2015海淀区高三数学期末考试试卷及答案(理科)【每小题均配答案和解析】原创



2015年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)

一、 选择题

丱丮 抛物线 x2 丽 ?串y 的焦点坐标是( )

乁丮 丨?丱, 丰丩
? 丱? 乃丮 丰, ?
串 答案:乃

乂丮 丨丱, 丰丩 ? 丱?
乄丮 丰, 串

解析: p 丽 丱

,又抛物线开口向下,所以焦点坐标为

? 丰,

?



?





串丮 如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z ,则 z2 丽 ( )

乁丮 ?丳 ? 临乩

乂丮 丵 丫 临乩

乃丮 丵 ? 临乩 答案:乄

乄丮 丳 ? 临乩

解析:由图可得 z 丽 ?串 丫 乩 ,所以 z2 丽 丨?串 丫 乩丩2 丽 丳 ? 临乩 .

丳丮

当向量 →?a 丽 →?c 丽 丨?串, 串丩



→? b



丨丱,

丰丩

时,执行如图所示的程序框图,输出的 i

值为(



乁丮 丵

乂丮 临

答案:乂

解析: i 丽 丰 时, →?a · →?c 丽 丨?串丩2 丫 串2 丽 丸 ;

乃丮 丳

乄丮 串



i 丽 丱 时, →?a · →?c 丽 丨?串丩 × 丨?丱丩 丫 串 × 串 丽 丶 ; i 丽 串 时, →?a · →?c 丽 丨?串丩 × 丰 丫 串 × 串 丽 临 ; i 丽 丳 时, →?a · →?c 丽 丨?串丩 × 丱 丫 串 × 串 丽 串 ; i 丽 临 时, →?a · →?c 丽 丨?串丩 × 串 丫 串 × 串 丽 丰 ,此时 →?a · →?c 丽 丰 ,所以输出 i 丽 临 .

临丮 已知直线 l1 为 ax 丫 丨a 丫 串丩 y 丫 丱 丽 丰 , l2 为 x 丫 ay 丫 串 丽 丰 .若 l1 ⊥ l2 ,则实数 a 的值是( )

乁丮 丰

乂丮 串 或 ?丱

乃丮 丰 或 ?丳

乄丮 ?丳

答案:乃

解析:因为直线 l1 和直线 l2 垂直,所以 a 丫 a 丨a 丫 串丩 丽 丰 ,则 a 丽 丰 或 a 丽 ?丳 .

?
??串x ? y ? 串 丰, ? ? ? ? 丵丮 设不等式组 x 丫 y ? 丱 丰,
? ? ? ? ??x ? y 丫 丱 丰,

表示的平面区域为 D ,则区域 D 上的点到坐标原点的距离的最小

值是( ) 乁丮 丱 答案:乂

√ 串
乂丮 串

丱 乃丮


乄丮 丵

解析:不等式组所表示的平面区域 D 如下图阴影部分:

由图可得,区域 D √上的点到坐标原点的距离的最小值等于原点到直线 x 丫 y ? 丱 丽 丰 的距离, 即 d 丽 √| ? 丱| 丽 串 .
丱2 丫 丱2 串 丶丮 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥四个面的面积中最大的是( )

√ 乁丮 串 丳临 答案:乁

乂丮 丱串

解析:此三棱锥的直观图 P ? ABC 如图所示:

√ 乃丮 丸 丳

丳 √ 乄丮 丶 串

所以 S

ABP



丱 × AB × BP




√ 丶串

,S

ABC



丱 × AB × AC


丽丶

,S



P AC





× AC × P C √



丱丰

√ . PC 丽 丵 , PB 丽 临 串

以S

丱 PBC 丽 串 × P C × CB

, BC

丽丵

,所以 乣乯乳 ∠P CB √



丹 串丵

,所以 乳乩乮 ∠P CB



乳乩乮 ∠P CB 丽 串 丳临 .所以四个面的面积中最大的是 S P BC

临 丳临 ,所 串丵√
丽 串 丳临 .

丷丮 某堆雪在融化过程中,其体积 V (单位: 乭3 )与融化时间 t (单位: 乨 )近似满足函数关系:

? V 丨t丩 丽 H 丱丰 ?

丱 ?3 t

(H

为常数),其图象如图所示,记此堆雪从融化开始到结束的平均融化

丱丰

速度为 v世 丨乭3/乨丩 ,那么瞬时融化速度等于 v世 丨乭3/乨丩 的时刻是图中的( )

乁丮 t1 答案:乃

乂丮 t2

乃丮 t3

乄丮 t4

解析:法一:平均速度实际上是点 A 与点 B 连线的斜率 k ;

瞬时速度的几何意义就是某时刻的切线斜率,所以通过比对, t3 时刻的切线斜率与 k 相等,所以 瞬时融化速度等于 v世 丨乭3/乨丩 的时刻是图中的 t3 .



法二:当 t 丽 丰 时, V 丽 丱丰丰丰H ;当 V 丽 丰 时, t 丽 丱丰丰 .所以平均速度 v世 丽 丱丰丰丰H ? 丰 丽 ?丱丰H 丰 ? 丱丰丰





V

丳H ? 丨t丩 丽 ? 丱丰 ?

t

?2

,瞬时速度等于 v世

,则 ?丱丰H



丳H ?

? 丱丰 ?

t

?2

,所以 t



? 丱丰丰 丱 ?

丳? ≈

丱丰

丱丰

丱丰

丱丰



临串.丳 .由图可知此时为 t3 时刻.

丸丮 已知点 A 在曲线 P 为 y 丽 x2 丨x > 丰丩 上, A 过原点 O ,且与 y 轴的另一个交点为 M ,若线 段 OM , A 和曲线 P 上分别存在点 B ,点 C 和点 D ,使得四边形 ABCD (点 A , B , C , D 顺时针排列)是正方形,则称点 A 为曲线 P 的“完美点”,那么下列结论中正确的是( )

乁丮 曲线 P 上不存在“完美点”

乂丮 曲线 P 上只存在一个“完美点”,其横坐标大于 丱

乃丮 曲线 P 上只存在一个“完美点”,其横坐标大于 丱 且小于 丱 串
乄丮 曲线 P 上只存在两个“完美点”,其横坐标大于 丱 串

答案:乂





解析:如下图左,如果点 A 为丢完美点丢,则有 AB 丽 AD 丽

串 AC 丽

串 OA









以 A 为圆心,

串 OA

为半径作圆 一

(如右图中虚线圆),交 y

轴于点 B, B

(可重合),交抛物



线于点 D, D ,点 A 为“完美点”当且仅当 AB ⊥ AD ,如下图右.

(结合图象知, B 点一定是上方的交点,否则在抛物线上不存在 D 点使得 AB ⊥ AD ; D 也一 定是上方的交点,否则 A, B, C, D 不是顺时针)



下面考虑当点 A 的横坐标越来越大时, ∠BAD 的变化情况:

设 A 丨m, m2丩 ,当 m < 丱 时, ∠AOy > 临丵? ,此时圆 一 与 y 轴相离或相切,此时 A 不是完美点, 故只需考虑 m 丱 .

当 m 增加时, ∠BAD 越来越小,且趋近于 丰? (具体推理放在后面);

而当 m 丽 丱 时, ∠BAD > 丹丰? ;

故曲线 P 上存在唯一一个完美点,其横坐标大于 丱 .

当 m 增加时, ∠BAD 越来越小,且趋近于 丰? 的推理:

过点 A 作 AH ⊥ yt 于点 H ,分别过点 A丁D 作 x丁y 轴的平行线,交于点 N ,



先考虑 ∠BAH

: 乣乯乳 ∠BAH 丽

m





丽√



√ m2



m4

丱 丫 m2





于是当 m 增大时, 乣乯乳 ∠BAH 减小,且趋于 丰 ,从而 ∠BAH 增大,且趋近于 丹丰? ;

再考虑 ∠DAN

,记 D 丨n, n2丩

,则 乴乡乮 ∠DAN



n2 ? m2 n?m

丽n丫m





随着 m 的增大, OA 的长增大, AD 丽

串 OA


也随着增大,于是 n 丫 m

增大,从而 乴乡乮 ∠DAN

增大, ∠DAN 增大,且趋近于 丹丰? ,

所以 ∠BAD 丽 π ? ∠BAH ? ∠DAN 随着 m 的增大而减小,且趋近于 丰? .

二、 填空题

丹丮

在?丱

?

√ ?6 x

的展开式中,常数项是

x

.(用数字作答)丮

答案: 丱丵

解析:题中二项式展开后第 r 丫 丱





乃r6

?

丱 x

?6?r

丨?√x丩r



乃r6

丨?丱丩r

x

3 2

r?6

,当

丳 r

?











即 r 丽 临 时,它为常数项,常数项为 乃46 丽 丱丵 .

丱丰丮 在极坐标系中,直线 ρ 乳乩乮 θ 丽 丳 被圆 ρ 丽 临 乳乩乮 θ 截得的弦长为



√ 答案: 串 丳

解析:将极坐标方程化为直角坐标方程,则直线 ρ 乳乩乮 θ 丽 丳 即直线 y 丽 丳 ,圆 ρ 丽 临 乳乩乮 θ 即 圆 x2 丫 丨y ? 串丩2 丽 临 ,直线和圆的位置关系如图:







AC 丽 QA2 ? QC2 丽 丳 , AB 丽 串AC 丽 串 丳 .



丱丱丮 若双曲线 x2 ? y2 丽 丱 的一条渐近线的倾斜角为 丶丰? ,则 m 丽



m

答案: 丳

解析:题中双曲线的渐近线方程为 y



√ ± mx

,其中一条渐近线的倾斜角为 丶丰?

,则

√ m



√ 乴乡乮 丶丰? 丽 丳 ,所以 m 丽 丳 .

丱串丮 如图所示, AD 是

O





的切线, AB 丽 串 , AC 丽 丳

, ∠ACB



π 临

,那么 ∠CAD 丽



答案: 串π 丳

解析:根据正弦定理有 AB 乳乩乮 ∠ACB



AC 乳乩乮 B

,代入题中数据并结合图象得 ∠B 丽

π 丳

,所以 ∠CAD 丽

π ? ∠B



串 π




丱丳丮

在等比数列 {an}

中,若 a1 丽 ?串临



a4



丸 ?


,则公比 q 丽

的前 n 项积最大丮

;当 n 丽

时, {an}

答案: 丱 ; 临 丳

· · · · · · · · · · · · · · · · · · 第一空串分, 第二空丳分

解析: q3 丽 a4 丽 丱 ,所以 q 丽 丱 .

a1 串丷



此等比数列各项均为负数,设它的前 n 项积为 Tn ,当 n 为奇数时, Tn 为负, n 为偶数时, Tn

为正,所以当 Tn 取最大时, n 必为偶数.

当 n 为偶数时,若 Tn+2 > Tn ,则 a1a2 · · · · · an+1an+2 > a1a2 · · · · · an ,即 an+1an+2 > 丱 ;同理,

若 Tn+2 < Tn ,则 an+1an+2 < 丱 .

求得 {an}

通项公式为 an



?丷串 丳n

,令 |an| > 丱

,解得 n

丳 ,令 |an| < 丱 ,解得 n

临 .又计

算得 a3a4



丶临 串丷

>丱

,所以当 n

为偶数且 n

串 时, an+1an+2 > 丱 , Tn+2 > Tn ;当 n 为偶数

且 n 临 时, an+1an+2 < 丱 , Tn+2 < Tn .即 T2 < T4 , T4 > T6 > · · · .所以当 n 丽 临 时, {an}

的前 n 项积最大.

丱临丮 如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是边 BC 的中点.点 P 在直线 BD1 (除 B

, D1 两点)上运动的过程中,平面 DEP 可能经过的该正方体的顶点是

.(写出满足条件

的所有顶点)



答案: A1 , B1 , D 解析:由题意知,平面 DEP 必定经过正方体的顶点 D . 下面我们分析正方体除 D 点外的顶点.满足题意的正方体的顶点与 D, E 确定的平面必然与直 线 BD1 相交,且交点不为 B, D1 . 显然顶点 A, B, C, D1 都不符题意.

现在分析顶点 C1 ,如图 丱 : 连接 C1E , DC1 , CD1 ,设 DC1 ∩ CD1 丽 O ,连接 EO .因为 E 是 BC 的中点, O 是 CD1 的中点,所以 BD1 EO ,又 EO ? bDEC1 ,所以 BD1 bDEC1 .故 C1 不符合题意; 根据正方体的特征,并结合图 串 图 丳 可知,面 A1DE ,面 B1DE 分别和直线 BD1 相交于点 M 、 N ,所以 A1, B1 符合题意. 综上,平面 DEP 可能经过的正方体的顶点是 D , A1 , B1 .

三、 解答题

丱丵丮 函数 f 丨x丩 丽 乣乯乳 丨πx 丫 ?丩

π 丰<?<

的部分图象如图所示.





(丱)写出 ? 及图中 x0 的值;

? (串)设函数 g 丨x丩 丽 f 丨x丩 丫 f x 丫

丱?

,求 g 丨x丩

在区间

? ?



,



ò

上的最大值和最小值.



串丳

解析:





? (丱) ∵ 图象过点 丰,

丳? 串

,∴

乣乯乳 ? 丽

丳 .又 丰 < ? < π





,∴

π ?丽




· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 串分



由 乣乯乳

π πx0 丫 丶



丳 串

,得 x0 丽 串k



x0



丱 ?


丫 串k, k ∈ Z



又 f 丨x丩

的周期为 串 , ∴ 结合图象知 丰 < x0 < 串

,∴

丵 x0 丽 丳



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丵分

(串)由题意可得

f

? x



丱?



乣乯乳

? π

? x



丱?



π

?



乣乯乳

π πx 丫

丽 ? 乳乩乮 πx .



丳丶



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丷分

所以

? 丱?

π

f 丨x丩 丫 f x 丫 丽 乣乯乳 πx 丫 ? 乳乩乮 πx





π

π

丽 乣乯乳 πx 乣乯乳 ? 乳乩乮 πx 乳乩乮 ? 乳乩乮 πx

· · · · · · · · · · · · 丸分











丽 乣乯乳 πx ? 乳乩乮 πx ? 乳乩乮 πx

√串







丽 乣乯乳 πx ? 乳乩乮 πx







π

丽 丳 乣乯乳 πx 丫 .

· · · · · · · · · · · · 丱丰分



因为

x



? ?



,



ò



串丳

所以 ? π

π πx 丫

串π

.所以当 πx 丫 π 丽 丰

,即

x



丱 ?

时, g 丨x丩

√ 取得最大值 丳





丳丳



√丳

当 πx 丫 π 丽 串π ,即 x 丽 丱 时, g 丨x丩 取得最小值 ? 丳 .

丳丳





· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丳分

丱丶丮 某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》,共有 丵丰 名同学选修,其中男同学 丳丰 名,女同 学 串丰 名.为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方法抽取 丵 人进行考 核. (丱)求抽取的 丵 人中男、女同学的人数; (串)考核的第一轮是答辩,顺序由已抽取的甲、乙等 丵 位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同



学间隔的人数为 X , X 的分布列为

X丳串丱 丰 丳串
Pab 丱丰 丵

求数学期望 EX ;

(丳)考核的第二轮是笔试: 丵 位同学的笔试成绩分别为 丱丱丵 , 丱串串 , 丱丰丵 , 丱丱丱 , 丱丰丹 ;结合第

一轮的答辩情况,他们的考核成绩分别为 丱串丵 , 丱丳串 , 丱丱丵 , 丱串丱 , 丱丱丹 .这 丵 位同学笔试成绩

与考核成绩的方差分别记为 s21 , s22 ,试比较 s21 与 s22 的大小.(只需写出结论)

解析:

(丱)抽取的 丵 人中男同学的人数为 丵 × 丳丰 丽 丳 ,女同学的人数为 丵 × 串丰 丽 串 .

丵丰

丵丰

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 临分

(串)由题意可得 P

丨X



丳丩



乁22乁33 乁55

丱 丽
丱丰



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丶分

因为 a 丫 b 丫



串 丫 丽丱



丱丰 丵

所以 b 丽 丱 . 丵

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丸分

所以 EX 丽 丳 ×



丱 丫串× 丫丱×



串 丫丰× 丽丱



丱丰



丱丰



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丰分

(丳) s21 丽 s22 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丳分

丱丷丮 如图所示,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1B1B 为正方形, BB1C1C 为菱形, ∠BB1C1 丽 丶丰? , 平面AA1B1B ⊥ 平面BB1C1C .

丱丰
(丱)求证: B1C ⊥ AC1 ; (串)设点 E , F 分别是线段 B1C , AA1 的中点,试判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系, 并说明理由; (丳)求二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值. 解析: (丱)如图,连接 BC1 .
在正方形 ABB1A1 中, AB ⊥ BB1 . 因为 平面AA1B1B ⊥ 平面BB1C1C , 平面AA1B1B ∩ 平面BB1C1C 丽 BB1 , AB ? 平面ABB1A1 , 所以 AB ⊥ 平面BB1C1C .
· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱分 因为 B1C ? 平面BB1C1C , 所以 AB ⊥ B1C .
· · · · · · · · · · · · · · · · · · 串分 在菱形 BB1C1C 中, BC1 ⊥ B1C . 因为 BC1 ? 平面ABC1 , AB ? 平面ABC1 , BC1 ∩ AB 丽 B , 所以 B1C ⊥ 平面ABC1 .
· · · · · · · · · · · · · · · · · · 临分

丱丱 因为 AC1 ? 平面ABC1 , 所以 B1C ⊥ AC1 .
· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丵分 (串) EF 平面ABC ,理由如下:
· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丶分 如图,取 BC 的中点 G ,连接 GE , GA .

因为 E 是 B1C 的中点,

所以 GE

BB1

,且 GE 丽

丱 串 BB1



因为 F 是 AA1 的中点,

所以 AF



丱 串 AA1



在正方形 ABB1A1 中, AA1 BB1 , AA1 丽 BB1 .

所以 GE AF ,且 GE 丽 AF .

所以四边形 GEF A 为平行四边形.

所以 EF GA .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丸分

因为 EF ? sbABC , GA ? sbABC , 所以 EF 平面ABC .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丹分

(丳)在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz ⊥ BB1 . 由(丱)可知: AB ⊥ 平面BB1C1C . 以点 B 为坐标原点,分别以 BA , BB1 所在的直线为 x , y 轴,建立如图所示的空间直角坐标 系 B ? xyz ,

丱串

设 A 丨串, 丰, 丰丩 ,则 B1 丨丰, 串, 丰丩 .

在菱形 BB1C1C

中, ∠BB1C1丽丶丰?

,所以

C

? 丰,

?丱,

√? 丳



C1

? 丰,

丱,

√? 丳



设平面 ACC1 的一个法向量为 →?n 丽 丨x, y, 丱丩 .

???→?n

·

?→ AC



丰,

因为

??→?n

·

??→ C C1



丰,

?

?

√?

??丨x, y, 丱丩 · ?串, ?丱, 丳 丽 丰,



??丨x, y, 丱丩 · 丨丰, 串, 丰丩 丽 丰,

?√

???x 丽

丳 ,

所以



???y 丽 丰,



? 即 →?n 丽

丳? , 丰, 丱





· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丱分

由(丱)可知:

??→ C B1

是平面 ABC1

的一个法向量.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱串分



所以

乣乯乳

¨→?n ,

??→? C B1



→?n · |→?n | ·

??→ C B1 ??→ C B1

?丳

? ?

√?

, 丰, 丱 · 丰, 丳, ? 丳







丽 …丳



丽? 丷

丫丱· 丹丫丳



√临

所以二面角 B ? AC1 ? C

的余弦值为

丷 丷



· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱临分

丱丸丮

已知椭圆 M 为 x2 丫 y2 临丳

丽丱

,点 F1

,C

分别是椭圆 M

的左焦点、左顶点,过点 F1

的直线 l

(不

与 x 轴重合)交 M 于 A , B 两点.

丱丳

(丱)求 M 的离心率及短轴长;

(串)是否存在直线 l ,使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上,若存在,求出直线 l 的方程;若不 存在,说明理由.

解析:

(丱)由 x2

y2 丫

丽丱

得a 丽 串

√ ,b丽 丳



临丳



所以椭圆 M 的短轴长为 串 丳 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 串分

√ 因为 c 丽 a2 ? b2 丽 丱 ,

所以 e 丽

c丱 丽

,即 M

的离心率为 丱



a串



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 临分

(串)由题意知 C 丨?串, 丰丩

, F1 丨?丱, 丰丩

,设 B 丨x0, y0丩

( ?串 < x0 < 串

),则 x20 临

丫 y02 丳

丽丱



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丷分

因为

??→ ??→ BF1 · BC 丽 丨?丱 ? x0, ?y0丩 · 丨?串 ? x0, ?y0丩

丽 串 丫 丳x0 丫 x20 丫 y02



丱 临

x20



丳x0





>

丰,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · 丹分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丱分

所以 ∠B ∈

π 丰,




所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上,即:不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丳分

另解:由题意可设直线 l 的方程为 x 丽 my ? 丱 , A 丨x1, y1丩 , B 丨x2, y2丩 .

? x2 y2

? 由? 临





丽 丱,

可得 丨丳m2 丫 临丩 y2 ? 丶my ? 丹 丽 丰 .

??x 丽 my ? 丱

所以 y1



y2



丶m 丳m2 丫



, y1y2



?丹 丳m2 丫





· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丷分

丱临

所以

?→ ??→ CA · CB 丽 丨x1 丫 串, y1丩 · 丨x2 丫 串, y2丩

丽 m2 丫 丱 y1y2 丫 m 丨y1 丫 y2丩 丫 丱

丽 m2 丫 丱

?丹

丶m

丫m·

丫丱

丳m2 丫 临

丳m2 丫 临

?丵



< 丰.

丳m2 丫 临

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丹分

?→ ??→

因为 乣乯乳 C 丽

CA · CB ?→ ??→

∈ 丨?丱, 丰丩 ,

CA · CB

所以 ∠C ∈

π ,π




· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丱分

所以 ∠B ∈

π 丰,




所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上,即:不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丳分

丱丹丮 已知函数 f 丨x丩 丽 a 乣乯乳 x 丫 x 乳乩乮 x , x ∈

ππ ?,



串串

(丱)判断函数 f 丨x丩 的奇偶性,并证明你的结论;

(串)讨论集合 A 丽 {x | f 丨x丩 丽 丰} 中元素的个数;

(丳)当 丱 < a < 串 时,问函数 f 丨x丩 有多少个极值点?(只需写出结论)

解析:

(丱)函数 f 丨x丩 是偶函数,证明如下:

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱分

对于 ?x ∈

ππ ?,

,则 ?x ∈

ππ ?,



串串

串串

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 串分

因为 f 丨?x丩 丽 a 乣乯乳 丨?x丩 ? x 乳乩乮 丨?x丩 丽 a 乣乯乳 x 丫 x 乳乩乮 x 丽 f 丨x丩 , 所以 f 丨x丩 是偶函数.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 临分

丱丵

(串)当 a > 丰 时,因为 f 丨x丩 丽 a 乣乯乳 x 丫 x 乳乩乮 x > 丰 , x ∈

ππ ?,

恒成立,

串串

所以集合 A 丽 {x | f 丨x丩 丽 丰} 中元素的个数为 丰 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丵分

当 a 丽 丰 时,令 f 丨x丩 丽 x 乳乩乮 x 丽 丰 ,由 x ∈

ππ ?,

,得 x 丽 丰 .

串串

所以集合 A 丽 {x | f 丨x丩 丽 丰} 中元素的个数为 丱 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丶分

当 a < 丰 时,因为 f 丨x丩 丽 ?a 乳乩乮 x 丫 乳乩乮 x 丫 x 乣乯乳 x 丽 丨丱 ? a丩 乳乩乮 x 丫 x 乣乯乳 x > 丰, x ∈

π 丰,





所以函数 f 丨x丩



π 丰,

上的增函数.



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丸分

因为 f 丨丰丩 丽 a < 丰 , f π 丽 π > 丰 ,

串串

所以 f 丨x丩 在

π 丰,

上只有一个零点.



由 f 丨x丩 是偶函数可知,集合 A 丽 {x | f 丨x丩 丽 丰} 中元素的个数为 串 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丰分

综上所述, 当 a > 丰 时,集合 A 丽 {x | f 丨x丩 丽 丰} 中元素的个数为 丰 ; 当 a 丽 丰 时,集合 A 丽 {x | f 丨x丩 丽 丰} 中元素的个数为 丱 ; 当 a < 丰 时,集合 A 丽 {x | f 丨x丩 丽 丰} 中元素的个数为 串 . (丳)函数 f 丨x丩 有 丳 个极值点.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱丳分

串丰丮 已知集合 S 丽 {a1, a2, a3, · · · , an} ( n 丳 ),集合 T ? {丨x, y丩 | x ∈ S, y ∈ S, x 丽 y} 且满足: ?ai

, aj ∈ S 丨i, j 丽 丱, 串, 丳, · · · , n, i 丽 j丩 , 丨ai, aj丩 ∈ T 与 丨aj, ai丩 ∈ T 恰有一个成立. 对于 T 定

?

??丱, 丨a, b丩 ∈ T,

义 dT 丨a, b丩 丽

lT 丨ai丩 丽 dT 丨ai, a1丩 丫 dT 丨ai, a2丩 丫 · · · 丫 dT 丨ai, ai?1丩 丫 dT 丨ai, ai+1丩 丫

??丰, 丨b, a丩 ∈ T,

· · · 丫 dT 丨ai, an丩 丨i 丽 丱, 串, 丳, · · · , n丩 .

(丱)若 n 丽 临 , 丨a1, a2丩 , 丨a3, a2丩 , 丨a2, a4丩 ∈ T ,求 lT 丨a2丩 的值及 lT 丨a4丩 的最大值;

(串)从 lT 丨a1丩 , lT 丨a2丩 , · · · , lT 丨an丩 中任意删去两个数,记剩下的 n ? 串 个数的和为 M .求

证: M

丱 n 丨n ? 丵丩 丫 丳


;(丳)对于满足 lT 丨ai丩 < n ? 丱

丨i 丽 丱, 串, 丳, · · · , n丩 的每一个集合 T

,集

丱丶
合 S 中是否都存在三个不同的元素 e , f , g ,使得 dT 丨e, f 丩 丫 dT 丨f, g丩 丫 dT 丨g, e丩 丽 丳 恒成立, 并说明理由. 解析: (丱)因为 丨a1, a2丩 , 丨a3, a2丩 , 丨a2, a4丩 ∈ T , 所以 dT 丨a2, a1丩 丽 丰 , dT 丨a2, a3丩 丽 丰 , dT 丨a2, a4丩 丽 丱 ,故 lT 丨a2丩 丽 丱 .
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱分
因为 丨a2, a4丩 ∈ T , 所以 dT 丨a4, a2丩 丽 丰 . 所以 lT 丨a4丩 丽 dT 丨a4, a1丩 丫 dT 丨a4, a2丩 丫 dT 丨a4, a3丩 丱 丫 丰 丫 丱 丽 串 . 所以当 丨a2, a4丩 , 丨a4, a1丩 , 丨a4, a3丩 ∈ T 时, lT 丨a4丩 取得最大值 串 .
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丳分

(串)由 dT 丨a, b丩 的定义可知: dT 丨a, b丩 丫 dT 丨b, a丩 丽 丱 . 所以

n
lT 丨ai丩 丽 乛dT 丨a1, a2丩 丫 dT 丨a2, a1丩九 丫 乛dT 丨a1, a3丩 丫 dT 丨a3, a1丩九 丫 · · ·
i=1

丫 乛dT 丨a1, an丩 丫 dT 丨an, a1丩九 丫 · · · 丫 乛dT 丨an?1, an丩 丫 dT 丨an, an?1丩九



乃2n



丱 n 丨n ? 丱丩 .


· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丶分

设删去的两个数为 lT 丨ak丩

, lT 丨am丩

,则 lT 丨ak丩 丫 lT 丨am丩 丽

丱 n 丨n ? 丱丩 ? M




由 题 意 可 知: lT 丨ak丩 n ? 丱 , lT 丨am丩 n ? 丱 ,且 当 其 中 一 个 不 等 式 中 等 号 成 立,不 妨

设 lT 丨ak丩 丽 n ? 丱 时, dT 丨ak, am丩 丽 丱 , dT 丨am, ak丩 丽 丰 .

所以 lT 丨am丩 n ? 串 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丷分

所以 lT 丨ak丩 丫 lT 丨am丩 n ? 丱 丫 n ? 串 丽 串n ? 丳 .

所以 lT

丨ak丩



lT

丨am丩



丱 n 丨n


?

丱丩

?

M

串n ? 丳 ,即 M

丱 n 丨n ? 丵丩 丫 丳





· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丸分

(丳)对于满足 lT 丨ai丩 < n ? 丱 丨i 丽 丱, 串, 丳, · · · , n丩 的每一个集合 T ,集合 S 中都存在三个不同的

丱丷
元素 e , f , g ,使得 dT 丨e, f 丩 丫 dT 丨f, g丩 丫 dT 丨g, e丩 丽 丳 恒成立,理由如下: 任取集合 T ,由 lT 丨ai丩 < n ? 丱 丨i 丽 丱, 串, 丳, · · · , n丩 可知, lT 丨a1丩 , lT 丨a2丩 , · · · , lT 丨an丩 中存 在最大数,不妨记为 lT 丨f 丩 (若最大数不唯一,任取一个). 因为 lT 丨f 丩 < n ? 丱 , 所以存在 e ∈ S ,使得 dT 丨f, e丩 丽 丰 ,即 丨e, f 丩 ∈ T . 由 lT 丨f 丩 丱 可设集合 G 丽 {x ∈ S | 丨f, x丩 ∈ T } 丽 ? . 则 G 中一定存在元素 g 使得 dT 丨g, e丩 丽 丱 .否则, lT 丨e丩 lT 丨f 丩 丫 丱 ,与 lT 丨f 丩 是最大数矛盾. 所以 dT 丨f, g丩 丽 丱 , dT 丨g, e丩 丽 丱 ,即 dT 丨e, f 丩 丫 dT 丨f, g丩 丫 dT 丨g, e丩 丽 丳 .
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 丱临分


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