广西柳江中学2018_2019学年高一数学下学期开学收心考(2月)试题(含参考答案)

2019 年春季学期高一开学收心考试数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

2 ? 终边相同的角是( ) 3 11 2 2 A. ? B. 2k? ? ? ? k ? Z ? C. 2k? ? ? ? k ? Z ? 3 3 3
1.与角 2.在单位圆中,面积为 1 的扇形所对的圆心角的弧度数为( A.1 3.如果 ? B.2 C.3 ) D.4

D. ? 2k ? 1? ? ? )

2 ? ?k ? Z ? 3

?cos ? ? 0 ,则 ? 是( ? tan ? ? 0

A.第一象限的角

B.第二象限的角 )

C.第三象限的角

D.第四象限的角

4.设 f ? x ? ? lgx ,则 f ? ? f ?10 ? ? ??( A.0 B.1 C.2

D.e ) D. ? 4, 5? )

5.函数 f ? x ? ? 2x ? 5 的零点所在的区间为 ( A. ?1, 2 ? B. ? 2, 3? C. ? 3, 4?

6.已知集合 M ? x|y ? A. ? ,1?

?

2 x ? 1 , N ? ? x|y ? log 2 ?1 ? x ? ? ,则 M ? N ? (

?

?1 ? ?2 ?

B. ? ??,

? ?

1? ? ? ?1, ?? ? 2?

C. 0,1

? ?

D. ? ??,0? ? 2, ??? )

?

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为(

A. 2 3

B. 4 3

C. 4

D. 8 )

8.已知 tan ? ? ?2 ,

?
2

? ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? ? (

-1-

A.

1 5

B. ?

1 5
1?log 2 3

C.

5 5
? 2

D. ?

5 5


9.设实数 a, b, c 满足: a ? 2 A. a ? c ? b

2 ?2? 3 , b ? ? ? , c ? ln ,则 a, b, c 的关系( 3 ?3?
C. c ? a ? b D. b ? c ? a

B. c ? b ? a

D 是 CC1 的中点,则 CA1 与 BD 所成角的 10.在正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,若 AB ? BB 1,
大小是( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

11.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 ( A. )

27? 4

B.

81? 4

C. 9?

D. 16?

2 12.若实数 x , y 满足 x ? 1 ? y ,则

y +2 的取值范围为( x



+? A. ? 3, ?

?

B. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

C. ?

? 3 ? , +? ? ? ? 3 ?

D. ? ? 3, 3 ?

?

?

二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分. 13.
x

的值为_______.

14.函数 f ? x ? ? 2 在 ?1,3 上的最小值是__________. 15.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ) ,则 f(9)= 3 .

?

?

?? 1 ? x ? ? ? 1, x ? 1 16.已知函数 f ? x ? ? ?? 为 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是___. ?2? ? a ? 2 x ? 1, x ? 1 ? ??
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17(10 分) .计算:

4

(1) log3

27 ? lg25 ? lg4 ? 7log7 2 3

3? ? ? sin ? ?? ? ? 2 ? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? 2? ? ? ? ? 3? ? ? cos ? ?? ? ? 2 ? ? (2) cos ? ?? ? ? ? · sin ? ?? ? ? ? sin ? ?? ? ? ?

-2-

18(12 分) .已知角 ? 的终边经过点(2,-1) ,求 sin? , cos? , tan? 的值

19(12 分) .已知函数 f ? x ? ? ax ?

b ? 5? (其中 a , b 为常数)的图象经过 ?1, 2 ? , ? 2, ? 两点. x ? 2?

(1)判断并证明函数 f ? x ? 的奇偶性; (2)证明函数 f ? x ? 在区间 1, ?? ? 上单调递增.

?

20. (12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ? 底面 ABCD , E、F 分别是 AC、PB 的中点.

(1)求证: EF // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PBD ? 平面 PAC .
-3-

21(12 分) . 已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,半径为 2 的圆 C 与 l 相切,圆心 C 在 x 轴上且在 直线 l 的右上方. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 AB 过点 M ?1,0? ,且与圆 C 交于 A, B 两点( A 在 x 轴上方, B 在 x 轴下方) , 问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N ,使得 x 轴平分 ?ANB ?若存在,求出点 N 的坐标;若 不存在,请说明理由.

22 ( 12 分) .已知二次函数 y ? f ? x ? 的图象经过原点,函数 f ? x ? 1? 是偶函数,方程

f ? x ? ? 1 ? 0 有两相等实根.
(1)求 y ? f ? x ? 的解析式; (2)若对任意 x ? ? ,8? , 2 f ? log2 x ? ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围; 2

?1 ?

? ?

-4-

2019 年春季学期 2018 级高一开学收心考试数学 参考答案 1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7.D 解:由题意可得: a ? 8.C

9.C

21 2
log 2 3

2 ?2? ? ? ? 0,1? , b ? ? ? 3 ?3?

?

2 3

? 1 , c ? ln

2 ?0, 3

10. D 解:如图所示,取 AC 的中点 E ,连结 BE, DE ,

ABC 为等边三角形,则 BE ? AC ,由正棱柱的性质可得平
面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ,利用面面垂直的性质定理可得:

BE ? 平面 ACC1 A1 , ? BE ? AC 1 ,正方形 ACC1 A 1 中, DE ? BE ? E , CD ? C1D, AE ? CE,? DE ? AC 1 ,又
由线面垂直的判断定理可得: AC ? 平面 BDE ,则 AC ? BD ,即 CA1 与 BD 所成角的大 1 1 小是 90 . 11.B【解析】如图,正四棱锥 P ? ABCD 中, PE 为正四棱锥的高, 根据球的相关知识可知,正四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的 高线 PE 所在的直线上,延长 PE 交球面于一点 F ,连接 AE,AF ,由球 的性质可知 PAF 为直角三角形且 AE ? PF ,根据平面几何中的射影定 理可得: PA ? PF ? PE ,
2

AE ?

AB 2 ? BC 2 22 ? 22 ? ? 2 ? PA ? PE 2 ? AE 2 ? 42 ? 2 ? 3 2 2 2
9 81? ? S ? 4? R 2 ? 4 4

PF ? 2 R ?18 ? 2 R ? 4,R ?
12.A 解:由题意可得,

y +2 2 2 表示右半个圆 x +y =1 上的点 x

(x,y)与原点(0,? 2)连线的斜率, 设 k=

y +2 , 故此圆的切线方程为 y=kx? 2, 再根据圆心(0,0) x

到切线的距离等于半径,可得 r=

?2 1? k
2

=1,平方得 k =3

2

求得 k=± 3 ,故

y +2 的取值范围是 ? 3, ? +? x

?
-5-

13. 14.

解:sin150°?cos240°=sin30°?(﹣cos60°)

?( )



1 2

解: f ? x ? ? 2 在 ?13 , 上单调递增? 最小值为 f ? ?1? ? 2?1 ?
x

?

?

1 2

15. 3.解:由题意令 y=f(x)=xa,由于图象过点(2, ∴y=f(x)= ∴f(9)=3.

) ,得

=2a,a=

16. ? , 2 ? 解:当 x ? 1 时,一次函数单调递减,则: a ? 2 ? 0,? a ? 2 ,且当 x ? 1 时,应

?1 ?2

? ?

满足:

1 1 1? ? a ? 2 ? ?1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ,解得: a ? 2 ,实数 a 的取值范围是 2 ? a ? 2 ?2?

1

17.解析:(每小题 5 分) (1)原式= log3 3
? 1 4

1 15 ? lg25 ? 4 ? 2 = ? ? 2 ? 2 ? 4 4

sin? cos?
(2)原式=

?cos?

?cos? ?sin? ? ?cos?
y x , cos? ? ,知 r r tan? ? sin? 1 ?? cos? 2

18(每对一个给 3 分)解: 由sin? ?

sin? ?

?1 22 ? ? ?1?
2

??

1 5 2 2 5 ?? , cos? ? ? 5 5 5 5

19(第 1 问 5 分,第 2 问 7 分) . (1)解:∵函数 f ? x ? ? ax ?

b ? 5? 的图象经过 ?1, 2 ? , ? 2, ? 两 x ? 2?

?a ? b ? 2 a ? 1, 1 ? 点∴ ? ∴ f ? x? ? x ? . b 5 解得 { x b ? 1. 2a ? ? ? 2 2 ?
判断:函数 f ? x ? ? x ?

1 是奇函数 x

证 明 : 函 数 f ? x? 的 定 义 域

? x x ? 0?



∵ 对 于 任 意 x?0 ,

f ??x? ? ?x ?

1 1 1? ? ? ? ? x ? ? ? ? f ? x ? ,∴函数 f ? x ? ? x ? 是奇函数. x ?x x? ?

(2)证明:任取 1 ? x1 ? x2 ,则

-6-

? 1? ? 1 ? ? x ? x ?? x x ? 1? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? 1 2 1 2 x1 ? ? x2 ? x1 x2 ?
∵ 1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 0, x1x2 ?1 0, x1x2 ? 0 , ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? . ∴ f ? x ? 在区间 1, ?? ? 上单调递增.

?

20 (每小问 6 分) 解: (1) 如图,连结 BD , 则 E 是 BD 的中点, 又 F 是 PB 的中点, ∴ EF // PD . 又 ∵ EF ? 平面 PCD , PD ? 面 PCD (2)∵ ∴ EF // 平面 PCD .

ABCD 是正方形,∴ BD ? AC ,

∵ PA ? 平面 ABC ,∴ PA ? BD , 又 PA ? AC ? A , ∴ BD ? 面 PAC . 又 BD ? 平面 PBD , 故平面 PBD ? 平面 PAC .

21. 解: (1) 设圆心 C ? a, 0 ? ? a ? ? 或 a ? ?5 .

? ?

4a ? 1 0 5? 则 ?, 5 2?

?2?a ?0

当圆心为 ? ?5,0? 时,圆心在直线 l 的左下方,所以 a ? 0 . 以圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . (2)当直线 AB ? x 轴时, x 轴平分 ?ANB .



当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ?1? ,
2 2 ? ? x ? y ? 4, 2 2 2 2 得 ? k ? 1? x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 . N ? t ,0? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由 ? ? ? y ? k ? x ? 1?

∴ x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ? 4 x x ? , . 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1
y1 y ? 2 ? 0. x1 ? t x2 ? t

若 x 轴平分 ?ANB ,则 k AN ? ?k BN ?

?

k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? ? ? 0 ? 2x1x2 ? ?t ?1?? x1 ? x2 ? ? 2t ? 0 , x1 ? t x2 ? t 2k 2 ? t ? 1? ? ? 2t ? 0 ,解得 t ? 4 . k 2 ?1 k 2 ?1



2 ? k 2 ? 4?

所以 存在定点 N ? 4,0? ,使得 x 轴平分 ?ANB .
-7-

22(12 分)解析: (1)设 f ? x ? ? ax ? bx ? c ?a ? 0? .由题意,得 f ? 0? ? c ? 0 .
2

∴ f ? x ? ? ax ? bx , f ? x ?1? ? ax ? ? 2a ? b ? x ? b ? a
2 2

∵ f ? x ? 1? 是偶函数,∴ ?

2a ? b ? 0 即 2a ? b ? 0 .① 2a

∵ f ? x ? ? 1 ? 0 有两相等实根,∴ a ? 0 且 ? ? b2 ? 4a ? 0 ② 由①②,解得 a ? 1, b ? ?2 ,∴ f ? x ? ? x ? 2x .
2
?1 (2)若对任意 x ? ? ? 2 ,8? ? , 2 f ? log2 x ? ? m ? 0 恒成立, ?1 只须 m ? ?2 ? log 2 x ? ? 4log 2 x 在 x ? ? ? 2 ,8? ? 恒成立. 2 ?1 令 ? ? x ? ? ?2 ? log 2 x ? ? 4log 2 x , x ? ? ? 2 ,8? ? ,则 ? ? x ?max ? ? ? 2? ? 2 . 2 ?1 若对任意 x ? ? ? 2 ,8? ? , 2 f ? log2 x ? ? m ? 0 恒成立,

只须满足 m ? ? ? x ?max ? 2 . ∴m? 2.

-8-


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