江苏省扬州中学2012-2013学年高二下学期期中考试 数学 Word版含答案

江苏省扬州中学 2012—2013 学年度第二学期期中考试

高二数学(文)试卷

2013.4

注:本试卷考试时间 120 分钟,总分值 160 分

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1. 已知 i 是虚数单位,则(1-i)i=

2. 命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 3 ? 0 ”的否定是________________

3. 已知集合U ? ?1,3,5,7? , A ? ?1,3,7? , B ? ?1,7? ,则 CU (A ? B) =

4. 设 x ? R,则“x ? 1”是“x3 ? x”的
要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”.)

条件.(填“充分不必要”, “必

5. 在复平面内,复数 2 对应的点到直线 y ? x ?1的距离是 1?i

6.焦点在 x 轴上的椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1,离心率为 1 ,则实数 m 的值为

2m

2

7.一列具有某种特殊规律的数为:1, 2, 3,x , 5 则其中 x=

8.曲线 y ? 2x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程为

??|x-1|-2,|x|≤1 9.设 f (x)=???1+1 x2,|x|>1

,则 f [f (12)]=

10.若函数f(x ) ? x 2 ? | x ? a |为偶函数,则实数 a=

11.半径为 r 的圆的面积 S ?r? ? ?r2 ,周长 C ?r? ? 2?r ,若将 r 看作 ?0,??? 上的变量,则

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? ? ? r2 ? ? 2? r ,① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为 R 的球,若将 R 看作 ?0, ??? 上的变量,请你写出类似于①的式子:

(注:球体积公式为V

?

4 3

?

R

3

R 为球体半径)

12.

已知抛物线

y2

?

2 px( p

?

0) 焦点 F

恰好是双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1的右焦点,且双曲线过

点( 3a2 , 2b2 ),则该双曲线的渐近线方程为 pp

13.已知函数 f(x)= ax ? 1 在(-2,+ ? ) 内单调递减,则实数 a 的取值范围 x?2

14. 已知 a>0,b? R,函数 f ? x? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b .若﹣1≤ f ? x? ≤1 对任意 x? [0,1]恒成立,
则 a+b 的取值范围是

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分 14 分)
记关于 x 的不等式 x ? a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ? 1的解集为 Q . x ?1
(1)若 a ? 3,求 P ; (2)若 a=-1,求 P Q

16.(本题满分 14 分)
? ? 记 min x1,x2 为x1,x2 中最小的一个,
(1)求 min{ 3 ? 1, 5}的值;
? ? (2)求证: 设 x ? R, min x2 , x ? 1 ? x ? 1.

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17. (本题满分 14 分)
设f(x ) ? ax 2 ? 3x ? 6a 不等式 f (x) ? 0 的解集是(-3,2).
(1)求 f (x) ; (2)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时,求函数 f (x) 的值域.

18.(本题满分 16 分)

经销商用一辆 J 型卡车将某种水果运送(满载)到相距 400km 的水果批发市场。据测

算,J 型卡车满载行驶时,每 100km 所消耗的燃油量 u(单位:L)与速度 v(单位:km/h)

的关系近似地满足u

?

?100 ?? v

?

23

? ?

v

2

??500

?

20

0 ? v ? 50
,除燃油费外,人工工资、车损等
v ? 50

其他费用平均每小时 300 元。已知燃油价格为 7.5 元/L。

(1)设运送这车水果的费用为 y(元)(不计返程费用),将 y 表示成速度 v 的函数关系式;

(2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?

19.(本题满分 16 分) 已知椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的离心率为 23,其长轴长与短轴长的和等于 6.
(1)求椭圆 E 的方程; (2)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任意一点,
直线 PA1 、PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点 为 T.证 明:线段 OT 的长为定值.

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20. (本题满分 16 分)
设 f (x) ? x2 ? bx ? c(b 、 c ? R) .

(1)若 f (x) 在[?2, 2] 上不单调,求 b 的取值范围;

(2)若 f (x) ?| x | 对一切 x ? R 恒成立,求证: b2 ?1 ? 4c ;

(3)若对一切

x ? R ,有

f

(x

?

1) x

?

0 ,且

f

2x2 ? 3 ( x2 ?1 )

的最大值为

1,

求 b 、 c 满足的条件.

_ 班级___________座位号__________ 姓名_____________ ……内……………不……………要……………答……………题………………

江苏省扬州中学 2012~2013 学年第二学期期中考试

高二数学试卷答题纸

一、填空题(每小题 5 分,计 70 分)

成绩

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.(14 分)

14.

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16.(14 分) 17.(14 分) 18.(16 分)
19.(16 分)
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(请将 20 题解答写在答题纸反面)

答案:文
1.1+i 2. ?x ? R ,x 2 ? x ? 3 ? 0

3.{3,5}

4.充分不必要

2

3

5. 2

6. 2

7.2

8.x-y+1=0

4 9. 13

10.0

11. (

4 3

?

R3)'=4?

R

2

12. y ? ?

10 x 4

13.

a

?

1 2

14. (?1,3]

(1)P ? {x | 1 ? x ? 3};
15.
(2)(?1,2)

16. (1) 3 ? 1;(2)略 17. (1)f(x ) ? ?3x 2 ? 3x ? 18

(2)[12,18]

18. (1)y

?

?123000 ?? v

?

690

0 ? v ? 50

??120000 ?? v

?

3v 2 50

?

600

v ? 50

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19.
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20.(1)由题意 ?2 ? ?b ? 2 ,??4 ? b ? 4; 2

(2)须

x2

?

bx

?

c

?

x



x2

?

bx

?

c

?

?x

同时成立,即

??(b ? ??(b

?1)2 ? 1)2

? ?

4c 4c

? ?

0 0

,?b2

+1

?

4c



(3)因为| x ? 1 |? 2 ,依题意,对一切满足| x |? 2 的实数 x ,有 f (x) ? 0 . x

①当 f (x) ? 0 有实根时, f (x) ? 0 的实根在区间 [?2, 2] 内,设 f (x) ? x2 ? bx ? c ,所以

?

? f (?2)? 0

?4 ? 2b ? c ? 0

? ?

f

(2)?

0

? ??2

?

?

b

?

,即
2

??4 ? 2b ? c ? ???4 ? b ? 4

0 ,又

2x2 ? 3 x2 ?1

?

2

?

x

1 2?

1

?

(2,

3]

,于是,

f

(

2x2 x2

?3 ?1

)



?

2

?4 ? 2b ? 3b ? 8? 最 大 值 为 f (3) ?1 , 即 9 ? 3b ? c ? 1, 从 而 c ? ?3b ?8 . 故 ??4 ? 2b ? 3b ? 8?
???4 ? b ? 4

0 0, 即

??b ?

?

?

4 5

?b ? ?4

,解得 b ? ?4, c ? 4 .

???4 ? b ? 4

?

②当 f (x) ? 0 无实根时,? ? b2 ? 4c ? 0 ,由二次函数性质知, f (x) ? x2 ? bx ? c 在 (2,3] 上

的最大值只能在区间的端点处取得,所以,当

f

(2) ?

f

(3) 时,

f

( 2x2 ? 3) 无最大值.于是, x2 ?1

f

2x2 ? 3 ( x2 ?1 )



在最













件是

f ( 2)?

f

(3), 即 4 ? 2b ? c ? 9 ? 3b ?c, 所 以 ,

b ? ?5 . 又

2x2 ? 3 f ( x2 ?1 )

的最大值为

f (3) ?1 , 即 9 ? 3b ? c ?

1, 从 而 c ? ?3b ?8 . 由

? ? b2 ? 4c ? 0 ,得 b2 ?12 b32? 0 ? ,即 ?8 ? b ? ?4 .所以 b 、c 满足的条件为 3b ? c ?8 ? 0 且 ?5 ? b ? ?4 .综上: 3b ? c ?8 ? 0 且 ?5 ? b ? ?4.

答案:理

1.1+i

2. ?x ? R ,x 2 ? x ? 3 ? 0

3.3

4.充分不必要

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2

3

5. 2

6. 2

7.2

8.x-y+1=0

9. (

4 3

?

R3)'=4?

R

2

22 10. 3

13. b ? ?a

14. (?1,3]

11. 2k ? 1

15. (1) 3 ? 1;(2)略

16.略

17. (1)y

?

?123000 ?? v

?

690

0 ? v ? 50

??120000 ?? v

?

3v 2 50

?

600

v ? 50

12. y ? ?

10 x 4

16

2 34

18. (1) ? ? 41 ;(2) 17

19.(1)设 P( x0 , y0 )( y0 ? 0),则 x02 ? y02 ? 2 .当 x0 ? ?1 时, 直线 l1 过点 T (?1, 0),

?S(?3, 0) ,即 PS ? (?3? x0, ?y0) ,?OP? PS ? ?3x0 ? x02 ? y02 ?1.当 x0 ? ?1时, 直

线 l1 过点 T (?1, 0) ,?直线 l1 的斜率 k1

?

y0 ,?直线 x0 ?1

OS

的斜率 k

??

x0 ?1 ,其方程为 y0

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y

?

?

x0 ?1 y0

x

,? S(?3,

3x0 ? y0

3 )

,即

PS

?

(?3 ?

x0 ,

3x0 ? y0

3

?

y0 )



?OP? PS ? ?3x0 ? x02 ? 3x0 ? 3? y02 ? 3? 2 ?1 . 故 “ 如 果 直 线 l1 过 点 T (? 1, 0 ), 那 么

O P? P S? 1”为真命题.

(2)逆命题为:如果 OP ? PS ? 1,那么直线 l1 过点T (?1, 0) .逆命题也为真命题,以下给出

证 明 : 设 S(?3,t), P(x0, y0 )( y0 ? 0) , 则 PS ? (?3? x0,t ? y0) , OP ? PS ? 1 ,

? ?3x0

?

x02

? ty0

?

y02

? 1,又 x02

?

y02

?

2 ,?t=

3 ? 3x0 y0

.当

x0

?

?1 时,直线 l1 的方程



x

?

?1 ,显然过点 (?1, 0)

;当

x0

?

?1 时,直线

OS

的斜率 k

?

x0 ?1 ? y0

,?直线 l1

的方程为

y

?

y0

?

y0 (x x0 ?1

?

x0 ) ,令

y

?

0,得 x

?

?1 ,?直线 l1 过定点 (?1, 0) .综上,直线 l1 恒过

定点 (?1, 0) .

20.[解](1)选取 a1 ? (x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) .
所以 x=2b,从而 x=4.
(2)证明:取 a1 ? (x1, x1) ?Y .设 a2 ? (s, t) ?Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 (s ? t)x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1,
故 1?X.
假设 xk ? 1 ,其中1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn .
选取 a1 ? (x1, xn) ?Y ,并设 a2 ? (s, t) ?Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 2,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾.
所以 x1=1.
(3)[解法一]猜测 xi ? qi?1 ,i=1, 2, …, n. 记 Ak ? {?1, 1, x2, ?, xk},k=2, 3, …, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P.
任取 a1 ? (s, t) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1且 t ? ?1时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t) ? (?1, xk ?1) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与 s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
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现用数学归纳法证明: xi ? qi?1 ,i=1, 2, …, n.
当 n=2 时,结论显然成立;
假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2, ?, xk }有性质 P,则 xi ? qi?1 ,i=1, 2, …, k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2, ?, xk , xk ?1}有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2, ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} .

取 a1 ? (xk?1, q) ,并设 a2 ? (s, t) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t
中有且只有一个为-1.
若 t ? ?1,则 1,不可能; 所以 s ? ?1, xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? qk ?1 ,所以 xk ?1 ? qk .
综上所述, xi ? qi?1 xi ? qi?1 ,i=1, 2, …, n.

[解法二]设 a1

? (s1, t1) , a2

? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2

?

0 等价于

s1 t1

? ? t2 s2

.



B

?

{

s t

|

s

?

X

,t

?

X

,|

s

|?|

t

|}

,则数集

X

具有性质

P

当且仅当数集

B

关于

原点对称.

注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {?x2, ? x3, ?, ? xn}共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数.

由于

xn xn?1

?

xn xn?2

???

xn x2

?

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

? ? ? ? ? ? ? ?? xn
xn?1

xn xn?2

xn x2

, xn

xn?1

x1

xn?2

xn?1 xn?3

xn?1 x1

……

x2 x1

? ? ? ? 注意到

xn x1

xn?1 x1

? ? ? ? x2
x1

,所以 xn
xn?1

xn?1 xn?2

x2 ,从而数列的通项公式为
x1

xk

?

x ( ) x2 k ?1 1 x1

? qk ?1 ,k=1, 2,

…, n.

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