【全程复习方略】2014版高考数学 6.7数学归纳法课时提升作业 理 北师大版


【全程复习方略】 2014 版高考数学 6.7 数学归纳法课时提升作业 理 北师大版
一、选择题 1.在用数学归纳法证明凸 n 边形内角和定理时,第一步应验证( ) (A)n=1 时成立 (B)n=2 时成立 (C)n=3 时成立 (D)n=4 时成立 2.已知 n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设 n=k(k≥2 且为偶数)时命题为真,则还需证明( ) (A)n=k+1 时命题成立 (B)n=k+2 时命题成立 (C)n=2k+2 时命题成立 (D)n=2(k+2)时命题成立 3.某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立,现已 知 n =5 时,该命题不成立,那么可以推得( ) (A)n=6 时该命题不成立 (B)n=6 时该命题成立 (C)n=4 时该命题不成立 (D)n=4 时该命题成立 4.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ (A)7 (B)8 (C)9

1 2

1 4

1 127 ? (n∈N+)成立,其初始值至少应取( n ?1 2 64
(D)10

)

5.(2013·宝鸡模拟)用数学归纳法证明: 1 ? 增添的项是( (A) ) (B)

1 1 2n ??? ? 时,由 k 到 k+1 左边需 1? 2 1 ? 2 ? 3 ??? n n ? 1

2 k ? k ? 1?

1 k ? k ? 1?
(D)

(C)

? k ? 1?? k ? 2 ?

1

? k ? 1?? k ? 2 ?
n ?1 2

2

2 n 6.用数学归纳法证明 C1 n ? Cn ??? Cn<n

(n≥n0,n0∈N ),则 n 的最小值等于 (D)4

*

( ) (A)1

(B)2

(C)3

7.(2013·南昌模拟)对于不等式 n 2 ? n <n+1(n∈N+),某同学的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 ? 1 <1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即 k 2 ? k <k+1,则当 n=k+1 时,

? k ? 1? ? ? k ? 1? ?
2

k 2 ? 3k ? 2 ? k 2 ? 3k ? 2 ? ? k ? 2 ? ?

? k ? 2?

2

? ? k ? 1? ? 1,

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 对于上述证法( ) (A)过程全部正确 (B)n=1 时验证不正 确 (C)归纳假设不正确 (D)从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确
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8.(能力挑战题)已知 f(n)=(2n+7)·3 +9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N+,f(n)都能被 m 整除,则 m 的 最大值为( ) (A)18 (B)36 (C)48 (D)54 二、填空题 9.(2013·洛阳模拟)用数学归纳法证明 1 ?

n

1 1 1 ? ??? n <n(n∈N+,n>1)时,第一步应验证的不等 2 3 2 ?1

式是___________. n 10.(2013·上海模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)=2 ·1·3·?·(2n-1),从 k 到 k+1,左边需 要增乘的代数式为______. 11.若数列{an}的通项公式 an= 推测 cn=_______. 12.已知 f(n)= 1 ?

1

? n ? 1?

2

,记 cn=2(1-a1)(1-a2)?(1-an),试通过计算 c1,c2,c3 的值,

1 1 1 n ? ??? (n∈N+),用数学归纳法证明 f(2n)> 时,f(2k+1 )-f(2k)等于________. 2 3 n 2

三、解答题 13.(2013·佛山模拟) 用数学归纳法证明:

n ? n ? 1? 12 22 n2 ? ??? ? (n ? N? ). 1? 3 3 ? 5 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1?
14.(2013·合肥模拟)设 f(x)=

2x ,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N+). x?2

(1)求 x2,x3,x4 的值. (2)归纳{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明. 15.( 能力挑战题 ) 设 f(n)=1+

1 1 + ? + . 是否存在关于正整数 n 的函数 g(n) ,使等式 f(1)+f(2)+ ? 2 n

+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对于 n≥2 的一切正整数都成立?证明你的结论.

答案解析 1.【解析】选 C.凸多边形至少有三边,所以应验证 n=3 时成立. 2.【解析】选 B.因 n 是正偶数,故只需证命题对所有正偶数都成立,因 k 的下一个偶数是 k+2,故选 B. 3.【解析】选 C.由 n=k(k∈N+)成立,可推得当 n=k+1 时该命题也成立.因而若 n=4 成立,必有 n=5 成立.现知 n=5 不成立,所以 n=4 一定不成立. 4.【思路点拨】用等比数列的前 n 项和求出不等式的左边,解不等式即可得到初始值.

1 1? n 1 1 1 2 ? 127 ,整理得 2n>128,解得 n>7,所以初始值至少应取 8. 【解析】选 B. 1+ + +?+ n ?1 = 1 2 4 2 64 1? 2
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5.【解析】选 D.左边需添加的式子为

1 1 2 ? ? . 1 ? 2 ? 3 ??? ? k ? 1? ? k ? 1?? k ? 2 ? ? k ? 1?? k ? 2 ? 2
1

1 2 6.【解析】选 C.当 n=1 时,左边= C1 1 =1,右边=1 =1,不等式不成立;当 n=2 时,左边= C2 ? C2 =3,右边
3 2
5 2

= 2 ? 2 2 ,不等式不成立,当 n=3 时,左边=7,右边=9,不等式成立,当 n=4 时,左边=15,右边= 4 > 16,不等式成立,所以 n 的最小值等于 3. 7.【解析】选 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理时没有运用归纳假设,因此证明不正确. 8.【思路点拨】先求出当 n=1,2,3 时 f(n)的值,由此猜想 m 的最大值,再用数学归纳法证明结论成立. 【解析】选 B.由于 f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360 都能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除,即 m 的最大值 k 为 36.当 n=1 时,可知猜想成立.假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,猜想成立,即 f(k)=(2k+7)·3 +9 能被 36 整 k+1 k k-2 除;当 n=k+1 时,f(k+1)=(2k+9)·3 +9=(2k+7)·3 +9+36(k+5)·3 ,因此 f(k+1)也能被 36 整除,故所 求 m 的最大值为 36. 9. 【解析】由条件知 n 的 第一个值为 2,所以第一步应验证的不等式是 1 ? 答案: 1 ?

1 1 ? <2. 2 3

1 1 ? <2 2 3

10 . 【 解 析 】 当 n=k 时 , 左 边 为 (k+1)(k+2) ? (k+k), 而 当 n=k+1 时 , 左 边 为 (k+2)(k+3) ? (k+k)(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1)(2k+2),∴左边增乘的式子为 =2(2k+1). 答案:2(2k+1)

? 2k ? 1?? 2k ? 2 ?
k ?1

1 3 )= , 4 2 1 1 4 c2=2(1-a1)(1-a2)=2×(1- )×(1- )= , 4 9 3 1 1 1 5 n?2 c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×(1- )×(1- )×(1- )= ,故由归纳推理得 cn= . 4 9 16 4 n ?1 n?2 答案: n ?1
11.【解析】c1=2(1-a1)=2×(1- 12. 【解析】f(2 )-f(2 )
k+1 k

1 1 1 1 1 1 ? ??? k ?1 ? (1 ? ? ??? k ) 2 3 2 2 3 2 1 1 1 ? k ??? k ?1 . = k 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 ? k ??? k ?1 答案: k 2 ?1 2 ? 2 2
=1 ? 13.【证明】①当 n=1 时,左边=

1? ?1 ? 1? 12 1 1 ? ,右边= ? , 1? 3 3 2 ? (2 ?1 ? 1) 3

左边=右边,等式成立; ②假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,
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k ? k ? 1? 12 22 k2 ? ??? ? , 1? 3 3 ? 5 ? 2k ?1?? 2k ? 1? 2 ? 2k ? 1?
2

当 n=k+1 时,左边

? k ? 1? 12 22 k2 = ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2k ? 1?? 2k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3?
k ? k ? 1? ? k ? 1? = ? 2 ? 2k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3?
2

k ? k ? 1?? 2k ? 3? ? 2 ? k ? 1? = 2 ? 2k ? 1?? 2k ? 3?

2

? k ? 1? ? 2k 2 ? 5k ? 2 ? = 2 ? 2k ? 1?? 2k ? 3? ? k ? 1?? k ? 2 ? , = 2 ? 2k ? 3?

所以当 n=k+1 时,等式成立. 由①②可得对任意 n∈N+,等式成立.

2 1 2? 2? 2 1 2 3 ? ? ,x4=f(x3)= 2 ?2. 14.【解析】(1)x2=f(x1)= ,x3= 2 1 3 ?2 2 4 ?2 5 3 2 2 (2)归纳 xn= . n ?1 2 证明:①当 n=1 时,x1= 与已知相符, 1?1 2 ②假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,xk= , k ?1 2 2? 2 k ?1 ? 4 ? 当 n=k+1 时,xk+1= . 2 2k ? 4 k ? 1 ? 1 ? ? ?2 k ?1
由①②可知当 n∈N+时成立, ∴xn=

2 . n ?1

15.【解析】当 n=2 时,得 g(2)=2,当 n=3 时,得 g(3)=3,猜想 g(n)=n(n≥2,n∈N+).用数学归纳法证明 猜想成立. (1)当 n=2 时,左边=f(1)=1,右边=2[f(2)-1]=1,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立, 即 f(1)+f(2)+?+f(k-1)=g(k)[f(k)-1], 那么当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k

-4-

=(k+1)[f(k+1)-

1 ]-k k ?1

=(k+1)[f(k+1)-1], 也就是说当 n=k+1 时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对 n≥2 的一切正整数都成立. 故存在关于正整数 n 的函数 g(n)=n,使等式 对 n≥2 的一切正整数都成立. 【 变 式 备选 】 已 知 函数 f(x) =

1 3 x - x ,数 列 {an} 满 足 条 件 : a1 ≥ 1 , an + 1 ≥ f ′ (an + 1) .试 比较 3

1 1 1 1 与 1 的大小,并说明理由. + + +?+ 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 3 1? an
【解析】

1 1 1 1 <1. + + +?+ 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 3 1? an

理由如下: 2 ∵f′(x)=x -1,an+1≥f′(an+1), 2 ∴an+1≥(an+1) -1. 2 2 2 令 g(x)=(x+1) -1,则函 数 g(x)=x +2x 在区间[1,+∞)上是增加的,于是由 a1≥1,得 a2≥(a1+1) -1 2 2 4 3 ≥2 -1,进而得 a3≥(a2+1) -1≥2 -1>2 -1, n 由此猜想:an≥2 -1. 下面用数学归纳法证明这个猜想: 1 ①当 n=1 时,a1≥2 - 1=1,结论成立; k 2 ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N+)时结论成立,即 ak≥2 -1,则当 n=k+1 时,由 g(x)=(x+1) -1 在区间[1, 2 2k k+1 +∞)上是增加的知,ak+1≥(ak+1) -1≥2 -1≥2 -1,即 n=k+1 时,结论也成立. n 由①②知,对任意 n∈N+,都有 an≥2 -1, 即 1+an≥2 ,∴
n

1 1 ? n, 1? an 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 1 1 1 2 =1-( 1 )n<1. ∴ ≤ + 2 + 3 +?+ n = 2 + + +?+ 1 2 2 2 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 3 1? an 2 2 1? 2
【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”类问题的一般解题思路 通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在 性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式 .核心是数学归纳法证明, 体现了探索数学未知问题的一般方法,是必须要具备的一种思维方式.

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