高中数学基础知识总汇


高中数学基础知识归类 ——献给高三考生
一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如:{x | y ? lg x} —函数的定义域;{ y | y ? lg x} —函数的值域; {( x, y) | y ? lg x} —函 数图象上的点集. 2.集合的性质: ①任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A . ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A . ③空集是任何非空集合的真子集;注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况 如: A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R? ? ? ,求 a 的取值.(答: a ? 0 )

(A ? B) ?C ? A? (B ? C) ④ CU ( A ? B) ? CU A ? CU B , CU ( A ? B) ? CU A ? CU B ; ; (A ? B) ?C ? A? (B ? C) .
⑤ A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R . ⑥ A ? B 元素的个数: card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) . ⑦含 n 个元素的集合的子集个数为 2n ;真子集(非空子集)个数为 2 n ? 1 ;非空真子集个数为 2n ? 2 . 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如:已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在区间 [ ?1,1] 上至少存在一个实数 c ,使 f (c) ? 0 ,求实数 p 的 取值范围.(答: (?3, ) ) 4.原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ;逆否命题: ?q ? ?p ;互为逆否的两个命题是等价的. 如:“ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 条件.(答:充分非必要条件) 5.若 p ? q 且 q ?? p ,则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件). 6.注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p ? q 的否定是 p ? ?q ;否命题是 ? p ? ? q . 命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ”;“ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”. 如:“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,则 a ? b 是奇数” 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是奇数”. 二.函数 1.①映射 f : A ? B 是:? “一对一或多对一”的对应;?集合 A 中的元素必有象且 A 中不 同元素在 B 中可以有相同的象;集合 B 中的元素不一定有原象(即象集 ? B ). ②一一映射 f : A ? B : ?“一对一”的对应;? A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象. 2.函数 f : A ? B 是特殊的映射.特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集!据此可知函数图像与 x 轴 的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ? 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 ? 0 ,底数 ? 0 且 ? 1 ;零指数幂的底数 ? 0 );实际问题有意义;若 f ( x) 定义域为 [a, b] ,复合函数 f [ g ( x)] 定义 域由 a ? g ( x) ? b 解出;若 f [ g ( x)] 定义域为 [a, b] ,则 f ( x) 定义域相当于 x ?[a, b] 时 g ( x) 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类);②逆求法(反函数法);③换元法(特别注意新元的范围).
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3 2

④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑤不等式法⑥单调性法;⑦数形结合:根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域; ⑧判别式法(慎用) :⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法:?待定系数法(已知所求函数的类型); ?代换(配凑)法; ?方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性 ?函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等; ?若 f ( x) 是偶函数,那么 f ( x) ? f ( ? x) ? f (| x |) ;定义域含零的奇函数必过原点( f (0) ? 0 ); ?判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或
f (? x) f ( x)

? ?1( f ( x) ? 0) ;

?复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. 注意:若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的函数有无数个 (如 f ( x) ? 0 定义域关于原点对称即可). ?奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; ?确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ?复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒:求单调区间时注意定义域) 如:函数 y ? log 1 ( ? x 2 ? 2 x) 的单调递增区间是 _____________ .(答: (1, 2) )
2

8.函数图象的几种常见变换 ?平移变换:左右平移---------“左加右减”(注意是针对 x 而言) ; 上下平移----“上加下减”(注意是针对 f ( x ) 而言). ?翻折变换: f ( x) ?| f ( x) | ; f ( x) ? f (| x |) . ?对称变换:①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证 C1 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 C2 上,反之亦然. ③函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 的图像关于直线 x ? 0 ( y 轴)对称; 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图像关于直 线 y ? 0 ( x 轴)对称; ④若函数 y ? f ( x) 对 x ? R 时, f ( a ? x) ? f ( a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) 恒成立 , 则 y ? f ( x) 图像关 于直线

x ? a 对称;
⑤若 y ? f ( x) 对 x ? R 时, f (a ? x) ? f (b ? x) 恒成立,则 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? ⑥函数 y ? f (a ? x) , y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ?
b?a 2 a?b 2

对称;

对称(由 a ? x ? b ? x 确定); 对称;
f ( x) ? A ? f ( x) 2

⑦函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ? ⑧函数 y ? f ( x) , y ? A ? f ( x) 的图像关于直线 y ?
A 2

a?b 2

对称(由 y ?

确定);

⑨函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 的图像关于原点成中心对称;函数 y ? f ( x) , y ? n ? f (m ? x) 的图像关于点 ( , ) 对称;
2 2 m n

⑩函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ?1 ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称;曲线 C1 : f ( x, y ) ? 0 ,关于
y ? x? a , y ? ? x ? a 的对称曲线 C2 的方程为 f ( y ? a, x ? a) ? 0 (或 f (? y ? a, ? x ? a) ? 0 ;

曲线 C1 : f ( x, y ) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线 C2 方程为: f (2a ? x, 2b ? y ) ? 0 .
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9.函数的周期性:?若 y ? f ( x) 对 x ? R 时 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 恒成立,则 f ( x) 的 周 期 为2 | a | ; ?若 y ? f ( x) 是偶函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则 f ( x ) 的周期为 2 | a | ; ?若 y ? f ( x) 奇函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则 f ( x ) 的周期为 4 | a | ; ?若 y ? f ( x) 关于点 ( a,0) , (b,0) 对称,则 f ( x ) 的周期为 2 | a ? b | ; ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a , x ? b(a ? b) 对称,则函数 y ? f ( x) 的周期为 2 | a ? b | ; ? y ? f ( x) 对 x ? R 时, f ( x ? a) ? ? f ( x) 或 f ( x ? a ) ? ? 10.对数:? loga b ? logan bn (a ? 0, a ? 1, b ? 0, n ? R? ) ; ?对数恒等式 aloga N ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) ; ? loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ;loga
n log a M ?

1 f ( x)

,则 y ? f ( x) 的周期为 2 | a | ;

M N

? loga M ? loga N;log a M n ? n log a M ;
log b N log b a

1 n

lo g ;?对数换底公式 log a N ? a M

(a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1) ;

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 ? loga1 a2 ? loga2 a3 ??? logan?1 an ? loga1 an . (以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a2 ,?an ? 0 且 a1 , a2 ,?an 均不等于 1 ) 11.方程 k ? f ( x) 有解 ? k ? D ( D 为 f ( x) 的值域); a ? f ( x) 恒成立 ? a ? [ f ( x)]最大值 , a ? f ( x) 恒成立 ? a ? [ f ( x)]最小值 . 12.恒成立问题的处理方法:?分离参数法(最值法); ?转化为一元二次方程根的分布问题; 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”: 一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 14.二次函数解析式的三种形式: ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;②顶点式:

f ( x)? a( x ? 2 h ) ? k( a ? ; 0 ) ③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 ? ? 0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16.复合函数:?复合函数定义域求法:若 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域可由 不等式 a ? g ( x) ? b 解出;若 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x ) 的定义域,相当于 x ?[a, b] 时,求

g ( x) 的值域;?复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论:?定义域上的单调函数必有反函数;?奇函数的反函数 也是奇函数;?定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;?周期函数不存在反函数; ?互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性;? y ? f ( x) 与 y ? f ?1 ( x) 互为 反函数,设 f ( x) 的定义域为 A ,值域为 B ,则有 f [ f ?1 ( x)] ? x( x ? B) , f ?1[ f ( x)] ? x( x ? A) . 18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:

f ( u)? g ( x) u ?

? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 h ( x ? ) (或 0 ? 0 ) ( a ? u ? b) ? ? (或 ? ); ? f (b) ? 0 ? f (b) ? 0
c

19.函数 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc ) 的图像是双曲线:①两渐近线分别直线 x ? ? d (由分母为零确定)和
cx ? d

直线 y ? a (由分子、分母中 x 的系数确定);②对称中心是点 (? d , a ) ;③反函数为 y ? b ? dx ;
c c c cx ? a

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20.函数 y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) :增区间为 (??, ?
x

b

b a

],[

b a

, ??) ,减区间为 [?,

b a

,0),(0,

b a

].
1

如:已知函数 f ( x) ? 三.数列

ax ? 1 x?2

在区间 (?2, ??) 上为增函数,则实数 a 的取值范围是 _____ (答: ( , ??) ).
2

? ?S1 (n ? 1) 1.由 Sn 求 an , an ? ? 注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中,若不符合要 * ? ?Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N )
单独列出.如:数列 {an } 满足 a1 ? 4, Sn ? Sn?1 ? an?1 ,求 an (答: an ?
3 5

?

4( n ? 1) ). 3 ? 4n ?1 ( n ? 2)

2.等差数列 {an } ? an ? an?1 ? d ( d 为常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N *)

? an ? an ? b(a ? d , b ? a1 ? d ) ? Sn ? An2 ? Bn( A ? , B ? a1 ? ) ;
2 2

d

d

3.等差数列的性质: ① an ? am ? (n ? m)d , d ?

am ? an m?n



② m ? n ? l ? k ? am ? an ? al ? ak (反之不一定成立);特别地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 有 am ? an ? 2a p ; ③若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan ? tbn } ( k 、 t 是非零常数)是等差数列; ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? 仍是等差数列; ⑤等差数列 {an } ,当项数为 2 n 时, S偶 ? S奇 ? nd , S 奇 ? a n ;项数为 2 n ? 1 时,
S偶 a n ?1

, S2 n ?1 ? (2n ? 1)an ,且 S 奇 ? n ; An ? f (n) ? an ? f (2n ? 1) . S偶 ? S ?中 a ? na ( n? * N ) 奇
S偶 n ?1
Bn bn

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式

?an ? 0 ?an ? 0 (或 ? ).也可用 Sn ? An2 ? Bn 的二次函数关系来分析. ? ?an ?1 ? 0 ?an ?1 ? 0
⑦若 an ? m, am ? n(m ? n) , 则 am? n ? 0 ;若 Sn ? m, Sm ? n (m ? n ) , 则 Sm? n ? ?(m ? n) ; 若 Sm ? Sn (m ? n) , 则 S m+n =0 ; S 3 m=3(S 2m - S m ) ; Sm? n ? Sm ? Sn ? mnd .
2 ? an ?1an ?1 (n ? 2, n ? N *) ? an ? a1q n ?1 . 4.等比数列 {an } ? n ?1 ? q(q ? 0) ? an a 5.等比数列的性质 n

a

① an ? amqn?m , q ? n ? m an ;②若 {an } 、 {bn } 是等比数列,则 {kan } 、 {anbn } 等也是等比数列;
am

③ S n? ? ? a 1 (1 ? q n )
? 1? q ?

?na 1 (q ? 1)

?na 1 (q ? 1) ? ;④ m ? n ? l ? k ? am an ? al ak (反之不一定成 ? ? a1 n a1 a 1 ?a n q q ? (q ? 1) ? (q ? 1) ?? 1? q 1? q ? 1? q

立); Sm? n ? Sm ? q m Sn ? Sn ? q n Sm . ⑤等比数列中 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? (注:各项均不为 0) 仍是等比数列. ⑥等比数列 {an } 当项数为 2 n 时,
S偶 S奇

? q ;项数为 2 n ? 1 时,

S 奇 ? a1 S偶

?q.

6.①如果数列 {an } 是等差数列,则数列 { Aan } ( A an 总有意义)是等比数列;如果数列 {an } 是等比数列, 则数列 {loga | an |}(a ? 0, a ? 1) 是等差数列;
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②若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常数数列; ③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差是原两个等 差数列公差的最小公倍数;如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列 是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项; ④三个数成等差的设法: a ? d , a, a ? d ;四个数成等差的设法: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ; 三个数成等比的设法: , a , aq ;四个数成等比的错误设法:
q a a q
3

, , aq, aq 3 (为什么?)
q

a

7.数列的通项的求法:?公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.

?S1 ,(n ? 1) ?已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an 用作差法: an ? ? . ?Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)
? ? f (1),(n ? 1) ?已知 a1 ? a2 ?? ? an ? f (n) 求 an 用作商法: an ? ? f ( n ) ,(n ? 2) . ? ? f ( n ? 1)
?若 an ?1 ? an ? f (n) 求 an 用迭加法. ?已知

an ?1
an

? f ( n) ,求 an 用迭乘法.

?已知数列递推式求 an ,用构造法(构造等差、等比数列):①形如 an ? kan ?1 ? b , an ? kan?1 ? bn ,

an ? kan?1 ? a ? n ? b ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,
再求 an .②形如 an ?
an ?1 kan ?1 ? b

的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法:①公式法:等差数列,等比数列求和公式;②分组求和法;③倒序相加;④错位 相减;⑤分裂通项法.公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1) ; 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ;
2 6
3 13 ? 23? 33 ??? n ? [

1

1

n(n ? 1 ) 2
1

; ]2 1 ? 3 ? 5 ? ? ? n ? n2 ;常见裂项公式
? [
2 n ?1 ? n
1 1

1 n ( n ? 1)
1 n!

?
1

1 n

?

1 n ?1



1 n( n ? k )

? ( ?
k n

1

1

1 n?k

);

n ( n ? 1)( n ? 1)

2 n ( n ? 1)

?

1 ( n ? 1)( n ? 2)

];

n ( n ? 1)!

?

?

( n ? 1)!

常见放缩公式: 2( n ? 1 ? n ) ?

?

1 n

?

2 n ? n ?1

? 2( n ? n ? 1) .

9 “分期付款”、“森林木材”型应用问题 ?这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. ?利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金 p 元,每期利率为 r ,则 n 期 后本利和为: Sn ? p(1 ? r ) ? p(1? 2r ) ? ? p (1? nr ) ? p (n ?
n(n ? 1) 2

;②复利问题:按揭贷款的分 r ) (等差数列问题)

期等额还款(复利)模型: 若贷款(向银行借款) p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还 款日,如此下去,分 n 期还清.如果每期利率为 r (按复利) ,那么每期等额还款 x 元应满足:

p(1 ? r )n ? x(1 ? r )n?1 ? x(1 ? r )n?2 ? ? ? x(1 ? r ) ? x (等比数列问题).
四.三角函数 1. ? 终边与 ? 终边相同 ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) ; ? 终边与 ? 终边共线 ? ? ? ? ? k? (k ? Z ) ; ? 终边 与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? k? (k ? Z ) ; ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称

? ? ? ? ?? ? 2k ? (k ? Z) ; ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) ;
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? 终边与 ? 终边关于角 ? 终边对称 ? ? ? 2? ? ? ? 2k? (k ? Z ) .
2.弧长公式: l ?| ? | r ;扇形面积公式: S扇形 ? 1 lr ? 1 | ? | r 2 ; 1 弧度( 1rad )≈ 57.3 ? .
2 2

3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀:“一全二正弦,三切四余弦”. 注意: tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 ; tan75? ? cot15? ? 2 ? 3 ;

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4.三角函数同角关系中(八块图):注意“正、余弦三兄妹 sin x? co xs 、 sin x ? cos x ”的关系. 如 (sin x ? cos x)2 ? 1 ? 2sin x cos x 等. 5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括; (注意:公式中始终视 ) ...? .为锐角 ... . 6.角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.
?1

1

1
2 2

0

0
?1

1 1

? 2

0
?1

0
?1

? 2

sin ? ? cos ?

sin ? ? cos ?

如: ? ? (? ? ? ) ? ? ; 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ; 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ; ? ? ? ? 2 ?
?? ?
2

? ??
2



? (? ?

?
2

? “ 1 ”的变换: 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? tan x ? cot x ? 2sin 30? ? tan 45? ; )? ( ? ? 等; )
2

7.重要结论: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) 其中 tan ? ? ) ;重要公式 sin2 ? ? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ?
b a

2

1? c o s ?2 2

; tan

?
2

??

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?
2

; 1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 ?| cos ? sin | .
2 2 2 2

?

?

?

?

万能公式: sin 2? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

; cos 2? ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?
2

; tan 2? ?
??

2 tan ? 1 ? tan ?
2

.
k? ? ?

8.正弦型曲线 y ? A sin(? x ? ? ) 的对称轴 x ?

k? ?

?
2

?
k? ? ?

(k ? Z ) ;对称中心 (

?
?
2

,0)(k ? Z ) ;

余弦型曲线 y ? A cos(? x ? ? ) 的对称轴 x ?

?

(k ? Z ) ;对称中心 (

k? ?

??

?

,0)(k ? Z ) ;

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三 内角和等于 180? ,一般用正、余弦定理实施边角互化;正弦定理: 余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,cos A ?
b ?c ?a 2bc
2 2 2

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? 2R ;

?

(b ? c ) ? a 2bc

2

2

?1;
2S?ABC a?b?c

正弦平方差公式: sin 2 A ? sin 2 B ? sin( A ? B)sin( A ? B) ;三角形的内切圆半径 r ? 面积公式: S? ? ab sin C ?
2 1 abc 4R



;射影定理: a ? b cos C ? c cos B .

10. ?ABC 中,易得: A ? B ? C ? ? ,① sin A ? sin( B ? C ) , cos A ? ? cos( B ? C ) , tan A ? ? tan( B ? C ) . ② sin
A 2

? cos

B?C 2

, cos

A 2

? sin
?
2

B?C 2

, tan

A 2

? cot

B?C 2

.

③ a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B

④锐角 ?ABC 中, A ? B ?

, sin A ? cos B,cos A ? cos B , a 2 ? b 2 ? c 2 ,类比得钝角 ?ABC 结论.

⑤ tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C . 11.角的范围:异面直线所成角 (0, ] ;直线与平面所成角 [0, ] ;二面角和两向量的夹角 [0, ? ] ;直线
2 2

?

?

的倾斜角 [0, ? ) ; l1 到 l2 的角 [0, ? ) ; l1 与 l2 的夹角 (0, ] .注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
2

?

五.平面向量 1.设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) . (1) a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;(2) a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

?

?

? ?

?

?

? ?

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2.平面向量基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向 量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

??

?? ?

?

?

? ?

? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?| a || b | cos? ? x1 x2 ? y1 y2 ;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长度

? ? ? ? ? ? ? a ? b x1 x2 ? y1 y2 与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; a 在 b 的方向上的投影 | a | cos? ? ? ? . 2 2 |b| x2 ? y2
??? ??? ? ??? ? ???? AB 4.三点 A 、 B 、 C 共线 ? AB 与 AC 共线;与 AB 共线的单位向量 ? ??? .
| AB |

? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b 5.平面向量数量积性质:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 cos? ? ? ? ? ;注意: 2 2 | a || b | x12 ? y12 x2 ? y2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a, b? 为锐角 ? a ? b ? 0 , a, b 不同向; ? a, b? 为直角 ? a ? b ? 0 ; ? a, b? 为钝角 ? a ? b ? 0 , a, b 不反向.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6. a ? b 同向或有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b |? | a | ? | b | ?| a ? b | ; a ? b 反向或有 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?| a ? b | ?| a | ? |b ? | a | ? | b| ? | a| ? ba ? b | 不共线 ? | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | . ;
7.平面向量数量积的坐标表示:?若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ;

?

?

? ?

??? ? | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;

?若 a ? ( x, y) ,则 a ? a ? a ? x2 ? y2 .

?

?2

? ?

? ? 0 ;当点 P 在线段 P 8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点 P 在线段 P 1P 2 上时, 1P 2 (或 P 2P 1 )
延长线上时, ? ? ?1 或 ?1 ? ? ? 0 .②分点坐标公式:若 PP ? ? PP2 ;且 P 1 ( x1 , y1 ) , P ( x, y ) P 2 ( x2 , y2 ) ; 1
x ? ? x2 x ?x ? ? x? 1 x? 1 2 ? ? ? ? 1? ? 2 (? ? ?1) , 中点坐标公式: ? (? ? 1) . 则? ? y ? y1 ? ? y2 ? y ? y1 ? y2 ? ? 1? ? 2 ? ?

??? ?

????

③ P1 , P , P2 三点共线 ? 存在实数 ? 、 ? 使得 OP ? ?OP 1 ? ? OP 2 且 ? ? ? ? 1.
??? ??? ??? ??? ??? ? ???? AB AC AB AC 9.三角形中向量性质:① AB ? AC 过 BC 边的中点: ( ??? ? ??? ) ? ( ??? ? ??? ) ;
| AB | | AC | | AB | | AC |

??? ?

????

???? ?

② PG ? ( PA ? PB ? PC) ? GA ? GB ? GC ? 0 ? G 为 ?ABC 的重心;
3

??? ?

1

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PA ? PC ? P 为 ?ABC 的垂心;

??? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB AC ④ | BC | PA? | CA | PB? | AB | PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的内心; ? ( ??? ? ??? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 内心.
| AB | | AC |

⑤设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

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S?A O B?

1 2

1 . AS?ABC ? | AB || AC | sin A ? 1 | AB |2 | AC |2 ?( AB ? AC)2 . x Ay ? B x By 2
2

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? ⑥ O 为 ?ABC 内一点,则 S?BOC OA ? S?AOC OB ? S?AOB OC ? 0 .
? ? ? x? ? x ? h ???? ? 按a ?( h, k ) 平移 按a ?( h, k ) 平移 10. P( x, y) ????? ( PP? ? a ); y ? f ( x) ????? ? P?( x?, y?) ,有 ? ? y ? k ? f ( x ? h) . ? y? ? y ? k

六.不等式 1.掌握课本上的几个不等式性质,注意使用条件,另外需要特别注意: ①若 ab ? 0 , b ? a ,则
1 a

? .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
b

1

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论. 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法.
2 2 3.掌握重要不等式,(1)均值不等式:若 a, b ? 0 ,则 a ? b ? a ? b ? ab ?

2

2

2 (当且仅当 a 1?1 a b

? b时

取等号)使用条件:“一正二定三相等 ” 常用的方法为:拆、凑、平方等;(2) a, b, c ? R ,

a ? b ? c 时,取等号);(3)公式注意变形如: a 2 ? b2 ? c 2 ? a b? b c ? (当且仅当 ca
ab ? (
a?b 2

a ?b 2

2

2

?(

a?b 2

)2 ,

)2 ;(4)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ?
a

b

b?m a?m

(真分数的性质);

4.含绝对值不等式: a , b 同号或有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b |? | a | ? | b | ?| a ? b | ; a , b 异号或有 0 . b ?| a ? b | ?| a | ? |b ? | a | ? | b| ? | a| ?

|

5.证明不等式常用方法: ?比较法:作差比较: A ? B ? 0 ? A ? B .注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小; ?综合法:由因导果; ?分析法:执果索因.基本步骤:要证… 需证…,只需证…; ?反证法:正难则反; ?放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有: ①添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ?| a | ; n(n ? 1) ? n . ②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,如: n(n ? 1) ? ④利用常用结论: 10
k ?1 ? k
1 k

n ? (n ? 1) 2
1

.

?
1

k ?1 ? k

?

1 2 k
1


?
1 k ?1

20

?

1 k ?1

?

( k ? 1) k

?
1

1 k
2

?

( k ? 1) k

? (程度大);
k

1

30

1 k
2

?

1 k ?1
2

? (

1

2 k ?1

?

1 k ?1

) (程度小);

?换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如:知 x2 ? y 2 ? a2 ,可设 x ? a cos? , y ? a sin ? ;知 x2 ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos ? , y ? r sin ?

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( 0 ? r ? 1 );知

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? ;已知

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan ? .

?最值法,如: a ? f ( x)最大值 ,则 a ? f ( x) 恒成立. a ? f ( x)最小值 ,则 a ? f ( x) 恒成立. 七.直线和圆的方程 1.直线的倾斜角 ? 的范围是 [0, ?) ; 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 k ? tan ? (? ? ) (如右图):
2

k

?

O

? ? ?

3.直线方程五种形式: ?点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线 ?斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包括垂直于 x 轴的直线. ?两点式:已知直线经过 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 两点,则直线方程为 线. ?截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b ,则直线方程为 ?
a x y b
y ? y1 y2 ? y1

?

x ? x1 x2 ? x1

,它不包括垂直于坐标轴的直

? 1 ,它不包括垂直于坐标 轴的直线和过

原点的直线. ?一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为 0)的形式. 提醒:?直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?) ?直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0 .直线两截距相等 ? 直线的斜率为 ?1或直线过 原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点. ?截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 4.直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系: ?平行 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 (斜率)且 B1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距); ?相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ;(3)重合 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 . 5.直线系方程:①过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 .交点的直线系方程可设 为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ;②与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程可设为

A x? B y ? m ? 0( m ? ;③与直线 )c l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程可设为 Bx ? Ay ? n ? 0 .
6.到角和夹角公式:? l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角 ? ,

? ? ( 0? , 且 ) tan ? ?

k2 ? k1 1 ? k1k 2

(k1k2 ? ?1) ;
?
k 2 ? k1 1 ? k1k 2

? l1 与 l2 的夹角是指不大于直角的角 ? ,? ? (0, ] 且 tan ? ?|
2

| (k1k2 ? ?1) .

7.点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离公式 d ? Ax0 ? By0 ? C ;
A2 ? B 2

两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离是 d ? 8.设三角形 ?ABC 三顶点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则重心 G(

C1 ? C2 A2 ? B 2

.

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ); 3 3

9.有关对称的一些结论 ?点 ( a, b) 关于 x 轴、 y 轴、原点、直线 y ? x 的对称点分别是 (a, ?b) , (?a, b) , (?a, ?b) , (b, a ) . ?曲线 f ( x, y ) ? 0 关于下列点和直线对称的曲线方程为:①点 ( a, b) : f (2a ? x, 2b ? y ) ? 0 ;
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② x 轴: f ( x, ? y) ? 0 ;③ y 轴: f (? x, y ) ? 0 ;④原点: f (? x, ? y) ? 0 ;⑤直线 y ? x : f ( y, x) ? ;⑥直线 0 y ? ?x : f (? y, ? x) ? 0 ; ⑦直线 x ? a : f (2a ? x, y) ? 0 . 10.?圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . ?圆的一般方程: D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程 .特别提醒:只有当 x2 ? y 2 ? D x? E y ? F 0 ?( 2 D ? 2 E4 ? F 0 ? )

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为 (? , ? ) ,半径为
2 2

D

E

1 2

D ? E ? 4 F 的圆(二元二次方程

2

2

Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆 ? A ? C ? 0 ,且 B ? 0, D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 ).
? x ? a ? r cos? ?圆的参数方程: ? ( ? 为参数),其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r .圆的参数方程主要应用是 ? y ? b ? r sin ?
三角换元: x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ? ; x2 ? y 2 ? t 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) . ?以 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 为直径的圆的方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ; 11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 P( x0 , y0 ) 及圆的方程
2 2 .① ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆外; ( x ? a) ? ( y ? b2) ? r

② ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆内;③ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆上. 12.圆上一点的切线方程:点 P( x0 , y0 ) 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,则过点 P 的切线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 ; 过圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y0 ) 切线方程为 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 . 13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 x 轴垂直的直线. 14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 决弦长问题.① d ? r ? 相离 ② d ? r ? 相切 ③ d ? r ? 相交 15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为 d , 两圆的半径分别为 r , R : d ? R ? r ? 两圆相离; d ? R ? r ? 两圆相外切; | R ? r |? d ? R ? r ? 两 圆相交; d ?| R ? r |? 两圆相内切; d ?| R ? r |? 两圆内含; d ? 0 ? 两圆同心. 16.过圆 C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的圆(相交弦)系方程 为 ( x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 . ? ? ?1 时为两圆相交弦所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 18.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写出目标 函数(判断几何意义);(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 八.圆锥曲线方程 1.椭圆焦半径公式:设 P( x0 , y0 ) 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任一点,焦点为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) , a 2 b2

则 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 (“左加右减”); 2.双曲线焦半径:设 P( x0 , y0 ) 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任一点,焦点为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) , a 2 b2

则:?当 P 点在右支上时, | PF1 |? a ? ex0 ,| PF2 |? ?a ? ex0 ;?当 P 点在左支上时, | PF1 |? ?a ? ex0 ,

| PF2 |? a ? ex0 ;( e 为离心率).另:双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? ? 0. 的渐近线方程为 a 2 b2 a2 b2
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3.抛物线焦半径公式:设 P( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上任意一点, F 为焦点,则

| PF |? x0 ?

p 2

; y 2 ? ?2 px( p ? 0) 上任意一点, F 为焦点,则 | PF |? ? x0 ?
b

p 2

.

4.共渐近线 y ? ? x 的双曲线标准方程为
a

x2 y 2 ? ? ? ( ? 为参数, ? ? 0 ). a 2 b2

5.两个常见的曲线系方程: ?过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y ) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).?共焦点的有心圆锥曲线系方程

x2 y2 ? ? 1 ,其中 a 2 ? k b2 ? k

k ? max{a2 , b2 } .当 k ? min{a 2 , b2 } 时,表示椭圆;当 min{a2 , b2 } ? k ? max{a2 , b2 } 时,表示双曲线.
6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或 AB ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x 2 ] ? 1 ?

? y ? kxc ? b 1 消去 | y1 ? y2 | (弦端点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由方程 ? 2 k ? F ( x, y ) ? 0

2 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想;

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 双曲线

2b a

2

,焦准距为 p ?

b

2

c

,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离为 b ; a 2 b2

8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax 2 ? By 2 ? 1 (对于椭圆 A ? 0, B ? 0 ); 9.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦(过焦点的弦)为 AB , A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则有如下结论:
2

? | AB |? x1 ? x2 ? p ;? x1 x2 ?

p

2

4

, y1 y2 ? ? p 2 ; ? ??? ? ??? ?
| AF | | BF |

1

1

2 p

.

10.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左焦点弦 | AB |? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ,右焦点弦 | AB |? 2a ? e( x1 ? x 2 ) . a 2 b2
2 y0 , y0 ) ,以简化计算. 2p

11.对于 y 2 ? 2 px( p ? 0) 抛物线上的点的坐标可设为 (

12.圆锥曲线中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 点的弦所在直线斜率 k ? ?

x2 y2 ? ? 1 中, 以 P( x0 , y0 ) 为中 a2 b2

b 2 x0 b 2 x0 x2 y2 ? ? 1 k ? P ( x , y ) ;在双曲线 中 , 以 为中点的弦所在直线斜率 ;在抛物 0 0 a2 b2 a 2 y0 a 2 y0
p y0

线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k ?

.

13.求轨迹方程的常用方法: ?直接法:直接通过建立 x 、 y 之间的关系,构成 F ( x, y ) ? 0 ,是求轨迹的最基本的方法. ?待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ?代入法(相关点法或转移法). ?定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. ?交轨法(参数法):当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑
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将 x 、 y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 14.解析几何与向量综合的有关结论:

? ? n ?给出直线的方向向量 u ? (1, k ) 或 u ? ( m, n) .等于已知直线的斜率 k 或 ;
m

?给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; ?给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; ?给出 AP ? AQ ? ? (BP ? BQ) ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; ?给出以下情形之一: ① AB // AC ;

?

??? ? ????

??? ? ??? ?

且 ? ? ? ? 1 ;使 OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线. ??? ??? ??? ? OA ? ? OB ?给出 OP ? ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, ? 为定比,即 AP ? ? PB
1? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? ②存在实数 ? ,使 AB ? ? AC ; ③若存在实数 ? , ? ,

?给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是钝角或 反向共线,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角或同向共线.

??? ??? ? ???? MA MB ? ) ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线. ?给出 ? ( ??? ? ???
| MA | | MB |

?在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形. ?在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形. ⑴在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点). ⑵在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角形 三条中线的交点). ⑶在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形的垂心 是三角形三条高的交点). ??? ??? AB AC ? ⑷在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) (? ? R ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心.
| AB | | AC |
2 2 2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

⑸在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点). ⑹在 ?ABC 中,给出 AD ? ( AB ? AC ) ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线.
2

????

1

??? ? ????

九.直线、平面、简单几何体 1.从一点 O 出发的三条射线 OA 、 OB 、 OC .若 ?AOB ? ?AOC ,则点 A 在平面 BOC 上的射影在 ?B O C的平分线上; 2.立平斜三角余弦公式:(图略) AB 和平面所成的角是 ? 1 , AC 在平面内, AC 和 AB 的射影 AB1 成 ? 2 , 设 ?BAC ? ?3 ,则 cos?1 cos? 2 ? cos?3 ; 3.异面直线所成角的求法:?平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. ?补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在 于容易发现两条异面直线间的关系; 4.直线与平面所成角:过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.
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5.二面角的求法:?定义法;?三垂线法;?垂面法;?射影法:利用面积射影公式 S射 ? S斜 cos? 其中 ? 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角; 6.空间距离的求法:?两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂 线,然后再进行计算.?求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. ?求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键; 二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解. ? ? 7.用向量方法求空间角和距离:?求异面直线所成的角:设 a 、 b 分别为异面直线 a 、 b 的方向向量,

? ? ? ? 则两异面直线所成的角 ? ? arccos ? ? .?求线面角:设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 ? 的
| a?b | | a |?|b|

? ? ? 法向量,则斜线 l 与平面 ? 所成的角 ? ? arcsin ? ? . ?求二面角(法一)在 ? 内 a ? l ,在 ? 内
|l?n| |l |?| n|

? ? ? ?? ? ?? ? a?b b ? l ,其方向如图(略),则二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arccos ? ? .(法二)设 n1 , n2 是二面角
| a |?|b|

? ? l ? ? 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角 ? ? l ? ? 的平面 ?? ?? ?
2 ? .(4)求点面距离:设 n 是平面 ? 的法向量,在 ? 内取一点 B ,则 A 到 ? 的距离 角 ? ? arccos ??1 ??

n ?n

?

| n1 | ? | n2 |

??? ? ? ??? ? ? ??? ? | AB ? n | ? (即 AB 在 n 方向上投影的绝对值). d ?| AB || cos? |? |n|
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ? ,则 S侧 cos? ? S底 . 9.正四面体(设棱长为 a )的性质: ①全面积 S ? 3a 2 ;②体积 V ? ⑤外接球半径 R ?
6 4 2 12

a 3 ;③对棱间的距离 d ?
6 12

2 2

a ;④相邻面所成二面角 ? ? arccos ;
3
6 3

1

a ;⑥内切球半径 r ?

a ;⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值 h ?

a.

10.直角四面体的性质:(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体 O ? ABC 中, OA, OB, OC 两两垂直,令 OA ? a, OB ? b, OC ? c ,则?底面三角形 ABC 为锐角三角形;
2 ?直角顶点 O 在底面的射影 H 为三角形 ABC 的垂心;? S? S?ABC ; BOC ? S?BHC ?

? S?AOB ? S?BOC ? S?COA ? S?ABC ;?
2 2 2 2

1 OH
2

?

1 a
2

?

1 b
2

?

1 c
2

;?外接球半径 R= R ?

1 2

a ?b ?c .

2

2

2

11.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? 因此有 cos2 ? ? cos2 ?

?c o 2 s? ? 或 1 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2 ;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成
的角分别为 ? , ? , ? ,则有 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 或 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 . 12.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 13.球的体积公式 V ? ? R3 ,表面积公式 S ? 4? R 2 ;掌握球面上两点 A 、 B 间的距离求法:
3 4

?计算线段 AB 的长;?计算球心角 ?AOB 的弧度数;?用弧长公式计算劣弧 AB 的长.
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十.排列组合和概率
m ? n(n ? 1)? (n ? m ? 1) ? 1.排列数公式: An

n! m !( n ? m)!

n (m ? n, m, n ? N *) ,当 m ? n 时为全排列 An ? n! .

m 2.组合数公式: Cn ?

m An n ? (n ? 1) ??? (n ? m ? 1) 0 n ? (m ? n) , Cn ? Cn ? 1. m! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ??? 3 ? 2 ?1

m n?m r r ?1 r 3.组合数性质: Cn ; Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 .

4.排列组合主要解题方法:①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先;②捆绑法(相邻问题); ③插空法(不相邻问题) ;④间接扣除法;(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件 的所有情况去掉)⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法(适用与指标分配,每部分至 少有一个) ;⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题);⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分 类).⑨分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 n ! .
n n ?1 n r r r r ?1 5.常用性质: n ? n! ? (n ? 1)!? n! ;即 nAn ? An ?1 ? An ; Cr ? Cr ?1 ? ??? ? Cn ? Cn ?1 (1 ? r ? n) ; r n?r r 6.二项式定理: ?掌握二项展开式的通项: Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1,2,..., n) ;

?注意第 r+1 项二项式系数与第 r+1 项系数的区别. 7.二项式系数具有下列性质:?与首末两端等距离的二项式系数相等;?若 n 为偶数,中间一项 (第 ? 1 项)的二项式系数最大;若 n 为奇数,中间两项(第
2 n n ?1 2

? 1和

n ?1 2

? 1 项)的二项式系数最大.

0 1 2 n 0 2 1 3 ? Cn ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ??? ? 2n?1 .

8.二项式定理应用:近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式 的某些项的系数的和如 f ( x) ? (ax ? b)n 展开式的各项系数和为 f (1) ,奇数项系数和为
1 2

,偶数项的系数和为 [ f ( 1? ) f ?( 1 )] [ f (1) ? f (?1)] .
2 n m

1

9.等可能事件的概率公式:? P( A) ?

; ?互斥事件有一个发生的概率公式为: P( A ? B) ?

P( A)? P( B;?相互独立事件同时发生的概率公式为 ) P( AB) ? P( A) P( B) ;?独立重复试验
k k 概率公式 Pn (k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ;?如果事件 A 与 B 互斥,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件

A 与 B 也都是互斥事件;?如果事件 A 、 B 相互独立,那么事件 A 、 B 至少有一个不发生
的概率是 1 ? P( AB) ? 1 ? P( A) P( B) ; (6)如果事件 A 与 B 相互独立,那么事件 A 与 B 至少有 一个发生的概率是 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) P( B) . 十一.概率与统计 1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可 知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:? P i ? 0, i ? 1,2,? ;? P 1 ?P 2 ?? ? 1.
k k n ?k k k n?k p q ,记 Cn 2.二项分布记作 ? ~ B(n, p) (n, p 为参数), P(? ? k ) ? Cn p q ? b(k; n, p) .

3.记住以下重要公式和结论: ?期望值 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ? . ?方差 D? ? ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ???? ? ( xn ? E?) 2 pn ???? .
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?标准差 ?? ? D? ; E(a? ? b) ? aE? ? b; D(a? ? b) ? a2 D? . ?若 ? ~ B(n, p) (二项分布),则 E? ? np , D? ? npq(q ? 1 ? p) . ?若 ? ~ g (k , p) (几何分布),则 E? ?
1 p

, D? ?

q p
2

.

4.掌握抽样的三种方法:?简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法);?(理)系统抽样,也叫等距 抽样;?分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点 都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从 含有 N 个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取 n 个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为
1 N

,第二次被抽到的概率为

1 N

,…,故每个个体被抽到的概率为

n N

,即每个个体入样的概率为

n N

.

5.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大, 这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;?学会用样本平均数

x ? ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ? ? xi 去估计总体平均数;?会用样本方差 S 2 ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ?
n n i ?1 n
2 ??? ? ( xn ? x )2 ] ? ? ( xi ? x ) 2 ? ? ( xi 2? nx )2去估计总体方差 ? 及总体标准差;?学会用修正的

1

1

n

1

1

n

1

n

n i ?1 1

n i ?1

样本方差 S *2 ?

n ?1

2 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ??? ? ( xn ? x )2 ] 去估计总体方差 ? ,会用 S * 去估计 ? .
( x ? ? )2 2? 2

6.正态总体的概率密度函数: f ( x) ?

1 2??

e

?

, x ? R ,式中 ?,? 是参数,分别表示总体的平均

数与标准差; 7.正态曲线的性质:?曲线在 x ? ? 时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降 低;?曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定, ? 越大,曲线越矮胖;反过来曲线越高瘦. ?曲线在 x 轴上方,并且关于直线 x= ? 对称; 8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 N ( ? ,? 2 ) 的概率 P( x1 ? ? ? x2 ) ,可由变 换
x??

?

? t 而得 F ( x) ? ?(

x??

?

) ,于是有 P( x1 ? ? ? x2 ) ? ?(

x2 ? ?

?

) ? ?(

x1 ? ?

?

).

9.假设检验的基本思想:?提出统计假设,确定随机变量服从正态分布 N ( ? ,? 2 ) ;?确定一 次试验中的取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ;?作出推断:如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统 计假设;如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝假设. 十二.极限 1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明(注意步骤,两步缺一不可). 2.数列极限:?掌握数列极限的运算法则,注意其适用条件:一是数列 {an } , {bn } 的极限都存在;二 是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或积),应先求和(或积),再求极限. ?常用的几个数列极限: lim C ? C ( C 为常数); lim
n ??

1 ? 0 , lim q n ? 0 ( | q |? 1 , q 为常数). n ?? n n ??

?无穷递缩等比数列各项和公式 S ? lim S n ?
n ??

a1 1? q

( 0 ?| q |? 1 ).

3.函数的极限: ?当 x 趋向于无穷大时,函数的极限为 a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a .
n??? n???

f ( x) ? lim? f ( x) ? a .?掌握函数极限的四则运算法则. ?当 x ? x0 时函数的极限为 a ? lim ?
4.函数的连续性:?如果对函数 f ( x) 在点 x ? x0 处及其附近有定义,且有 lim f ( x) ? f ( x0 ) ,就
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x ? x0 x ? x0 x ? x0

说函数 f ( x) 在点 x 0 处连续;?若 f ( x) 与 g ( x) 都在点 x 0 处连续,则 f ( x) ? g ( x) , f ( x) ? g ( x) ,
f ( x) g ( x)

( g ( x) ? 0) 也在点 x 0 处连续;?若 u ( x) 在点 x 0 处连续,且 f (u ) 在 u0 ? u( x0 ) 处连续,则复合

函数 f [u ( x )] 在点 x 0 处也连续. 十三.导数 1.导数的定义: f ( x) 在点 x 0 处的导数记作 y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

?x ?0

.

2.可导与连续的关系:如果函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,那么函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处连续,但是

y ? f ( x) 在点 x 0 处连续却不一定可导.
3.函数 f ( x) 在点 x 0 处有导数,则 f ( x) 的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数

f ( x) 的曲线在点 x 0 处有切线,则 f ( x) 在该点处不一定可导.如 f ( x) ? x 在 x ? 0 有切线,但不可导.
4.函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义是指:曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率, 即曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) ,切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . 5.常见函数的导数公式: C ? ? 0 ( C 为常数); ( xn )? ? nxn?1 (n ? Q) . (sin x)? ? cos x ; (cos x)? ? ? sin x ;

? ? ax l a (a x ) n ; (e x )? ? e x ; (loga x)? ? 1 loga e . (ln x)? ?
x

1 x u v u?v ? uv? v
2

6.导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u? ? v? ; (uv)? ? u?v ? uv? ; ( )? ?

.

? ? 7.复合函数的导数: y? x ? yu ? u x .
9、导数应用: ?过某点的切线不一定只有一条; ?研究单调性步骤:分析 y=f(x)定义域;求导数;解不等式 f/(x)≥0 得增区间;解不等式 f/(x)≤0 得减区间;注意 f/(x)=0 的点; ?求极值、 最值步骤:求导数;求 f ?( x ) ? 0 的根;检验 f ?( x ) 在根左右两侧符号,若左正右负,则 f(x)在该根处取极大值;若左 负右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 特别提醒:(1) x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号, 而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x0 为极值点的必 要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件, 一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 , 又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”) 的转化, 否则条件没有用完, 这一点一定要切记! 十四.复数 1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示. 2.熟练掌握与灵活运用以下结论:? a ? bi ? c ? di ? a ? c 且 c ? d (a, b, c, d ? R) ;?复数是 实数的条件:① z ? a ? bi ? R ? b ? 0(a, b ? R) ;② z ? R ? z ? z ;③ z ? R ? z 2 ? 0 . 3.复数是纯虚数的条件: ① z ? a ? bi 是纯虚数 ? a ? 0 且 b ? 0(a, b ? R) ; ② z 是纯虚数

z 是纯虚数 ? z 2 ? 0 . ?z ?z ? 0 ( z ?0;③ )
4.?复数的代数形式: z ? a ? bi ;?复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设 z1 ? a ? bi ,

z2 ? c ? d( i ,a ,b ,c ? d ,则 )R z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i , z1 z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ,
z1 a c? b d b ?c a d . ? 2 ? 2 i ( z2 ? 0 ) 2 z2 c ? d c ?d 2
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5.几个重要的结论: ? | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) ;? z ? z ?| z |2 ?| z |2 ;?若 z 为虚数,则 | z |2 ? z2 . 6.运算律仍然成立:(1) ? z m ? z n ? z m ? n ; ? ( z m )n ? z mn ;? ( z1 ? z2 )m ? z1m z2m (m, n ? N ) . 7.注意以下结论:? (1 ? i)2 ? ?2i ;? ? | z |? 1 ? zz ? 1 ? z ?
1 z 1? i 1? i 1? i 1? i

?i,

? ?i ;? i n ? i n?1 ? i n?2 ? i n?3 ? 0(n ? N ) ;

.

十五.注意答题技巧训练 1.技术矫正:考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意: ?按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做. ?不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌, 影响下面做题的情绪. ?避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧 张,也许待会儿根本顾不上再来思考. ?做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间 再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率. 2.规范化提醒:这是取得高分的基本保证.规范化包括:解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完 后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分.总 之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果的规范化. ?解与解集:方程的结果一般用解表示(除非强调求解集);不等式、三角方程的结果一般用解集(集 合或区间)表示.三角方程的通解中必须加 k ? Z .在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括 号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开. ?带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”. ?分类讨论题,一般要写综合性结论. ?任何结果要最简.如 ?
4 2 1 2
,

1
2

?

2

2

等.

?排列组合题,无特别声明,要求出数值. ?函数问题一般要注明定义域(特别是反函数). ?参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围. ?轨迹问题:①轨迹与轨迹方程的区别:轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状. ②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中 x 或 y 的范围. ?分数线要划横线,不用斜线. 3.考前寄语:①先易后难,先熟后生;②一慢一快:审题要慢,做题要快;③不能小题难做,小题大做, 而要小题小 做,小题巧做;④我易人易我不大意,我难人难我不畏难;⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对;⑥基础题拿满分,中档 题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;⑦对数学解题 有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高 上水平,有时“放弃”是一种策略.

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