2016届河北省邯郸市高三(下)第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)


2016 届河北省邯郸市高三(下)第二次模拟考试 数学(理)试题
一、选择题 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 4 x ? 12 ? 0}, B ? {x | x ? log 1 9} ,则 A ? B 等于(
3



A. (? , 2) 【答案】B

1 3

B. (?2,3)

C. (?2, 2)

D. (?6, ?2)

【解析】试题分析:因 A ? {x | ?6 ? x ? 2}, B ? {x | x ? ?2} ,故 A ? B ? (?2,2) .故应 选 B. 【考点】集合的交集运算. 2. 已知复数 z ? A.第一象限 【答案】B

10 ? 5ai 的实部与虚部之和为 4, 则复数 z 在复平面上对应的点在 ( 1 ? 2i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



【解析】试题分析: ? z ? (2 ? ai)(1 ? 2i) ? 2 ? 2a ? (4 ? a)i 实部与虚部之和为 4 ,

? a ? ?2 ,则 z ? ?2 ? 6i ,故应选 B.
【考点】复数的概念及运算.
2 3.已知 cos( +

x ? ? ) ? cos( x ? ) ,则 cos x 等于( 2 4 6
B. ?



A.

3 3

3 3

C.

1 3

D. ?

1 3

【答案】A

cos( x+ ) +1 3 3 1 2 【解析】 试题分析: 由已知可得 化简得 cos x ? , = cos x ? sin x , 3 2 2 2
故应选 A. 【考点】三角变换公式及运用. 4. 已知向量 a 与 b 的夹角为 60°, 则 2a ? b 在 a 方向上的投影为 ( | a |? 2 , | b |? 5 ,

?

?

?

?

?

? ?

?



A.

3 2

B.2

C.

5 2

D.3

【答案】A 【解析】试题分析:因向量 a ,b 的夹角为 60 ,| a | ? 2 ,| b | ? 5 ,?(2a ? b)? a ? 3,
?

?

?

???

???

? ? ?

? ? ? ? ? ? a? (2a ? b) 3 ??? 则 2a ? b 在 a 方向上的投影为 ? ,故应选 A. 2 |a|
【考点】向量的有关概念及运算.

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? x ? y ? 1 ? 0, 2 ? 5. 如果实数 x , y , 满足条件 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, , 则 z ? 1? 的最大值为 ( 2 x ? 3 y ? x ? 1 ? 0, ?
A. 1 【答案】B B.



3 4

C. 0

D.

4 7

【解析】试题分析:运用转化化归的思想将问题转化为求 2 x ? 3 y 的最大值.根据约束 条件画出可行域如图, 结合图形可知当动直线 y ? ? 取得最大值 8,故 z 的最大值为
2x+y-2=0 y

2 z x ? 经过点 P(1,2) 时, 2x ? 3 y 3 3

3 .故应选 B. 4

x=1 x-y+1=0

P(1,2) x O

2 y=3 x+

z 3

【考点】线性规划的知识及运用. 【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画

2 z x ? ,结合图形可以看出当该直 3 3 2 z 1 线经过点 P(1,2) 时 ,目标函数 y ? ? x ? 在 y 轴上的截距 z 最大 , z 的值最大 , 最 3 3 3
出不等式组表示的平面区域,进而移动动直线 y ? ? 大为值为 z min ? 2 ? 6 ? 8 .在这个解答过程中,先将问题进行转化,将 z ? 1 ?

2 2x ? 3y

这的最大值值问题转化为求 2 x ? 3 y 的最大值问题.整个解答过程充满了化归转化的思 想和数形结合的数学思想. 6.已知 (1 ? 2 x)5 ? a0 ? a1(1 ? x) ? a2 (1 ? x) 2 ? ?? a5(1 ? x) 5 ,则 a3 ? a4 等于( A.0 【答案】C 【 解 析 B.-240 C.-480 D.960 )















(1 ? 2 x)5 ? [3 ? 2(1 ? x)]5



3 4 a3 ? a4 ? 32 C5 (?2)3 ? 3C5 (?2)4 ? ?480 ,故应选 C.

【考点】二项式定理及运用. 7.执行如图所示的程序框图,则下列说法正确的是(



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A. ?a ? (2, 4) ,输出 i 的值为 5 C. ?a ? (3, 4) ,输出 i 的值为 5 【答案】D

B. ?a ? (4,5) ,输出 i 的值为 5 D. ?a ? (2, 4) ,输出 i 的值为 5

【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 S ? 1, i ? 2; S ? 4, i ? 3; S ? 9, i ? 4; S ? 16, i ? 5, 此 时 输 出

i ? 5, 则 9 ? 4a 且 16 ? 5a ,即

9 16 ? a ? .故应选 D. 4 5

【考点】算法流程图及识读和理解. 【易错点晴】 算法是新教材中的重要内容之一.本题考查的是算法流程图的阅读和理解, 及运用流程图中提供的信息进行分析问题和解决问题的能力.解答本题的关键是正确理 解题设中提供的 S ? ai 这一信息. 然后逐一进行计算,合理推证和判断,直到输出 i ? 5 时,再建立不等式组 ?

?9 ? 4a 9 16 ,然后通过解不等式求出 ? a ? ,从而确定应选正确 4 5 ?16 ? 5a

答案 D.按题设条件分析验证是解答好本题的关键之所在,要特别注意,这也是许多同学 感到困难的地方. 8 . 已 知 函 数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? 3? ) 是 奇 函 数 , 其 中 ? ? (0,

?
2

) ,则函数

g ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的 图像(
A.关于点 (



?
12

, 0) 对称

? 个单位得到 3 ? C.可由函数 f ( x ) 的图像向左平移 个单位得到 6 ? D.可由函数 f ( x ) 的图像向左平移 个单位得到 3
B.可由函数 f ( x ) 的图像向右平移 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 已 知 可 得 函 数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? 3? ) 为 奇 函 数 可 得

y ? sin(x ? 3? ) 是 偶 函 数 , 所 以 sin3? ? ?1 , 由 ? ? (0, ) 可 得 ? ? , 然 后 代 入 6 2 y ? f ( x), y ? g ( x) 得到 f ( x) ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) , 2
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?

?

?

g ( x) ? cos(2 x ? ) , 进而可知函数 f ( x) 的图象向左平移 个单位可得函数 g ( x) 的 6 6
图象,故应选 C. 【考点】三角函数的图象和性质. 【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充 分利用题设中提供的有关信息,先待定函数解析式中的参数 ? ,再验证题设中所提供的 四个选择支中正确的答案.解答时先借助函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? 3? ) 是奇函数,可得

?

?

y ? sin(x ? 3? ) 是偶函数 , 所以 sin3? ? ?1 , 得到 3? ? k? ?

?
2

,? ?

??

?
6

,然后代入 y ? f ( x), y ? g ( x) 得到 f ( x) ? sin 2 x ? cos(2 x ?

?
2

k? ? ? , 求出 3 6

)

, g ( x) ? cos(2 x ? 图象,故应选 C.

?
6

) ,进而可知函数 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位可得函数 g ( x) 的 6

9. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R , 对任意 x1 ? x2 , 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ) ? 1 , ? ?1 ,且 f ( x1 ? x2
) D. (??, 0) ? (0,1)

则不等式 f (log2 | 3x ?1|) ? 2 ? log2 | 3x ?1| 的解集为( A. (??, 0) 【答案】D 【 解
1

B. (??,1)

C (?1, 0) ? (0,3)



















x1 ? x2





f(

? x) f( 2 ? 1 x1 ? x2

x) ?

?1 ( f ?1 (x ? x1

x2

) x ?2 ) f( ( x ( x ) 即 0函 ?数 , g2( x) ? f ( x) ? x 是 在

)

)

R 上的单调增函数,且 g (1) ? f (1) ? 1 ? 2 ,故由 f (log2 | 3x ?1|) ? 2 ? log2 | 3x ?1| 可
得 g (log2 | 3x ?1|) ? g (1),?log2 | 3x ?1|? 1 ? x ? 1 且 x ? 0 .故应选 D. 【考点】对数函数的图象和性质. 10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

14 3

B.5

C.

16 3

D.6

【答案】A 【解析】试题分析:该几何体的直观图如图所示,连接 BD ,则该几何体由直三棱柱

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ABD ? EFG

和 四 棱 锥

组 F 合 而 成 , 其 体 积 为 C? B D G

1 1 4 14 .故应选 A. ? 1? 2 ? 2 ? ? 2 ? 5 ? ? 2 3 5 3

【考点】三视图的识读和几何体的体积公式的运用. 11.已知点 A 是抛物线 M : y 2 ? 2 px( p ? 0) 与圆 C : x2 ? ( y ? 4)2 ? a2 在第一象限的 公共点,且点 A 到抛物线 M 焦点 F 的距离为 a .若抛物线 M 上一动点到其准线与到 点 C 的距离之和的最小值为 2 a , O 为坐标原点,则直线 OA 被圆 C 所截得的弦长为 ( ) A.2 【答案】C 【解析】 试题分析: 因抛物线 M 上一动点到其准线与到点 C 的距离之和的最小值为 2 a , 又 | CA | ? | AF |? 2a,?C、A、F 三 点 共 线 , 且 A 是 线 段 CF 的 中 点 , B. 2 3 C.

7 2 3

D.

7 2 6

p p p p p 3 2 ? C (0, 4), F ( , 0),? A( , 2), 则 4 ? 2 p? ? p ? 2 2, ? a ? ? ? ,? 圆 2 4 4 4 2 2
心 C 到 直 线 O A : ? y 2 的 距 离 为 2 x

|0?4| 4 ? , ? 所 求 的 弦 长 为 3 3

4 7 2 2 a 2 ? ( )2 ? . 故应选 C. 3 3
【考点】抛物线与圆的位置关系及运用. 【易错点晴】本题考查的是圆与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用.解答时充分 依据题设条件所提供的有效信息 ,先利用抛物线的定义将问题进行合理转化 ,再次运用 等价转化的数学思想将最小值问题也进行了转化 .从而使得问题简单明了 ,最后通过将 点 A(

p ,2) 代入抛物线方程 y 2 ? 2 px 可得 p ? 2 2 ,建立的直线方程借助圆心距与半 4

径弦长之间的关系求出弦长 L ?

7 2 .求 a, p 的值是解答本题的难点也是关键之所在, 3

解决这个难点的方法值得借鉴和学习. 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?

x2 ? 4 x ? 7 1 2 7 , g ( x) ? ln x ? x ? ,实数 a , b 满足 2 2 x ?1

a ? b ? ?1 ,若 ?x1 ?[a,b] ,?x2 ? (0, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 b ? a 的
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最大值为( A.4 【答案】D

) B. 2 3 C. 2 2 D.3

【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 g ( x) ?
'

1 1 ? x 2 (1 ? x)(1 ? x) ?x? ? ,则 0 ? x ?1 时, x x x
. 0 所 以

g' (x )? 0 ; 当 x ? 1 时 , g ' (x ? )
f ( x) ? ?2 ? ( x ? 1 ? 4 ), 令t ? x ? t( 1? 0 ) x ?1

g( x ?x m) a

g ? ( 1 , )

3

() ?? 2? ( t ? ) , 设 ht

4 , 作函数 y ? f (t ) t

的图像如图所示,由 f (t ) ? 3 得 t ? ?1 或 t ? ?4 ,? b ? a 的最大值为 3 .故应选 D.

【考点】导数的知识与函数的图象等知识的综合运用. 【易错点晴】本题是以函数为背景,设置了一道考查函数的图像和基本性质的综合性问 题.解答时充分借助题设中条件,合理挖掘题设条件中蕴含的有效信息: ?x1 ?[a, b] ,

?x2 ? (0, ??) 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立.本题解答的另一个特色就是数形结合思想的
运用和转化化归的数学思想的运用 . 求解时是先运用导数求出了函数 g ( x) 的最大值

g ( x)max ? g (1) ? 3 .然后通过解方程 f (t ) ? 3 ( t ? x ? 1 )求出 t ? ?1 或 t ? ?4 ,最终
求出 b ? a 的最大值是 ? 1 ? (?4) ? 3 .本题的求解体现了函数方程思想、 转化化归思想、 数形结合思想等许多数学思想和方法具体应用.

二、填空题 13.甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试.根据平时训练的经验,甲、乙、丙 三人能达标的概率分别为 _______. 【答案】

3 2 3 、 、 ,则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 4 3 5

2 3 3 2 3 1 1 2 2 ? ? ? ? ? ? , 4 3 5 4 3 5 3

【解析】 试题分析: 因三人中有一人或两人达标, 其概率为 1 ? 第 6 页 共 16 页

故应填

2 . 3

【考点】独立事件和对立事件的概率公式及运用. 14.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点作与 x 轴垂直的直线 l ,直线 l 与双曲 a 2 b2

线交于 A、B 两点,与双曲线的渐近线交于 C、D 两点.若 3|AB|=2|CD | ,则双曲线的 离心率为_______. 【答案】

3 5 5 3 5 , 5

【解析】试题分析:由题设可得 3b ? 2c,?9a2 ? 5c2 ,则双曲线的离心率 e ?

故应填

3 5 . 5

【考点】双曲线的几何性质及运用. 15.在四棱锥 P ? ABCD 中, PB ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形. 若直线 PC 与平面 PDB 所成的角为 30°,则四棱锥 P ? ABCD 的外接球的表面积为 _______. 【答案】 12? 【解析】试题分析:连结 AC 交 BD 于 H ,则可证得 AC ? 平面 PDB ,连接 PH ,则

?CPH 就 是 直 线 PC 与 平 面 PDB 所 成 的 角 , 即 ?CPH ? 30° , ?CH ? 2 ,

? PC ? 2 2 ,? PD ? 2 3 ,? 四棱锥 P ? ABCD 的外接球的半径为 3 ,则所求外
接球的表面积为 12? ,故应填 12? . 【考点】四棱锥的外接球的面积及求法.

C 的对边分别为 a , b, B, 16. 在 ?ABC 中, 内角 A , cos B ? c ,3a sin B ? c ,
D 是 AC 的中点,且 BD ? 26 ,则 ?ABC 的面积为_______.
【答案】 6 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 cos B ?

2 5 , 5

2 5 5 B?c ,故 得 sin B ? , 又 因 3a s i n 5 5

3 5s i n A ? 5s i n C ,即 3 5sin A ?5sin( A ?B ) ,则 sin A ?cos A ,得 tan A ? 1 ,所
以 A?

?
4

, 则 c2 ?

1 2 2 3 5 10 b ? bc ? 26 , 又 c ? a , b? a ,所以 4 2 5 5

9 2 1 2 3 2 a ? a ? a ? 26 ,解得 a ? 2 5 ,所以 b ? 2 2 ,c ? 6 ,则 ?ABC 的面积为 5 10 5
第 7 页 共 16 页

1 ? 2 2 ? 6sin A ? 6 ,故应填 6 . 2
【考点】正弦定理余弦定理及三角形面积公式的灵活运用. 【易错点晴】 本题考查是正弦定理余弦定理及三角形面积公式和三角变换等有关知识的 综 合 运 用 . 解 答时 充 分 借助 题 设 条 件 , 先由 cos B ?

2 5 5 求 出 sinB ? ,再代入 5 5

3a sinB ? c得并用正弦定理将化为 3 5 sin A ? 5 sin C .然后借助三角变换公式化为

3 5 sin A ? 5sin(A ? B ) 求 得 A ?

?
4

, 再 运 用 余 弦 定 理 建 立 方 程

1 2 3 5 10 c 2 ? b2 ? bc ? 26 ,将 c ? a ,b ? a 代入可得 a ? 2 5 ,设最后运用面 4 2 5 5
积公式求出该三角形的面积为 6 .整个解答过程体现了方程思想的巧妙运用. 三、解答题 17. 已知公比小于 1 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
n 【答案】(1) a n ? 2( ) ;(2) Tn ?

2 且 13a2 ? 3S3 (n ? N ? ) . 3

1 3

3 2n ? 3 ? . 2 2? 3n

【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程求解;(2)借助 题设条件运用错位相减法求解. 试题解析: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,

?13a2 ? 3S3 ,?10a2 ? 3a1 ? 3a3 ,??????????2 分
2 则 10q ? 3 ? 3q ,解得 q ?

1 或 q ? 3 (舍去) ,??????????4 分 3

2 1 n ?1 1 ?( ) ? 2?( ) n .??????????5 分 3 3 3 1 ( ) n ,??????????6 分 (2)? bn ? 2n? 3 1 1 1 ?Tn ? 2 ? ? 4 ? ( ) 2 ? ? ? 2n?( ) n ,① 3 3 3 1 1 2 1 3 1 ( ) n ?1 ,②??????????7 分 则 Tn ? 2 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? ? ? 2n? 3 3 3 3
故 an ? ① ② 得 :

1 1 n ?1 ?( ) 2 1 1 2 1 n 1 n ?1 1 Tn ? 2 ? ? 2 ? ( ) ? ? ? 2? ( ) ? 2 n? ( ) ? 2?3 3 ? 2 n? ( ) n ?1 ,???? 1 3 3 3 3 3 3 1? 3
??????10 分 第 8 页 共 16 页

解得 Tn ?

3 2n ? 3 ? .??????????12 分 2 2? 3n

【考点】等比数列的通项公式及性质等有关知识的综合运用.

ABCD 是边长为1的正方形 , 18 .如图,在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面

CC1 ? 2 ,点 P 是侧棱 C1C 的中点.

(1)求证: A1P ? 平面 PBD ; (2)求平面 A1 BP 与平面 CDD1C1 所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析;(2)

6 . 6

【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证;(2)借助题设条件 建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式求解. 试题解析: (1) 证明: 连接 AC , ? 底面 ABCD 是正方形,? AC ? BD ,?????????? 1分 又 ? 侧棱 CC1 垂直于底面 ABCD ,?CC1 ? BD ,??????????2 分

? AC ? CC1 ? C ,? BD ? 平面 AA1 PC ,则 BD ? A1 P .??????????3


? A1P ? 3
B ? P
1



BP ? 2



A1B ? 5



? A1P2 ? BP2 ? A1B2





.?????????? 4分 A P

? BD ? BP ? B ,? A1P ? 平面 PBD .??????????5 分
(2)解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A 1 (1,0, 2) , B(1,1, 0) , P (0,1,1, ) ? A 1B ? (0,1, ?2) , PB ? (1,0, ?1) . 设平面 A1 BP 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

????

??? ?

???? ?n?A1 B ? 0, ? y ? 2 z ? 0, ? 即? ??????????8 分 ? ? ??? x ? z ? 0, n ? PB ? 0, ? ? ?
令 z ? 1 ,则 x ? 1 , y ? 2 ,? n ? (1, 2,1) .??????????9 分

第 9 页 共 16 页

? 向量 DA ? (1,0,0) 是平面 CDD1C1 的一个法向量,??????????10 分

???? ?

??? ? ??? ? n? DA 1 6 ???? ? ? ,??????????11 分 ?cos(n, DA) ? ? 6 | n | | DA | 1?1? 4
? 平面 A1 BP 与平面 CDD1C1 所成锐二面角的余弦值为


6 . ??????????12 6

【考点】空间直线与平面的位置关系及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用. 19.为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教 学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别 从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,结果如下表:记成绩不低于 70 分 者为“成绩优良” .

(1) 由以上统计数据填写下面 2×2 列联表, 并判断 “成绩优良与教学方式是否有关” ?

附: K ?
2

n(ad ? bc)2 . (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d )

临界值表

(2) 现从上述 40 人中, 学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取 8 人进行考核. 在 这 8 人中,记成 第 10 页 共 16 页

绩不优良的乙班人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 【答案】(1)列联表见解析,成绩优良与教学方式有关;(2)分布列见解析,

364 . 455

【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用 2 ? 2 列联表计算出卡方系数与临界值比对作 出判断;(2)借助题设条件运用排列数组合数公式求概率分布和数学期望求解. 试题解析: (1)

??????????2 分 根 据 2 × 2 列 联 表 中 的 数 据 , 得

K2 的 观 测 值 为

k?

2 4 0 ? ( 9? 4 ? 1 6 1 1 ) 5 ? . 2 2? 7 , 5 . 0 2 4 2 ? 5 1 ? 5 ?2 0 2 0

? 在 犯 错 概 率 不 超 过 0.05 的 前 提 下 认 为 “ 成 绩 优 良 与 教 学 方 式 有
关”.??????????5 分 (2) 由 表 可 知 在 8 人 中 成 绩 不 优 良 的 人 数 为 0,1,2,3.????????6 分

15 ?8 ? 3 , 则 X 的 可 能 取 值 为 40

P( X ? 0) ?

3 2 1 C11 C11 C4 44 33 ; ? P ( X ? 1) ? ? ;??????????8 分 3 3 C15 91 C15 91

1 2 3 C11 C4 C4 66 4 ; P( X ? 1) ? 3 ? .??????????10 分 P( X ? 2) ? ? 3 C15 455 C15 455

? X 的分布列为:

??????????11 分 所以 E ( X ) ? 0 ?

33 44 66 4 364 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? .??????????12 分 91 91 455 455 455

【考点】 2 ? 2 列联表及相关系数与随机变量的概率分布及数学期望等有关知识的综合 运用. 20.已知右焦点为 F 的椭圆 M : 点,且 PF ? QF .

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 3) 与直线 y ? 相交于 P 、 Q 两 2 a 3 7

第 11 页 共 16 页

(1)求椭圆 M 的方程; (2) O 为坐标原点, A , B , C 是椭圆 E 上不同的三点,并且 O 为 ?ABC 的重心, 试探究 ?ABC 的面 积是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

x2 y 2 9 ? ? 1 ;(2)是, . 【答案】(1) 2 4 3
【解析】试题分析:(1)借助题设条件建立方程组求解;(2)借助题设条件运用直线与椭 圆的位置关系建立方程和目标函数推证求解. 试题解析: (1)设 F (c, 0) , P(t ,

3 3 ) ,则 Q (?t , ) ,??????????1 分 7 7

t2 3 4 ? 2 ? ? 1 ,即 t 2 ? a 2 ,①??????????2 分 7 a 7
3 3 9 7 ? 7 ? ?1 2 2 ,即 c ? t ? ? ,②??????????3 分 ? PF ? QF ,? t ? c ?t ? c 7
4 9 ? 由①②得 c 2 ? a 2 ? ? , 7 7
2 2 又 a ? c ? 3 ,? a 2 ? 4 ,??????????4 分

x2 y 2 ? 1 .??????????5 分 ? 椭圆 M 的方程为 ? 4 3
(2)设直线 AB 方程为: y ? kx ? m ,

?8km ? x1 ? x2 ? ? x2 y 2 ? ?1 ? ? ? 3 ? 4k 2 2 2 2 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 ,? ? 3 ? y ? y ? 6m ? y ? kx ? m 2 ? ? 1 3 ? 4k 2 ?
???? ??? ? ??? ? 8km ?6m , ) ,??????????7 分 ? O 为重心,? OC ? ?(OA ? OB) ? ( 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 8km 2 ?6m 2 ( ) ( ) 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k ? C 点在椭圆 E 上,故有 ? ?1 , 4 3
2 2 可得 4m ? 4k ? 3 ,??????????8 分

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而 | AB |? 1 ? k 2 (

?8km 2 4m2 ? 12 2 4 1 ? k 2 ) ? 4( ) ? 12k 2 ? 9 ? 3m2 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
| 3m | 1? k 2
( 或 利 用 d 是 ( ) 到 AB 距 离 的 3 倍 得

d?

| kxc ? m ? yc | 1? k
2

?

到) ,??????????9 分

? S?ABC ?

1 6|m| 6| m| 9 | AB |?d ? 12k 2 ? 9 ? 3m 2 ? 12m 2 ? 3m 2 ? , ? ? ? 2 2 2 3 ? 4k 4m 2 9 , 2

??????10 分 当直线 AB 斜率不存在时, | AB |? 3 , d ? 3 , S ?ABC ?

? ?ABC 的面积为定值

9 .??????????12 分 2

【考点】直线和椭圆的几何性质等有关知识的综合运用. 【易错点晴】 本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时, 直 接 依 据 题 设 条 件 运 用 已 知 条 件 求 出 了 a ? 2, b ? 3 , 求 得 椭 圆 的 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1; 第二问的求解过程中,先联立方程组建立以交点坐标及参数 m 为变量的关 4 3
系式 (3 ? 4k 2 )x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0,再借助点 C 积在椭圆上及三角形面积的表达

1 9 | AB | ?d ,然后推证出其为定值 ,使得问题获解. 2 2 1 2 x 2 21 .已知 函数 f ( x) ? ( ax ? bx ? a ? b)e ? ( x ? 1)( x ? 2 x ? 2) , a ? R ,且曲线 2
式,建立了目标函数 S ?

y ? f ( x) 与 x 轴切于原点 O .
(1)求实数 a , b 的值; (2)若 f ( x)? ( x ? mx ? n) ? 0 恒成立,求 m ? n 的值.
2

【答案】(1) a ? 0, b ? 1 ;(2) m ? n ? ?1 . 【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解;(2)借助题设条件运用 等价转化的数学思想建立不等式组,再构造函数运用导数求解. 试题解析:
' 2 x 2 (1)? f ( x) ? (ax ? bx ? a ? b ? 2ax ? b)e ? [ x ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1)(2 x ? 2)]

1 2

1 ? [ax 2 ? (2a ? b) x ? a]e x ? (3 x 2 ? 2 x) ,????????????1 分 2

? f ' (0) ? a ? 0 ,又 f (0) ? a ? b ? 1 ? 0 ,? b ? 1 .??????????3 分
e x ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) , (2)不等式 f ( x) ? 0 ? ( x ? 1)?
x 2 整理得 ( x ? 1)[e ? ( x ? x ? 1)] ? 0 ,

1 2

1 2

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?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? ? 即? x 或? x , 1 2 1 2 e ? ( x ? x ? 1) ? 0 e ? ( x ? x ? 1) ? 0 ? ? ? 2 ? 2
x 2 令 g ( x) ? e ? ( x ? x ? 1) , h( x) ? g ' ( x) ? ex ? ( x ? 1) , h' ( x) ? ex ?1 .

1 2

当 x ? 0 时, h' ( x) ? ex ?1 ? 0 ;当 x ? 0 时, h' ( x) ? ex ?1 ? 0 ,

? h( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增,? h( x) ? h(0) ? 0 ,
即 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 上单调递增,而 g (0) ? 0 ;
x 2 x 2 故 e ? ( x ? x ? 1) ? 0 ? x ? 0 ; e ? ( x ? x ? 1) ? 0 ? x ? 0 .

1 2

1 2

? 当 x ? 0 或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;同理可得,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 .

( x2 ? mx ? n) ? 0 恒成立可得,当 x ? 0 或 x ? 1 时, x2 ? mx ? n ? 0 ; ? 由 f ( x)?
2 当 0 ? x ? 1 时, x2 ? mx ? n ? 0 ,故 0 和 1 是方程 x ? mx ? n ? 0 的两根,

从而 m ? ?1 , n ? 0 ,? m ? n ? ?1 .?????????12 分 【考点】导数的有关知识及综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是 以含参数 a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的 综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数解析式中的参数 a , b 的值, 解答时借助导数的几何意义运用解方程的方法进行求解的 ,体现了方程思想的运用 .第 二问中求解借助不等式恒成立和函数 f ( x) 的解析式进行等价转化,运用分类整合的思 想分类讨论是解答本题的关键. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , 在 ?ABC 中 , CD 是 ?ACB 的 角 平 分 线 , ?AC D 的 外 接 圆 交 BC 于 E ,

AB ? 2 AC .

(1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 1 ,BC ? 2 时,求 AD 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2) AD ?

2 . 3

【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用相似三角形求解;(2)借助题设条件运用等切 割线定理建立方程求解. 试题解析: 第 14 页 共 16 页

(1)连结 DE ,

? ACED



















? B ? D

E ? , ?B 又C

A

?DBE ? ?CBA,??BDE ∽ ?BCA, 即

BE DE ? ,而 AB ? 2 AC,? BE ? 2DE . BA CA

又 CD 是 ?ACB 的平分线,? AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD. ??????????5 分 (2)由条件得 AB ? 2 AC ? 2, 设 AD ? t . 根据割线定理得 BD?BA? BE ? BC , 即 ( AB ? AD)?BA ? 2 AD? 2,?(2 ? t )? 2 ? 2t ? 2, 解得 t ?

2 2 ,即 AD ? .??????????10 分 3 3

【考点】相似三角形的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面 直角坐标系,设直

? 3 x ? 5? t ? ? 2 ( t 为参数). 线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2
(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P、 Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该 矩形的面积. 【答案】(1) x 2 ? y 2 ? 4 x 和 x ? 3 y ? 5 ? 0 ;(2) 3 7 . 【解析】 试题分析: (1)借助题设条件运用 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 和消参法将极坐标和 参数方程化为直角坐标方程求解;(2)借助题设条件运用圆心距半径弦长之间的关系弦 长求解. 试题解析: (1)对于 C ,由 ? ? 4cos ? , 得 ? ? 4? cos? , 进而 x ? y ? 4 x.
2 2 2

? 3 x ? 5? t, ? 1 ? 2 ( x ? 5) , 对于 l ,由 ? ( t 为参数) ,得 y ? 3 ?y ? 1 t ? ? 2
即 l 的普通方程为 x ? 3 y ? 5 ? 0 .??????????5 分 (2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为(2,0) ,半径为 2, 则弦心距 d ?

| 2 ? 3?0 ?5| 3 ? , 2 1? 3

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弦长

3 | PQ |? 2 22 ? ( )2 ? 7 , 2
此 以



PQ













C















S ? 2d ? | PQ |? 3 7 .??????????10 分
【考点】极坐标和参数方程等有关知识的综合运用. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2| . (1)求证:

f ( x) ? 1 ;

(2)若方程 f ( x) ?

a 2 +2 a2 ? 1

有解,求 x 的取值范围.

【答案】(1)证明见解析;(2) ( ??, ] ? [ , ??) . 【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用绝对值不等式的性质求解;(2)借助题设条件 运用基本不等式和绝对值的定义分类求解. 试题解析: (1) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2| ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1. ??????????5 分

1 2

5 2

(2) ?

a2 ? 2 a2 ? 1

?

a2 ? 1 ? 1 a2 ? 1

? a2 ? 1 ?

1 a2 ? 1

? 2, ? 要使方程 f ( x) ?

a2 ? 2 a2 ? 1

有解,

只需 | x ? 1| ? | x ? 2| ? 2 , 即? 解得 x ?

? x ? 1, ?1 ? x ? 2, ? x ? 2, 或? 或? ?1 ? x ? 2 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 2,

1 5 ,或 x ? . 2 2 1 5 故 x 的取值范围是 (??, ] ? [ , ??). ??????????10 分 2 2
【考点】绝对值不等式等有关知识的综合运用.

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