2016高考数学二轮复习专题2三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量理

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第三讲 平面向量 1.向量的加法运算符合平行四边形法则和三角形法则;向量的减法运算符合三角形法 则. 1.如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a, 有且只有一对实数 λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2,其中不共线向量 e1,e2 叫做基底. 2.平面向量数量积的定义. 已知两非零向量 a,b,则 a 与 b 的数量积(或内积)为_|a||b|cos_θ ,记作 a·b= |a||b|cos_θ ,其中 θ =〈a,b〉 ,|b|cos_θ 叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b?a=λ b(λ ≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 4 . 若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , a , b 的 夹 角 为 θ , 则 cos θ = a·b = |a||b| x1x2+y1y2 . 2 2 2 x +y1 · x2+y2 2 1 1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.(×) (2)|a|与|b|是否相等与 a,b 的方向无关.(√) (3)已知两向量 a,b,若|a|=1,|b|=1,则|a+b|=2.(×) → 1 → → (4)△ABC 中,D 是 BC 中点,则AD= (AC+AB).(√) 2 → → (5)向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.(×) (6)当两个非零向量 a,b 共线时,一定有 b=λ a,反之成立.(√) → → → 1.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则(B) → → A.PA+PB=0 → → B.PC+PA=0 → → → → → C.PB+PC=0 D.PA+PB+PC=0 → → → 解析:因为BC+BA=2BP,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B. 2.(2014·新课标Ⅱ卷)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=(A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由已知得,a +2a·b+b =10,a -2a·b+b =6,两式相减得,4a·b=4,故 2 2 2 2 a·b=1. 3.(2015·北京卷)设 a,b 是非零向量, “a·b=|a||b|”是“a∥b”的(A) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为 a·b=|a||b|cos〈a,b〉 ,所以当 a·b=|a||b|时,有 cos〈a,b〉=1, 即〈a,b〉=0°,此时 a,b 同向,所以 a∥b.反过来,当 a∥b 时,若 a,b 反向,则〈a, b〉=180°,a·b=-|a||b|;若 a,b 同向,则〈a,b〉=0°,a·b=|a||b|,故“a·b =|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件. 2 → 4. (2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB=(1, → → → -2),AD=(2,1),则AD·AC=(D) A.2 B.3 C.4 D.5 → → → 解析:试题分析:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以AC=AB+AD=(1,-2)+(2, → → 1)=(3,-1)所以AD·AC=2×3+1×(-1)=5,故选 D. 一、选择题 1.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(B) A.a∥b C.|a|=|b| 解析:解法一 B.a⊥b D.a+b=a-b 由|a+b|=|a-b|,平方可得 a·b=0, 所以 a⊥b.故选 B. 解法二 根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a-b|分别为以向量 a,b 为邻 边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|a-b|,所以该平行四边形为矩形,所以 a⊥b.故选 B. 2. (2014·北京卷)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=(A) A.(5,7) C.(3,7) B.(5,9) D.(3,9) 解析:因为 2a=(4,8),所以 2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选 A. 3.设向量 a、b 满足:|a|=1,|b|=2,a·(a-b)=0,则 a 与 b 的夹角是(B) A.30° C.90° B.60° D.120° 4.(2015·福建卷)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,则实数 k 的值等于 (A) 3 A.- 2 C. 5 3 5 B.- 3 3 D. 2 解析:c=a+kb=(1+k,2+k),又 b⊥c,所以 1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得 k= 3 3 - . 2 → → → → → → 5.已知:OA=(-3,1),OB=(0,5),且AC∥OB,BC⊥AB,则点 C 的坐标为(B) 29? ? A.?-3,- ? 4? ? 29? ? B.?-3, ? 4? ? 29? ? D.?3,- ? 4? ? ? 29? C.?3, ? 4? ? 解析:设点 C(x,y), → → → AC=OC-OA=(x+3,y-1), → → ∵AC∥OB,∴x+3=0.∴x=-3. → → → → 又BC=OC-OB=(x,y-5),AB=(3,4), → → 又∵BC⊥AB, ∴3x+4(y-5)=0. 29? 29 ? ∴y= .∴C?-3, ?. 4? 4 ? → → → 1 → 6.(2015·福建卷)已知AB⊥AC,|AB|= ,|AC|=t,若 P 点是Δ ABC

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