浙江省台州市2011学年第一学期高三年级期末质量评估试题数学(文)2012.01

台州市 2011 学年 第一学期 高三年级期末质量评估试题 数 学(文) 2012.01

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. Ⅰ 选择题部分(共 50 分)

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. ) 1. 复数

3?i 等于 1? i
(B) 1 ? 2i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

(A) 1 ? 2i 2. 集合 A ? {0, log 1
2

3, ?3,1, 2} ,集合 B ? { y ? R | y ? 2 x , x ? A} ,则 A ? B ?
(B)

(A) 3.向 量

?1?

?1, 2?

(C)

??3,1, 2?

(D)

??3,0,1?

? ? ? ? ,则 a ? (1,x ? 1)b ? x ? 1, 3) “ x ? 2 ”是 “ a ∥ b ”的 , (
(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(A) 充分而不必要条件 (C) 充要条件 4. 已知点 A(1,?1) 及圆 方程是 (A) x ? 1 ? 5. 设函数

x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 ,则过点 A ,且在圆上截得最长的弦所在的直线
(B) x ?

0

y?0

(C)

y ?1 ? 0

(D) x ?

y?2?0

f (? ) ? f (4) ? 3
(A) ? (D)

?

f (x) 为偶函数,且当 x ? [0,2) 时 f ( x) ? 2 sin x ,当 x ? [2,??) 时 f ( x) ? log2 x ,则
开始 (B)

3?2 3?2

1

(C) 3

k ?1

6. 按照如图的程序框图执行,若输出结果为 15 ,则 M 处条件为 (A) k ? 16 ? (C) k ? 16 ? (B) k ? 8 ? (D) k ? 8 ?

S ?0
M
否 是

S ? S ?k
S=S+k
k ? 2? k
7. 若函数

输出 S 结束

f ( x) ? (k ?1)a ? a (a ? 0且a ? 1) 在 R 上既是奇函
x

?x

数,又是减函数,则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是

(第 6 题)

y

y

y

y

?2

?1

O

x

?2

?1

O

x

O

2

3

x

O

2

3

x

8. 设斜率为

2 2

的直线 l 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点,且这两个交点在 x 轴上的射 a 2 b2

影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为 ks5u

9.

1 1 2 (C) (D) 3 2 2 如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是 侧面 CDD1C1 上的动点,且 B1 F //平面 A1 BE ,则 B1 F 与平面 CDD1C1 所成角的正弦值构成的集合是 ?2 ? (A) ?2? (B) ? 5? ?5 ?
(A)

3 3

(B)

(C) ?t |

? ? ? ?

? 2 6? ?t ? ? 2 3 ? ?
'

(D) ?t |

2 ? ? 2 5 ?t ? 2? 3 ? ? 5
数, 满 足

(第 9 题)

10. 定义在上 R 的函数 已知

f ( x) 满足 f (6) ? 1 , f ' ( x) 为 f ( x) 的导函
的图象如图所示,若两个正数

y ? f ( x)

y

a, b

f ( 3a? 2b? )
(A) ( ?

,则 1

b ?1 的取值范围是 a ?1
(B) ( ?

1 , 2) 3 1 (C) ( ??, ? ) ? [0, ??) 3

1 , ??) 3

o
(第 10 题)

x

(D) [2, ??)

Ⅱ 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题(本题共 7 道小题,每题 4 分,共 28 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置)
频率

11.在某次法律知识竞赛中,将来自不同学校的学生的 成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.已知成绩 在[60,70)的学生有 40 人, 则成绩在[70,90)的 有 ▲ 人.
0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005

组距

ks5u

分数

50 60

70 80 90 100

(第 11 题)

12.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ▲ .

13.若 {bn } 是等比数列,m, n,

p 是互不相等的正整数,则有
p

正确的

2 3 2
俯视图 正视图 (第 12 题)

? bp ? ? bm ? 结论: ? ? ?? ? bn ? ? bp ? ? ? ?
m

n

?b ? ? ? n ? ? 1 .类比上述性质,相应地, ? bm ?
p 是互不相等的正整数,则有正确的

2
侧视图

若 {an } 是等差数列, m, n, 结论: ▲ .

14.在 1, 2,3, 4,5 这五个数中, 任取两个不同的数记作 a , b , 则满足 的概率是 ▲ .

f ( x) ? x2 ? ax ? b 有两个不同零点

15.为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度, 在海岸上选取距离为 1 千 米的两个观察点

B A

C, D

,在某时刻观察到该航船在

A

处,此时测得

?ADC ? 30

?

, 3 分钟后该船行驶至 B 处,此时测得 ?ACB ▲

? 60

?



?BCD ? 45? , ?ADB ? 60? ,则船速为
千米/分钟. 16.已知圆 C : ( x ? 2) 动点,则
2

C
(第 15 题)

D

? ( y ?1)2 ? 5 及点 B (0, 2) ,设 P, Q 分别是直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和圆 C 上的
▲ .
B M

PB ? PQ 的最小值为

17.如图,扇形 AOB 的弧的中点为 M ,动点 C, D 分别在 OA, OB 上, 且 OC 范围是

???? ???? ? ? ? BD. 若 OA ? 1 , ?AOB ? 120? ,则 MC ? MD 的取值
D




O C

A

(第 17 题)

三、解答题(本题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18. (本题满分 14 分)已知函数 正周期为 ? ,最大值为 3. (Ⅰ)求 ? 和常数 a 的值; (Ⅱ)求函数

f ( x) ? 2 3sin ? x cos ? x ? 2cos2 ? x ? a ( x ? R, ? ? 0) 的最小

f ( x) 的单调递增区间.

19. ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 {bn } 是 首 项 为 1 , 公 比 为

2

的 等 比 数 列 . 数 列 {an } 满 足

an ? l o g bn ? 3 ? 1, Sn 是 {an } 的前 n 项和. n 1 2
(Ⅰ)求 S n ;ks5u (Ⅱ)设同时满足条件:① 常数)的无穷数列

cn ? cn ? 2 ? cn ?1 (n ? N ? ) ;② cn ? M ( n ? N ? , M 2

是与 n 无关的

?cn ? 叫“特界”数列.判断(1)中的数列 {Sn } 是否为“特界”数列,并说明理由.
D

20. (本题满分 14 分)如图,在三棱锥 D ?

ABC 中, 平面ADC ? 平面ABC , AD ? 平面DCB , AD ? CD ? 2, AB ? 4, M 为线段 AB 的中点. (Ⅰ)求证: BC ? 平面ACD ; (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? M 的余弦值.

(第 20 题) )

C

A M
21. (本题满分 15 分)已知函数 (Ⅰ)当 a

B

1 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? 2 x . 2

? 3 时,求函数 f ( x) 的极大值;

(Ⅱ)若函数

f ( x) 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 15 分)已知抛物线 C : x 两点,点

2

? 4 y 的焦点为 F

,过点 K

? 0, ?1? 的直线 l 与 C 相交于 A, B

A 关于 y 轴的对称点为 D .

(Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA ? FB

??? ??? ? ?

?

8 ,求 ?DBK 9

的平分线与

y 轴的交点坐标.

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台州市 2011 学年第一学期高三年级期末质量评估试题 数学(文)参考答案及评分标准 2012.1 一、选择题: 1-10.

C B A B D
12.

A AC D B
13. m(a p

二、填空题: 11. 25

14.

9 20

13 ? 3 6 15. 6

? an ) ? n(am ? ap ) ? p(an ? am ) ? 0
17. [

16.

2 5

3 1 , ] 8 2

三、解答题: 18. (本小题 14 分) (I)解:

f ( x) ? 2 3sin ? x cos ? x ? 2cos2 ? x ? a

??????????????1 分

? ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ?1 ? a ? 2sin(2? x ? ) ? a ? 1 , ?????????3 分 6 2? ? ? ,得 ? ? 1 . 由T ? ?????????5 分 2? ? 又当 sin(2? x ? ) ? 1 时, ymax ? 2 ? a ?1 ? 3 ,得 a ? 2 . ???7 分 6 ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z) ,9 分 (Ⅱ)解:由(I)知 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,由 2k? ? 6 2 6 2 ? ? ? x ? k? ? , 得 k? ? ??????12 分 6 3 ? ? 故 f ( x ) 的单调增区间为 [ k? ? , k? ? ] (k ? Z) . ???????14 分 6 3
19. (本小题 14 分) (I)解: bn

? b1qn?1 ? 2n?1 ,
n?1

????2 分

????4 分 an ? log2 bn ? 3n ?11 ? log2 2 ? 3n ?11 ? 10 ? 2n , n(n ? 1) Sn ? na1 ? d ? ? n 2 ? 9n . ????7 分 2 S ? Sn ? 2 (S ? Sn?1 ) ? (Sn?1 ? Sn ) an?2 ? an?1 d (Ⅱ)解:由 n ? Sn?1 ? n?2 ? ? ? ?1 ? 0 , 2 2 2 2 Sn ? Sn? 2 得 ???????10 分 ? S n ?1 ,故数列 {S n } 适合条件①; 2 9 2 81 2 又 S n ? ? n ? 9n ? ?( n ? ) ? (n ? N*) ,故当 n ? 4 或 5 时, Sn 有最大值 20, 2 4 即 S n ≤ 20 ,故数列 {S n } 适合条件②. ????13 分 综上,数列 {S n } 是“特界”数列. 20. (本小题 14 分) (Ⅰ)证:取 ????14 分

AC 的中点 O ,连接 DO ,则 DO ? AC , ∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC , ∴ DO ⊥ BC . ???3 分 又∵ AD ? 平面 BCD ,∴ AD ⊥ BC . ???6 分
A
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D
N

C O M B

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∵ DO ∩

AD = D ,∴ BC ⊥平面 ACD .???????7 分
(第 20 题)
???????8 分

(Ⅱ)解:取 CD 的中点 N ,连接 MO, NO, MN , 则 MO ∥ BC ,∴ MO ⊥平面

ACD ,∴ MO ⊥ CD . ∵ AD ⊥ CD , ON ∥ AD ,∴ ON ⊥ CD . 又∵ MO ∩ ON = O ,∴ CD ⊥平面 MON , ∴ CD ⊥ MN ,∴∠ MNO 是所求二面角的平面角. 1 1 在 Rt△ MON 中, MO ? BC ? 2 , ON ? AD ? 1 , 2 2
∴ MN =

???11 分

MO2 ? NO 2 = 3 ,∴cos∠ MNO =

NO 3 = . MN 3

??????14 分

(其它解法相应给分) 21. (本题满分 15 分) (Ⅰ)解:

3x 2 ? 2 x ? 1 3 2 x ? 2 x , f ' ( x) ? ? ( x ? 0) . 2 x 1 1 ' ' 由 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ,由 f ( x) ? 0 ,得 x ? . 3 3 1 5 所以 y ? f ( x) 存在极大值 f ( ) ? ? ? ln 3 . 3 6
f ( x) ? ln x ?

?????2分 ?????5 分 ?????7 分

(Ⅱ)解:

f ' ( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) , x

?????8 分

依题意 当a 当a

f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有解,即 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有解. ????9 分
?????11 分 ?????14 分

? 0 时,显然有解;
? 0 时,由方程 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个正根,得 ?1 ? a ? 0 ;

所以 a

? ?1 .

?????15 分

另解:依题意

f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有解,即 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有解. ???9 分
在 (0, ??) 上有解,即 a

a?

1 ? 2x x2

? 1 ? 2x ? ?? 2 ? ? x ?min



???11 分

由?

? 1? 2x ? ? ? ?1,得 a ? ?1 . 2 ? x ?min

?????15 分

22. (本题满分 15 分) (Ⅰ)解:设

A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D(? x1 , y1 ) , l 的方程为 y ? kx ? 1 ,
得x
2

由?

? y ? kx ? 1, ? x ? 4 y,
2

? 4kx ? 4 ? 0 ,

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从而 x1 ? x2

? 4k , x1 x2 ? 4 .
y ? y1 ?

????2 分

直线 BD 的方程为

x2 x ? x y2 ? y1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 ? 2 1 ? x ? x1 ? , 4 4 x2 ? x1
在直线 BD 上. ????6 分(Ⅱ)解:因

令x 为

? 0 ,得 y ?

??? ??? ? ? FA ? FB ? ? x1 , y1 ? 1? ? ? x2 , y2 ? 1? ? x1 x2 ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? 8 ? 4k 2 ,
故 8 ? 4k
2

x1 x2 ? 1 ,所以点 F 4

?

4 8 ,解得 k ? ? , 3 9

????9 分

所以 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 3 ? 0, 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 .

又由(Ⅰ)得

x2 ? x1 ? ? 16k 2 ? 16 ? ?

4 x ?x 7 7 ,故直线 BD 的斜率为 2 1 ? ? 3 4 3



因而直线 BD 的方程为 设 ?DBK 的平分线与

7 x ? 3 y ? 3 ? 0, 7 x ? 3 y ? 3 ? 0 .
y 轴的交点为 M ? 0, t ? ,

??12 分

则M

? 0, t ? 到 l 及 BD 的距离分别为
,得 t

3 t ?1 5



3 t ?1 4





3 t ? 1 3 t ?1 ? 5 4

?

1 ,或 t ? 9 (舍去) , 9

所以 ?DBK 的平分线与

y 轴的交点为 M ? 0, ? .

? ?

1? 9?

??15 分

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