高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课后课时精练

3.1.3 空间向量的数量积运算
A 级:基础巩固练 一、选择题 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有下列命题: ①(A→A1+→AD+→AB)2=3A→B2;②A→1C·(A→1B1-A→1A)=0;③A→D1 与A→1B的夹角为 60°.其中正确命 题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 答案 B 解析 如图所示,
(A→A1+A→D+A→B)2=(A→A1+A→1D1+D→1C1)2=A→C12=3A→B2;A→1C·(A→1B1-A→1A)=A→1C·A→B1=0;A→D1与A→1B 的夹角是D→1C与D→1A夹角的补角,而D→1C与D→1A的夹角为 60°,故A→D1与A→1B的夹角为 120°.综上可 知,①②正确,③不正确.故选 B.
2.正方体 ABCD-A′B′C′D′中,〈A′ →B,B′→D′〉=( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案 D 解析 连接 BD,A′D,因为 B′D′∥BD,△A′BD 为正三角形,所以∠A′BD=60°,由 向量夹角的定义可知〈A→′B,B→D〉=120°,即〈A→′B,B′→D′〉=120°. 3.若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足(B→O+O→C)·(→OC-→OA)=0,则△ABC 一定是( ) A.等边三角形 B.斜三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 解析 ∵→BO+→OC=→BC,→OC-→OA=→AC,∴B→C·A→C=0.∴BC⊥AC.∴△ABC 一定是直角三角形. 4.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E 是 BC 的中点,那么( )

A.A→E·B→C<A→E·C→D B.A→E·B→C=A→E·C→D C.A→E·B→C>A→E·C→D D.A→E·B→C与A→E·C→D不能比较大小 答案 C 解析 易知 AE⊥BC,∴A→E·B→C=0,→AE·→CD=(A→B+B→E)·C→D=A→B·(→BD-→BC)+12B→C·C→D= |A→B|·|→BD|cos120°-|A→B||B→C|cos120°+12|→BC||→CD|·cos120°<0.∴→AE·→BC>→AE·→CD. 5.已知 a,b 是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1,则 a 与 b 所成的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 C 解析 A→B=A→C+C→D+D→B, ∴A→B·C→D=(→AC+→CD+→DB)·→CD=→AC·→CD+→CD2+D→B·C→D=0+12+0=1,又|→AB|=2,|C→D| =1. ∴cos〈→AB,→CD〉=|A→ A→BB·||C→C→DD|=2×1 1=12. ∵异面直线所成的角是锐角或直角, ∴a 与 b 所成的角是 60°. 6.正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点,则 EF 的长是( ) A.2 B. 3 C. 5 D. 7 答案 C 解析 如图所示,设A→B=a,→AC=b,A→A1=c.

由题意知|a|=|b|=|c|=2,且〈a,b〉=60°,〈a,c〉=〈b,c〉=90°. 因为→EF=→EA+A→A1+A→1F=-12→AB+A→A1+12A→C=-12a+12b+c, 所以|E→F|2=14a2+14b2+c2+2???-12a·12b+12b·c-12a·c??? =14×22+14×22+22+2×???-14???×2×2cos60°=1+1+4-1=5,所以|EF|= 5.

二、填空题 7.已知空间向量 a,b,|a|=3 2,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°, 若 m⊥n,则 λ 的值为________.
3 答案 -10 解析 由 m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0, ∴a2+λb2+(1+λ)a·b=0, 即 18+25λ+(1+λ)×3 2×5×cos135°=0, ∴λ=-130. 8.已知空间向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则 a·b+b·c +c·a 的值为________. 答案 -13 解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴a·b +b·c+c·a
32+12+42 =- 2 =-13. 9.设 a,b,c 是任意的非零向量,且互不共线,则下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b =0;②|a|-|b|<|a-b|;③(c·b)a-(c·a)b 不与 c 垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2 -4|b|2.其中真命题的序号是________. 答案 ②④ 解析 ①由向量数乘与数量积的区别,易知不成立;②是三角形不等式,所以成立;③ [(c·b)a-(c·a)b]·c=(c·b)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,故垂直,所以③不成立;④由 向量的数量积运算可知成立. 三、解答题 10.如图所示,在平面角为 120°的二面角 α-AB-β 中,AC? α,BD? β,且 AC⊥AB, BD⊥AB,垂足分别为 A,B.已知 AC=AB=BD=6,求线段 CD 的长.
解 ∵AC⊥AB,BD⊥AB, ∴C→A·A→B=0,B→D·A→B=0. ∵二面角 α-AB-β 的平面角为 120°, ∴〈→CA,→BD〉=180°-120°=60°.

∴|→CD|2=C→D2=(C→A+A→B+B→D)2=→CA 2+A→B 2+B→D 2+2→CA·→AB+2C→A·B→D+2B→D·A→B=3×62 +2×62×cos60°=144,∴CD=12.
B 级:能力提升练 如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

(1)求证:CC1⊥BD;

CD (2)当CC1的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明.

解 (1)证明:设→CD=a,C→B=b,C→C1=c.

由题意得|a|=|b|,→BD=→CD-→CB=a-b.

→CD,→CB,C→C1两两夹角的大小相等,设为 θ,

于是C→C1·B→D=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0,

∴CC1⊥BD.

(2)要使 A1C⊥平面 C1BD,只需 A1C⊥BD,A1C⊥DC1.

由C→A1·C→1D=(→CA+A→A1)·(C→D-C→C1)=(a+b+c)·(a-c)=a2-a·c+a·b-b·c+c·a -c2=|a|2-|c|2+|b||a|cosθ-|b||c|cosθ=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|·cosθ)=0,得

当|c|=|a|时,A1C⊥DC1.

而由(1)知 CC1⊥BD,又显然 BD⊥AC,∴BD⊥平面 ACC1A1,∴A1C⊥BD.

CD 综上可得,当CC1=1

时,A1C⊥平面

C1BD.


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