值为:_______
16. 已知{an}为等差数列,首项与公差均为非 负整数,且满足,则 ?a1 ? a 2 ? 7 则 a3+2a2

? ?a 3 ? 5

的最小值为________

三、解答題(本大題共 6 小題,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x sin(?x ? 小正周期为π .(1)求 w 的值;(II )求函数 f(x)在区间 [? 18. (本小题满分 12 分)

?
3

) ? cos2 ?x(? ? 0) 的最

? 7?

, ] 的取值范围. 6 12

某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品, 称其重量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图. (I) 根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间 的 产品的重量相对稳定; (II) 若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件, 求所抽取两件样品重量之差不超过 2 克的 概 率.

3



19. (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1= AB = AC = 1,AB 丄 AC, M 是 CC1 的中 点,N 是 BC 的中点,N 是 BC 中点,K 是 AC 中点,点 P 在 A1B1 上.
(I)求证:PN 丄 AM (II)求三棱锥 P-MNK 的体积

20.(本小题满分 12 分)

已知:圆 O1 过点(0,1),并且与直线 y = - 1 相切,则圆 O1 的轨迹为 C ,过一点 A(1,1)作 直线 l,直线 l 与曲线 C 交于不同两点 M,N,分别在 M、N 两点处作曲线 C 的切线 l1、l2,直线
l1 ,l2 的交点为 K (I )求曲线 C 的轨迹方程;

(II)求证:直线 l1 ,l2 的交点 K 在一条直线上,并求出此直线方程.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x)

a ? b ln x 在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y=2. x ?1 m 恒成立,求实数m的取值范围. x

(I) 求 a,b 的值; (II)若, f ( x) ?

请考生在第 22、23、24 三題中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 已知 O1 与 O2 相交于 A、 两 , B 点 过点 A 作 O1 的切线交 O2 于点 c,过点 B 作两圆的割线,分别交

4



O1、 O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P.

(I)

求证:ADH

/

/

E

C

;

(II) 若 AD 是 O3 的切线,且 PA= 6,PC=2,BD = 9,求 AD 的长 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 ? 若曲线 C2与曲线 C1关于直线:y=x对称
(I )求曲线 C2的直角坐标方程; x (II)在以 O 为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 ? ?

? x ? 2 ? 2 cos? ? y ? 2 sin ?

?
3

与 C1 的异于极点的

交点为 A,与 C2 的异于极点的交点 B,求|AB|. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-1|+|2x-3|-a. (I)当 a = 2 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (II )若 f(x) ≥O 恒成立,求 a 的取值范围.

5



2013 年哈三中第一次高考模拟考试 数学试卷(文史类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 10 B 11 D 12 B

二、填空题: 13.

11 5

14.

400 9

15.

12 5

16. 13

三、解答题: 17. (Ⅰ)整理得 f ( x) ?

1 ? 3 sin(2?x ? ) ? 2 6 4 由最小正周期为 ? ,所以 ? ? 1

……………………………… ……………………………… , x ? [?

4分 6分

(Ⅱ) 由(1)知 f ( x) ?

1 ? 3 sin(2 x ? ) ? 2 6 4 ,

? 7?

, ] 6 12
8分

所以 2 x ?

?
6

? [?

? 4?
6 3

] ………………………………………

所以 sin(2 x ?

?
6

) ? [?

3 ,1] …………………………………… 2

10 分

所以 f ( x) ? [

3? 3 5 , ] 4 4

……………………………………

12 分
2 2

18. (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 , 则 X甲 ?

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 , 6 1 2 2 2 2 s甲 ? ??122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? ? 6
2

………2 分

? ?1 1 1? 1 1 3 ? ? ?

1 1 1 ? 1 1? ? ?3
2

2 ? 0 7 ?1 1 , ………4 分 1 ? ? 21 3 ?

6



1 2 2 2 2 s乙 ? ??124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? ? 6
2 2 2 ? ?115 ?113? ? ?108 ?113? ? ?109 ?113? ? ? 29.33 , ?

………………6 分

2 2 由于 s甲 ? s乙 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定; ……………7 分

(Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110 ? , ?124,112 ? , ?124,115? , ?124,108? , ?124,109 ? ,
?110,112 ? , ?110,115? , ?110,108? , ?110,109 ? , ?112,115? , ?112,108? , ?112,109 ? , ?115,108? , ?115,109? , ?108,109 ? ?110,112 ? , ?110,108? , ?110,109 ? , ?108,109 ? .
所以 . ………9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果: ……11 分

P ? A? ?

4 . 15

………12 分

19. (Ⅰ)因为 NK // AB // A1P ,所以 N , K , A1 , P 四点在一个平面内

由于 AA1 ? ABC 平面,所以 AA1 ? AB

又 AB ? AC ,所以 AB ? ACC1 A1 ,所以 AB ? AM ,又 AB // NK 所以 AM ? NK , ………………………………3 分

在正方形中,利用相似可知 AM ? A1K ,故 AM ? A1 KNP 平面 所以 AM ? PN ……………………………… 6 分

(Ⅱ) 因为 A1 P // NK ,所以 VP ? MNK ? VA1 ? MNK ………………… 9 分 又 VA1 ? MNK ? VN ? A1MK ?

1 1 NK ? S A1MK ? . ………………12 分 3 16

7



20. (Ⅰ)由定义可知 C 的轨迹方程为: x 2 ? 4 y

. ……………… 4 分

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,直线 MN 方程为: y ? 1 ? k ( x ? 1) 在 M 处切线方程为: x1 x ? 2( y ? y1 ) 在 N 处切线方程为: x2 x ? 2( y ? y2 ) . ……………… 解得 K 点坐标为 ( 而? 6 分 8分

x1 ? x2 x1 x2 , ) 2 4

. ………………

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ,整理得 x2 ? 4kx ? 4k ? 4 ? 0 x2 ? 4 y ?
. ……… 11 分 . ……… 12 分

所以 xk ? 2k , yk ? k ? 1 , 故 K 点所在直线方程为: x ? 2 y ? 2 ? 0 .

b ( x ? 1) ? (a ? b ln x) a ? b ln x 21. (Ⅰ)由 f ( x) ? ·····2 分 ···· ? f ?( x) ? x x ?1 ( x ? 1) 2
而点 (1, f (1)) 在直线 x ? y ? 2 上, 所以 f (1) ? 1 , 又直线 x ? y ? 2 的斜率为 ? 1 ,则 f ?(1) ? ?1 .·····4 分 ····

? a ? 2 ?1 ?a ?2 ?? 故有 ? ······6 分 ····· 2b ? a ?b ? ?1 ? ? ?1 ? 4 2 ? ln x (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ( x ? 0) x ?1 m 2 x ? x ln x 由 f ( x) ? 及 x ? 0, 得 ····· ? m .······7 分 x x ?1
令 g ( x) ?

2 x ? x ln x (1 ? ln x)( x ? 1) ? (2 x ? x ln x) 1 ? x ? ln x . , g ?( x) ? ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

令 h( x) ? 1 ? x ? ln x ? h?( x) ? ?1 ? 故 h(x ) 在区间 (0,?? ) 上是减函数,

1 ? 0( x ? 0) , x

8



故当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,当 x ? 1时, h( x) ? h(1) ? 0 .··· ···10 分 从而当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? 1时, g ?( x) ? 0 , 则 g (x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1,??) 是减函数,故 g ( x) max ? g (1) ? 1 . 要使

2 x ? x ln x ··12 分 ? m 成立,只需 m ? 1 . 故 m 的取值范围是 (1,??) ·· x ?1

22. 解: (I)∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. (II)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12 ① ② ······ 分 ······5

9+x 6 PD AP ∵AD∥EC,∴ = ,∴ = PE PC y 2
? ?x=3 由①、②解得? ? ?y=4

(∵x>0,y>0)

∴DE=9+x+y=16, ∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD2=DB· DE=9×16,∴AD=12. ·······10 分 ······ 23. (Ⅰ) C1 的直角坐标方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 所以 C2 的直角坐标方程为: x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

······ 3 分 ····· ······ 6 分 ····· ······ 10 分 ····· ····· ····· ····· ····· 5 分 10 分

(Ⅱ) | OA |? 2 , | OB |? 2 3 ,所以 | AB |? 2 3 ? 2 . 24. (Ⅰ) f ( x) ? 0 解集为: {x | x ? 2或x ? } (Ⅱ) a ?

2 3

1 2

9


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