平面向量与解析几何的交汇

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 平面向量与解析几何的交汇 作者:孙恒来 来源:《学周刊· A》2013 年第 05 期 由于向量有代数与几何形式的双重身份,因此,平面向量与解析几何的交汇问题就自然地 联系在一起,平面向量与解析几何的交汇备受新课程高考命题的青睐,其涉及的问题是以解析 几何中的坐标为背景的一种,包括向量描述求曲线方程、求参数的取值(范围)、探究圆锥曲 线的性质等方面,而解决的关键仍是以坐标法为主,利用向量数量积的运算及消元法等知识、 方法进行转化处理。 例 1.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB= (A)■ (B)■ (C)-■ (D)-■ 审题视点:首先联立直线与抛物线方程,求得交点 A、B 的坐标,再由向量的数量积公式 求解。 解:联立 y2=4xy=2x-4,消 y 得 x2-5x+4=0,解得 x=1,x=4。 不妨设 A 在 x 轴下方,于是 A,B 的坐标分别为(4,4),(1,-2)。■=(0,-2),■= (3,4),cos∠AFB=■=■=-■,故选 D。 例 2.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足 为 Q,且(■+■■)· (■-■■)=0。 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求■·■的最值。 审题视点:第(1)问直接设动点 P 的坐标,先把向量之间的关系化简,然后代入向量坐 标,化简整理即得轨迹方程;第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积,将其转化为动点 P 与定点 N 的距离的最值,最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解。 解:(1)设 P(x,y),则 Q(8,y) 由(■+■■)· (■-■■)=0,得|PC|2-■|PQ|2=0, 即(x-2)2+y2-■(x-8)2=0,化简得■+■=1。 所以点 P 在椭圆上,其方程为■+■=1。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn (2)因■·■=(■-■)· (■-■)=(-■-■)· (■-■)=(-■)2-■2=■2-1,P 是椭圆■+■=1 上的 任一点,设 P(x0,y0),则有■+■=1,即 x02=16-■,又 N(0,1),所以■2=x02+(y0-1) 2=-■y02-2y0+17=-■(y0+3)2+20。 因 y0∈[-2■,2■],所以当 y0=-3 时,■2 取得最大值 20,故■·■的最大值为 19; 当 y0=2■时,■2 取得最小值(2■-1)2=13-4■,(此时 x0=0),故■·■的最小值为 124■。 方法总结:平面向量与平面解析几何交汇的题目,涉及向量数量积的基本运算,数量积的 求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题,解决此类问题应从向量的坐标运算入 手,这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法。 例 3.已知双曲线 x2-y2=2 的右焦点为 F,过点 F 的动直线与双曲线相交于 A,B 两点,点 C 的坐标是(1,0)。 (1)证明:■·■为常数; (2)若动点 M 满足■=■+■+■(其中 O 为坐标原点),求点 M 的轨迹方程。 审题视点:本题可以采用设而不求的方法,设出 A(x1,y1),B(x2,y2),对于第 (1)问,先由直线与双曲线关系确定两点坐标之间的关系,再确定■·■的解析式,进而证明为 常数即可,但不要漏掉 AB 与 x 轴垂直的情况;对于第(2)问,先设动点 M 的坐标,再结合 条件建立有关动点 M 的方程即可。 解:由条件知 F(2,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2) (1)当 AB 与 x 轴垂直时,可知点 A,B 的坐标分别为(2,■),(2,-■),此时■·■= (1,■)· (1,-■)=-1。 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y=k(x-2)(k≠±1) 代入 x2-y2=2,有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0。 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1+x2=■,x1x2=■, 于是■·■=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1 =■-■+4k2+1 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn =(-4k2-2)+4k2+1=-1 综上所述,■·■为常数-1。 (2)设 M(x,y),则■=(x-1,y),■=(x1-1,y1),■=(x2-1,y2),■=(-1, 0), 由■=■+■+■得: x-1=x1+x2-3y=y1+y2,即 x1+x2=x+2y1+y2=y 于是 AB 的中点坐标为(■,■)。 当 AB 不与 x 轴垂直时,■=■-2=■,即 y1-y2=■(x1-x2)。 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x12-y12=2,x22-y22=2,两式相减得(x1-x2) (x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),即(x1-x2)(x+2)=(y1-y2)y。 将 y1-y2=■(x1-x2)代入上式,化简得 x2-y2=4。 当 AB 与 x 轴垂直时,x1=x2=2,求得 M(2,0),也满足上述方程。 所以点 M 的轨迹方程是 x2-y2=4。 点评:本题是平面向量与解析几何交汇的综合问题,涉及垂直、共线、轨迹等相关内容, 解决难点的方法在于如何借助条件把几何问题坐标化、数量化,从而推理转化为运算。 (责编 高伟)

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