辅助角公式在高考三角题中的应用 专题辅导 不分版本

辅助角公式在高考三角题中的应用
柳毓 对于形如 y=asinx+bcosx 的三角式,可变形如下: y=asinx=bcosx

? a 2 ? b 2 (sin x· a

a a 2 ? b2


? cos x· b a ?b
2 2

b a 2 ? b2

)。 a a ? b2
2

由于上式中的

a ?b
2

2

的平方和为 1,故可记

=cos θ ,

b a ? b2
2

=sinθ ,则

y ? a 2 ? b 2 (sin x cos ? ? cos x sin ?) ? a 2 ? b 2 sin(x ? ?)。
由此我们得到结论: asinx+bcosx= a 2 ? b2 sin( x ? ? ) , (*)其中θ 由 定。 通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为 y=Asin( ?x ? ? )+k 的形式。 下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析。 一. 求周期 例 1 (2006 年上海卷选)求函数 y ? 2 cos( x ? 解:

a a ?b
2 2

? cos? ,

b a ? b2
2

? sin ? 来确

?

) cos( x ? ) ? 3 sin 2 x 的最小正周期。 4 4

?

? ? y ? 2 cos( x ? ) sin(x ? ) ? 3 sin 2 x 4 4 ? ? sin(2 x ? ) ? 3 sin 2x 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin(2 x ? ) 6

所以函数 y 的最小正周期 T=π 。 评注:将三角式化为 y=Asin( ?x ? ? )+k 的形式,是求周期的主要途径。 二. 求最值 例 2. (2003 年北京市)已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若 x ?[0, 值和最小值。 解:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= ? 2 sin(2 x ?

?
2

] ,求 f(x)的最大

?
4

)。

由 0≤x≤ 当 2x ?

?
2

??

?
4

≤2 x ?

?
4



3? 。 4

?
4

??

?
4

,即 x=0 时,sin( 2 x ?

?
4

) 最小值 ?

? ? 3 2 ;当 2 x ? ? ,即x ? ? 时 4 2 8 2

sin( 2 x ?

?
4

) 取最大值 1。

从而 f(x)在 [0,

?
2

] 上的最大值是 1,最小值是 ? 2 。

三. 求单调区间 例 3. (2005 年江西省)已知向量 → ? (2 cos

a

x x ? x ? , tan( ? )) , → ? ( 2 sin( ? ) , 2 2 4 2 4 b

x ? tan( ? )) ,令 f ( x ) ? →? → ,求函数 f(x)在[0,π ]上的单调区间。 a b 2 4 解: f ( x) ? → · → a b
x x ? x ? x ? ? 2 2 cos sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4 x x 1 ? tan tan ? 1 x 2 x 2 x 2· 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? x x 2 2 2 2 2 1 ? tan 1 ? tan 2 2 x x x ? 2 sin cos ? 2 cos 2 ? 1 2 2 2 ? sin x ? cos x ? ? 2 sin(x ? )。 4
先由 0≤x≤? ? 反之再由

?

?
4

≤x ?

?
4

4

≤x ? ≤

?
4



?
2

5? 。 4

? 0≤x≤

?
4



?
2

≤x ?

?
4



所以 f(x)在 [0,

?
4

] 上单调递增,在 [

?

5? ? ? ≤x≤? 。 4 4

4

,? ] 上单调递减。

评注:以向量的形式给出条件或结论,是近两年来三角命题的新趋势,但最终仍要归结为 三角式的变形问题。而化为 y=Asin(ω x+ ? )+k 的形式,是求单调区间的通法。 四. 求值域 例 4. 求函数 f ( x ) ? cos(

6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x ) ? cos( ? ? 2 x ) ? 2 3 sin( ? 2 x ) 3 3 3

( x ? R, k ? Z ) 的值域。

? ? ? ? 2x ) ? cos(2k? ? ? 2x ) ? 2 3 sin( ? 2x ) 3 3 3 ? ? ? 2 cos( ? 2x ) ? 2 3 sin( ? 2x ) 3 3 ? ? ? ? ? 4[sin( ? 2x ) cos ? cos( ? 2x ) sin ] 3 6 3 6 ? ? 4 sin(2x ? )。 2 所以函数 f(x)的值域是[-4,4]。
解:

f ( x ) ? cos(2k? ?

五. 画图象 例 5. (2003 年新课程) 已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx), 画出函数 y=f(x)在区间 [ ? 的图象。 解: y ? f ( x ) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x

?
2



?
2

]上

? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 1 ? 2 sin(2 x ? )。 4
由条件 ? 列表如下

?
2

≤x≤

?
2

?? 5? 4

5? ? 3? ≤2 x ? ≤ 。 4 4 4

2x ?

? 4

?
?

??
? 3? 8
1

?
?

?
?
2
8

0

x
y
描点连线,图象略。 六. 图象对称问题

?

2
2

? 8
1

? 2 3?
8

3? 4 ? 2
2

1? 2

1? 2

例 6. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= ? (A) 2 (B) ? 2 (C)1 (D)-1

?
8

对称,那么 a=(

)

解:可化为 y ? 1 ? a 2 sin(2 x ? ? ) 。 知x? ?

?
8

时,y 取得最值 ± 1 ? a2 ,即

sin 2( ? ) ? a cos 2( ? ) ? ± 1 ? a 2 8 8 2 ? ( ?1 ? a ) ? ± 1 ? a 2 2 1 ? ( ?1 ? a ) 2 ? 1 ? a 2 2 ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ? a ? ?1 选(D)。
七. 图象变换 例 7 ( 2000 年全国)已知函数 y ?

?

?

1 3 cos 2 ? sin x cos x ? 1, x ? R。 该函数的图象可由 2 2

y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解: y ?

1 3 (1 ? cos 2 x ) ? sin 2 x ? 1 4 4

1 ? ? 5 (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) ? 2 6 6 4 1 ? 5 ? sin(2 x ? ) ? 。 2 6 4 ?
可将函数 y=sinx 的图象依次进行下述变换: (1)向左平移

? ? ,得到 y=sin(x+ )的图象; 6 6
1 ? 倍,纵坐标不变,得 y= sin(2x ? ) 的 2 6 1 1 ? 倍,横坐标不变,得 y= sin(2x+ ) 2 2 6

(2)将(1)中所得图象上各点横坐标变为原来的 图象; (3)将(2)中所得图象上各点纵坐标变为原来的 的图象;

5 1 ? 5 个单位长度,得到 y= sin(2x+ )+ 的图象。 4 2 6 4 1 3 sin x cos x ? 1 的图象。 综上,依次经过四步变换,可得 y= cos 2 x ? 2 2
(4)将(3)中所得图象向上平移 八. 求值 例 8. 已知函数 f(x)= ? 3 sin 2 x +sinxcosx。设α ∈(0,π ) ,f( 值。

3 ? 1 )= ? ,求 sinα 的 2 4 2

3 1 (1 ? cos 2x ) ? sin 2x 2 2 ? 3 =sin (2 x ? ) ? 。 3 2
解:f(x)= ?

3 1 3 ? ? ? ? )=sin( ? ? ) ? , 2 4 2 3 2 ? 1 得 sin( ? ? )= 。 3 4 ? ? 4? 又α ∈(0,π ) ? ? ? ? ( , ) 。 3 3 3 ? 3 1 > , 而 sin ? 3 2 4 ? ? 故α + ? ( , ?) ,则 3 2 15 ? cos(α + )= ? 。 4 3 ? ? sinα =sin[ (? ? ) ? ] 3 3 ? ? ? ? =sin (? ? ) cos ? cos(? ? ) sin 3 3 3 3 1 1 15 3 )? = ? ? (? 4 2 4 2 1? 3 5 = 。 8
由 f( 评注:化为一种角的一次式形式,可使三角式明晰规范。在求 sinα 时,巧用凑角法:α = (α +

? ? ? ? )- ,并且判断出α + 的范围,进而求出 cos(α + )的确切值,使整个求值过程方 3 3 3 3

向明确,计算简捷。 九. 求系数 例 9. (2005 年重庆)若函数 f(x)=

1 ? cos 2x x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2,试确定常 ? 2 2 4 sin( ? x ) 2

数 a 的值。

2 cos 2 x x x ? a sin cos 4 cos x 2 2 1 a = cos x ? sin x 2 2
解:f(x)= =

1 a2 ? sin(x ? ?) , 4 4
1 1? a
2

其中角 ? 由 sin ? =

, cos ? ?

a 1? a2

来确定。

1 a2 ? ? 4 ,解得 a= ? 15 。 4 4 十. 解三角不等式 例 10. (2005 年全国Ⅲ)已知函数 f(x)=sin2x+sin2x,x ? [0,2?] ,求使 f(x)为正值的 x 的集
由已知有 合。 解:f(x)=1-cos2x+sin2x

=1+ 2 sin(2x ? ) 。

? 4

? 2 , 由 f(x)>0,有 sin ( 2x- >) ? 4 2
则得 2kπ - <2x ? <2k? ? 故 kπ <x<kπ +

? 4

? 4

5? , 4

3? (k ? Z) 。 4

再由 x ? [0,2π ],可取 k=0,1,得所求集合是

? 3? 7? ?x 0<x< ,或?<x< 。 4 4 ?


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