湖北省武汉市2011届高中毕业生四月调研测试试卷(数学理)

试卷类型: AB

武汉市 2011 届高中毕业生四月调研测试 理科数学
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大騍共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的. 项是符合题目要求的. 1. sin( ?

52 π) = ( ) 3
A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2
)

D.

3 2

2. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S5 = 15 , 则 a3 = (

A. 6

B. 4

C .3

D .5
)

3. 若复数 z 满足 (1 + 3i ) z = 2 3i ( i 是虚数单位),则 z = (

3 3 A. ? + i 2 2

B.

3 3 ? i 2 2

C.

3 3 + i 2 2

3 3 D.? ? i 2 2

4. 已知 a 、 b 、 c 是直线, β 是平面,给出下列命题: ①若 a ⊥ b , b ⊥ c ,,则 a ∥ c ; ②若 a ∥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ β , b ? β ,则 a ∥ b ; ④若 a 与 b 异面,且 a ∥ β ,则 b 与 β 相交; ⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a 、 b 都垂直. 其中真命题的个数是( ) C. 3 A. 1 B. 2

D.4

5. 已知 a、 为非零向量, m = a + tb ( t ∈ R ),若 | a |= 1, | b |= 2 ,当且仅当 t = b

r ur

ur

r

r

r

r

1 时, 4

ur r ur | m | 取得最小值,则向量 a、 的夹角为( b

)

A.

π
3

B.

2π 3

C.

π
6

D.

5π 6

6. 在 ?ABC 中,“sin A > sin B ”是“ cos A < cos B ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件

武汉 4 月理科第 1 页

7. 已知函数 f ( x) = ?

?(2a ? 1) x + a ( x ≥ 1) , 若 f ( x) 在 (0, +∞) 上单调递减,则实数 (0 < x < 1) ?log a x
)

a 的取值范围为(
1 A . (0, ) 2

1 B . (0, ] 3

1 1 C. [ , ) 3 2
)

1 D . ( ,1) 2

8.若 ξ ~ N ( ?2, σ 2 ) ,且 P ( ?4 < ξ < ?2) = 0.3 ,则 P (ξ > 0) = (

A . 0.2

B . 0.3

C . 0.7

D . 0.8

9. 已知二面角 α ? l ? β 的平面角为 θ , PA ⊥ α , PB ⊥ β , A、B 为垂足, PA = 5,PB = 4 ,
点 A、B 到棱 l 的距离分别为 x、y ,当 θ 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹是下列图形中的( )

10.设 f ( x) = sin π x 是 [0,1] 上的函数,且定义 f1 ( x) = f ( x),L , f n ( x) = f ( f n ?1 ( x)), n ∈ N * ,
则满足 f n ( x ) = x, x ∈ [0,1] 的 x 的个数是( )

A . 2n

B.

2(2n ? 1)

C . 2n 2

D . 2n

小题, 共乃分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共乃分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 填空题: 一题两空的题,其答案按先后次序填写.填错位置,书写不清,模凌两可均不得分. 一题两空的题,其答案按先后次序填写.填错位置,书写不清,模凌两可均不得分.

11. 某班要从 4 名男生和 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女 生,,则不同选派方案种数为________ 12. 已知函数 f ( x) = ?

?2 x + 3 ( x ≠ 1) ’给出下列结论: ( x = 1) ?2

①函数 f ( x ) 在 x = 1 处连续;② f (1) = 5 ; ③ lim f ( x) = 2 ;④ lim f ( x) = 5 . x →1 x →1 其中正确结论的序号是________.

1 1 1 2 1 1 k Cn + Cn ? L + (?1) k Cn + L + (?1) n Cnn = . 2 3 k +1 n +1 14. 用 17 列货车将一批货物从 A 市以 v km / h 的速度匀速行驶直达 B 市.已知 A、B 两市 v 2 间铁路线长 400km ,为了确保安全,每列货车之间的距离不得小于 ( ) km ,则这批货物 20
13. 1 ?
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全部运到 B 市最快需要________ h ,此时货车的速度是________ km / h .

15. 在平面直角坐标系 xoy 中,给定两定点 M ( ?1, 2) 和 N (1, 4) ,点 P 在 x 轴上移动,当

∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标是________.
小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = sin(2 x + 图象关于直线 x =

π

π
6

) cos ? + cos(2 x + ) sin ? (其中 x ∈ R , 0 < ? < π )的 4 4

π

对称.

(Ⅰ)求 ? 的值;

( Ⅱ ) 求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

π
2

, 0] 上的最小值.

17. (本小题满分 12 分) 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 4 杯.从中挑出 4 杯称为一次试验,如果能 将甲种酒全部挑出来,算作试验成功一次.某人随机地去挑,求: (Ⅰ)试验一次就成功的概率是多少? (Ⅱ)恰好在第三次试验成功的概率是多少? (Ⅲ)当试验成功的期望值是 2 时,需要进行多少次相互独立试验? 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ?PCD 为等边三角形,四边形 ABCD 为矩形,平面 PDC 丄平面 ABCD , M 、 N 、 E 分别是 AB 、 PD 、 PC 的中点, AB = 2 AD . (Ⅰ)求证 DE 丄 MN ; (Ⅱ)求二面角 B ? PA ? D 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 = 2 ,an +1 = an + cn(其中 c 为非零常数, n ∈ N * ) a1、a2、a3 组 , 成公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ) 求 c 的值; ( Ⅱ ) 记数列 {

1 3 } 的前 n 项和为 Sn ,求证 S n < . an 2

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20. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0 )的左、右焦点分别为 F1、F2 ,短轴两个端点为 a2 b2

A、B ,且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD 丄 CD ,连结 CM ,交椭圆 于点 P .证明: OM OP 为定值; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆恒过 直线 DP , MQ 的交点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

uuuu uuu r r

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = x ? ln( x + 1 + x 2 ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 x ≥ 0 时,恒有 f ( x ) ≤ ax 3 ,试求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)令 an =

1 1 6n 1 1 ( ) + ln[( ) 2 n + 1 + ( ) 4 n ] ( n ∈ N * ), 9 2 2 2
1 . 3

试证明: a1 + a2 +a3 + L +an <

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武汉市 2011 届高中毕业生四月调研测试 (理科数学)参考答案 理科数学)
题号 答案 11. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D

C
12.④

C

A
13.

B

C

B

A

C
15. 1

D

1 n +1

14. 8 ; 100

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