福建省厦门市外国语学校2015届高三数学最后适应性模拟考试试卷 理

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厦门外国语学校 2015 届高三适应性考试理科数学试卷
(时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷指定位置上作答,答题前,请在答题卷的密封线内 填写学校、班级、考号、姓名. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知复数 z 满足: zi ? 1 ? i ( 是虚数单位) ,则 的虚部为( A. ?i 2.计算 sin570 = A.
0



B. i

C.1

D. ?1

1 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

3.给出以下四个说法: ①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距; ②线性回归直线一定经过样本中心点 x, y ; ③设随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,3 )则 p(ξ <1)=
2 2

1 ; 2

④对分类变量 X 与 Y 它们的随机变量 K 的观测值 k 越大,则判断“与 X 与 Y 有关系”的把握程度越小.其 中正确的说法的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

x2 y 2 4.已知点 M(-6,5)在双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,双曲线 C 的焦距为 a b
12,则它的渐近线方程为 A. y ? ? C. y ? ?

5 x 2

B. y ? ? D. y ? ?

2 5 x 5
3 x 2

2 x 3

5.执行右面的程序框图,若输入 x ? 7, y ? 6 ,则输出的有序数对为 A. (11,12) C. (13,14) B. (12,13) D. (13,12)

6.设函数 f ? x ? ? a

?x

? kax ? a ? 0且a ? 1? 在? ??, ? ?? 上既是奇函数又是减函数,

1

则 g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图象是

7.若 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ,则“ f ? x ? 的图象关于 x ? A.充分不必要条件 C.充要条件

?
3

对称”是“ ? ? ?

?
6

”的

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

8.已知偶函数 f ( x) 满足当 x>0 时, 3 f ( x ) ? 2 f ( ) ? A.

1 x

x ,则 f (?2) 等于( x ?1



8 13

B.

4 3

C.

4 15

D.

8 15

9.如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线 拱顶上安装交通信息采集装置若位置 C 对隧道底 AB 的张角 θ 最大 时采集效果最好,则采集效果最好时位置 C 到 AB 的距离是( A.2 2 m B.2 3 m C.4 m D.6 m )

10 . 若 f ? x ? 为 定 义 在 区 间 G 上 的 任 意 两 点 x1 , x2 和 任 意 实 数 数是“上进”函数的个数是( ① f ? x? ? A.4 )

? ? ? 0,1? ,总有 f ? ? x1 ? ?1? ? ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? ?1? ? ? f ? x2 ? ,则称这个函数为“上进”函数,下列函
ln ? x ? 1? x x ,② f ? x ? ? x ,③ f ? x ? ? ,④ f ? x ? ? 2 x e x ?1 x
C.2 D.1

B.3

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.在各项为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a6 ? a5 ? 2a4 ,则公比 q ? 12.如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环)的茎叶 图,则成绩较为稳定(方差较小)的 运动员是
5



甲 乙 7 8 9 7 8 8 9 3 1 0 9 6 9
(第 12 题图)


2

13.已知 ? ax ? 1? 的展开式中 x 的系数与 ? x ?

? ?

5? 3 ? 的展开式中 x 的系数相等,则 a ? _____. 4?

4

2

14.直线 ax ? 2by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且 ?AOB 是直角三角形(O 是坐标原点) ,则点 P ? a, b? 与点(1,0)之间距离的最小值为_______. 15.一质点从正四面体 A﹣BCD 的顶点 A 出发沿正四面体的棱运动,每经过一条棱称为一次运动.第 1 次 运动经过棱 AB 由 A 到 B,第 2 次运动经过棱 BC 由 B 到 C,第 3 次运动经过棱 CA 由 C 到 A,第 4 次经过棱 * AD 由 A 到 D, ?对于 N∈n , 第 3n 次运动回到点 A, 第 3n+1 次运动经过的棱与 3n﹣1 次运动经过的棱异面, 第 3n+2 次运动经过的棱与第 3n 次运动经过的棱异面.按此运动规律,质点经过 2015 次运动到达的点 为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2,3,4, 乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球. (I)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率; (II)若左右手依次各取两球,称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球(左右手依次 各取两球为两次取球)的成功取法次数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 13 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, △PAD 是正三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的 中点. (I)求证:EF ? 平面 PAD; (II)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小;

18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,过其右焦点 F 且垂直于 x 轴的弦 MN 的长度为 b . a 2 b2
2 2

(Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)已知点 A 的坐标为 (0, b) ,椭圆上存在点 P, Q ,使得圆 x ? y ? 4 内切于 ?APQ ,求该椭圆的方程.

3

19. (本小题满分 13 分) 如图,摩天轮的半径 OA 为 50m,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计.地面上有一长度为 240m 的景 观带 MN, 它与摩天轮在同一竖直平面内, 且 AM=60m. 点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处, 记?AOP=?,? ∈(0,π ). 2? (Ⅰ)当? = 时,求点 P 距地面的高度 PQ; 3 (Ⅱ)试确定? 的值,使得?MPN 取得最大值.
B P

O ? A Q M (第 19 题图) N

20. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? ax3 ? 2x ? a ,
*

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)若 a ? n, 且 n ? N ,设 xn 是函数 fn ? x ? ? nx3 ? 2x ? n 的零点.

21.本题有(1) 、 ( 2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如果多做,则 按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入 括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ 1=4 及属于特征值 4 的一个特征向量 e1 ? ? ?3? ? 并有特征值 ?2 ? ?1 及属于 ? ? 特征值-1 的一个特征向量 e2 ? ? ? ? 1? ?, ? ? (Ⅰ)求矩阵 M ; 5 ? (Ⅱ )求 M ? .

? 2?

?1 ?

? ?? ?1 ? ?
? ?

? ? 1?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方 程为 ? ? sin ? ? cos? ? ? 1 ,曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数). ? y ? sin ?

(Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ )试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点?若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理由.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ?1 ,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 M (1)求 M ; (2)当 a, b ? M 时,证明: 2 a ? b ? 4 ? ab .
4


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