复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:不等式

单元训练:不等式 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设 M=2a(a-2)+3,N=(a-1)(a-3),a∈R,则有( A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N
2

)

2.不等式 ( a ? 2 ) x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是( A. ( ? 2 , 2 ) B. ( ? 2 , 2 ] C. ( ?? , 2 ] D. ( ?? , ? 2 )

)

3.今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。当甲、乙两人为一方,丙、丁两 人为另一方时,双方势均力敌;当甲与丙对调以后,甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一 方;而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。那么,甲、乙、丙、丁四人的“体力” 由强到弱的顺序是( A.丁、乙、甲、丙 C.丁、乙、丙、甲
2 2

) B.乙、丁、甲、丙 D.乙、丁、丙、甲

4.已知不等式 xy ? a x ? 2 y ,若对任意 x ? ?1, 2 ? 及 y ? ? 2, 3 ? ,该不等式恒成立,则实数 a 的 范围是( )
35 9

A. ? 1 ? a ? ?

B. ? 3 ? a ? ? 1
2 ab a ?b

C. a ? ? 3
? a ?b 2

D. a ? ? 1
a ?b 2 ? a
2

5.已知 a ? 0 , b ? 0 ,以下三个结论:①

,②

?b 2

2



2 2 ③ b ? a ? a ? b ,其中正确的个数是(

) B.1 C.2 ) D.是减函数 ) D.3

a

b

A.0 6.设函数 f ( x ) ? 2 x ? A.有最大值
1 x

? 1( x ? 0 ) ,则 f ( x ) (

B.有最小值

C.是增函数

7.实数 a , b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式正确的是( A. a ? b
b a

B. a
?b

?b

?b
b

?b

C. a

?a

?b

D. b ? a
b

8.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费用为 9 万元,这种生产设备的维护费 用:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依每年 2 千元的增量逐年递增,则这套 生产设备最多使用( A.3 9.若
1 a ? 1 b

)年报废最划算。 B.5 C.7 ③a<b ④ D.10
b a ? a b ? 2 中,正确的不

? 0 ,则下列不等式:①a+b<ab ②|a|>|b|

等式有( A.①②

) B.②③ C.①④ ) D.③④

10.如果 a ? b ,那么下列不等式一定成立的是(
1

A. a ? c ? b ? c

B. c ? a ? c ? b

C. ? 2 a ? ? 2 b )

D. a

2

? b

2

11.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式成立的是(
b

A.a >b

2

2

B. a <1 ,则 ? 的值为( B.
2 3

C.lg(a-b)>0
??? ?

?1? ?1? ? ? ? ? ? ?3? D. ? 3 ?

x

y

12.已知 ? A B C 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足: P A
??? ? ???? ??? ? AB ? AC ? ? AP

??? ??? ? ? ? ? PB ? PC ? 0

,若实数 ? 满足:

) C.2 D.8 共 90 分)

A.3

第Ⅱ卷(非选择题
b a ?3

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设 a , b ? R , a ? 2 b
2 2

? 6 ,则

的最大值是 .



14.等式组 ? 15.若函数

?2 x ? 1 ? x ?4 x ? 3x ? 2

的解集是

f ( x ) 是定义在(0,+ ? )上的增函数,且对一切 x>0,y>0 满足

f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,则不等式 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ? 2 f ( 4 ) 的
解集为 16.设不等式组 ?
?0 ? x ? 2 ?0 ? y ? 2

表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点

的距离大于 2 的概率是 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.求证:a +b +c ≥a b +b c +c a . 18.已知 26 辆货车以相同速度 v 由 A 地驶向 400 千米处的 B 地,每两辆货车间距离为 d 千米, 现已知 d 与 v 的平方成正比,且当 v=20(千米/时)时,d=1(千米) . (1)写出 d 与 v 的函数关系; (2)若不计货车的长度,则 26 辆货车都到达 B 地最少需要多少小时?此时货车速度是多少?
x ? ax ? 2 a
2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2

19. 设命题 P: 关于 x 的不等式 a 的定义域为 R。

>1(a>0 且 a≠1)为{x|-a<x<2a};命题 Q: y=lg(ax -x+a)

2

如果 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围 20.已知正数 a、b、c 满足 a ? b ? 2 c ,求证: c ?
2

c ? ab ? a ? c ?
2
2

c ? ab .
2

21.已知 a,b∈R,且 a+b=1.求证: ? a ? 2 ? ? ?b ? 2 ? ?
?x ? 2y ? 4 ? 22.已知关于 x,y 的二元一次不等式组 ? x ? y ? 1 ?x ? 2 ? 0 ?

25 2



(1)求函数 u=3x-y 的最大值和最小值; (2)求函数 z=x+2y+2 的最大值和最小值.
2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

【答案】B 【答案】B 【答案】A 【答案】D 【答案】D 【答案】A 【答案】A 【答案】D 【答案】C

10. 【答案】A 11. 【答案】D 12. 【答案】A 13. 【答案】1 14. 【答案】 ? 1 ? x ? 2 15. 【答案】 (0,+ ? ) 16. 【答案】
4?? 4

1 4 4 4 2 2 2 2 2 2 17. 【答案】 证法 1: +b +c - a b +b c +c a ) ∵a ( = 2 =

[(a -2a b +b )+( b -2a b +c )+( c -2c a +a )]

4

2 2

4

4

2 2

4

4

2 2

4

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 [(a -b ) +(b -c ) +(c -a ) ] ≥0,∴a +b +c ≥a b + b c + c a 。 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

证法 2: 不妨设 a ≥b ≥c ,则由排序原理顺序和≥乱序和, a ×a +b ×b +c ×c ≥a b + b c +c a , 得 即 a +b +c ≥a b + b c +c a ,当且仅当 a = b = c 时,等号成立. 18. 【答案】 (1)设 d=kv (其中 k 为比例系数,k>0) ,由 v=20,d=1 得 k=
2

1 400

∴d=

1 400

v

2

(2)∵每两列货车间距离为 d 千米,∴最后一列货车与第一列货车间距离为 25d,∴最后一列货 车达到 B 地的时间为 t=
400 v
400 v ? 25 d v

,代入 d=

1 400

v 得

2

t=

400 v

?

v 16

≥2

v 16

=10,当且仅当 v=80 千米/时等号成立。∴26 辆货车到达 B 地最少

用 10 小时,此时货车速度为 80 千米/时。 19. 【答案】(1)依题得: y ? 50 ?12 x ?
?
2

?

x ( x ? 1) 2

? 2 * ? 4 ? 98 ? ? 2 x ? 40 x ? 98 . (x ? N ) ? ?

(2)解不等式 ? 2 x ? 4 0 x ? 9 8 ? 0, 得 : 1 0 ? ∵x ? N ,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。 (3) (Ⅰ)?
y x ? ?2 x ? 40 ? 98 x 98 x ? 40 ? (2 x ?
*

51 ? x ? 10 ?

51

98 x

) ? 40 ? 2

2 ? 98 ? 12

当且仅当 2 x ?

时,即 x=7 时等号成立.

? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.

(Ⅱ)y=-2x +40x-98=-(x-10) +102,当 x=10 时,ymax=102

2

2

3

故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 20. 【答案】要证 c ?
2

c ? ab ? a ? c ?
2

c ? ab ,
2

只需证 ? c ? a b ? a ? c ? 即只要证 | a ? c |?
c ? ab
2

c ? ab ,
2

? 两边都是非负数,

? 只 要 证 (a ? c) ? c ? ab,
2 2

只 要 证 a ? 2ac ? ? ab
2

即 只 要 证 a (a ? b) ? 2ac, ? a ? 0, 只 需 证 a ? b ? 2c,

这就是已知条件, 且以上各步都可逆,
?c? c ? ab ? a ? c ?
2

c ? ab .
2

21. 【答案】? a , b ? R , a ? b ? 1,? b ? 1 ? a
? ?a ? 2? ? ?b ? 2? ?
2 2

25 2
2

? a ? b ? 4(a ? b) ?
2 2

9 2

? a ? (1 ? a ) ? 4 ?
2 2

9 2

? 2a ? 2a ? 25 2

1 2

? 2(a ?

1 2 1 2

) ? 0
2

即 ? a ? 2 ? ? ?b ? 2 ? ?
2 2

(当且仅当 a ? b ?

时,取等号)

?x ? 2y ? 4 ? 22. 【答案】 (1)作出二元一次不等式组 ? x ? y ? 1 ,表示的平面区域,如图所示: ?x ? 2 ? 0 ?

由 u=3x-y,得 y=3x-u,得到斜率为 3,在 y 轴上的截距为-u,随 u 变化的一组平行线, 由图可知,当直线经过可行域上的 C 点时,截距-u 最大,即 u 最小,
? ?x+2y=4, 解方程组? ? ?x+2=0,

得 C(-2,3),

∴umin=3×(-2)-3=-9. 当直线经过可行域上的 B 点时,截距-u 最小,即 u 最大,

4

? ?x+2y=4, 解方程组? ? ?x-y=1,

得 B(2,1),

∴umax=3×2-1=5. ∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9.

?x+2y≤4, ? (2)作出二元一次不等式组?x-y≤1, ?x+2≥0 ?

表示的平面区域,如图所示.

1 1 1 1 由 z=x+2y+2,得 y=- x+ z-1,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为 z-1,随 z 变化的一 2 2 2 2 组平行线, 1 由图可知,当直线经过可行域上的 A 点时,截距 z-1 最小,即 z 最小, 2
?x-y=1, ? 解方程组? ? ?x+2=0,

得 A(-2,-3),

∴zmin=-2+2×(-3)+2=-6. 当直线与直线 x+2y=4 重合时,截距 1 z-1 最大, 2

即 z 最大, ∴zmax=4+2=6. ∴z=x+2y+2 的最大值是 6,最小值是-6.

5


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