立体几何知识点归纳

立体几何知识点归纳 (一) 空间几何体

1/4 3.2 棱锥的性质: ①平行于底面的截面是与底面相似的多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的
D' C' A' B'
l

1.1 棱柱——两个底面互相平行且全等,侧面都是平行四边形,侧棱平行且相等。 1.2 相关棱柱几何体系列
F' E' 侧面

距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面 边长一半,构成四个直角三角形。(如上图: VSOB,VSOH ,VSBH ,VOBH 为直角三角形) ) 。

棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱的关系:

?斜棱柱 ? 底面是正多形 ① 棱柱 ? 棱垂直于底面 ? ????? 正棱柱 ? ? ????? 直棱柱 ? ? ? ?其他棱柱 ? ?
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面
底面为正方形

底面 侧棱 E F A B D C

直平行六面体 底面为矩形 长方体

3.3 侧面展开图:正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。 3.4 面积、体积公式: S 正棱锥侧=

正四棱柱

侧棱与底面边长相等

正方体
D1 A1 D A B1 C B C1

1.3 长方体的性质: 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和; 【如图】 AC ? AB ? AD ? AA
2 1 2 2 2 1

1 1 1 ch? ,S 正棱锥全= ch? ? S底 ,V 棱锥= S底 ? h . 2 2 3
S 母线 l A r h 轴截面
O

(其中 c 为底面周长, h? 侧面斜高,h 棱锥的高) 4.1 圆锥的性质: ①平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于 顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;

顶点 轴 侧面

1.4 面积、体积公式:

S直棱柱侧 ? c ? h S直棱柱全 ? c ? h ? 2S底,V棱柱 ? S底 ? h

(其中 c 为底面周长,h 为棱柱的高)

②轴截面是等腰三角形;如右图: VSAB ③如右图: l ? h ? r .
2 2 2

B 底面

O'

2.1 圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆; 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.

A' B'

C'

轴 轴截面 侧面 底面

4.2 圆锥的侧面展开图: 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。 4.3 面积、体积公式:

母线

A B

O

C

2.2 侧面展开图: 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.3 面积、体积公式: S 圆柱侧= 2? rh ;S 圆柱全= 2? rh ? 2? r ,V 圆柱=S 底 h= ? r h
2 2

S 圆锥侧= ? rl , 圆锥全= ? r (r ? l ) , 圆锥= ? r h S V
2

1 3

S

(其中 r 为底面半径,h 为圆锥的高,l 为母线长)

5.1 正棱台的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;

上底面 高 A' 下底面
D

D' O' B'

C' M

侧棱 侧面 斜高
C N

(其中 r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.1 棱锥 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边 形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样 的棱锥叫做正棱锥。

高 侧棱

S

顶点

侧面

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多 边形; ③ 如右图:四边形 O`MNO, O`B`BO 都是直角梯形

顶点

O A B

M V OB与 ④棱台经常补成棱锥研究.如右图: VSO’ 与VSON, S’ ’ ’ VSOB相似 ,注意考虑相似比.

底面
D O A B H C

斜高
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立体几何知识点归纳 5.2 棱台的表面积、体积公式:

2/4
S

step2:画直观图时,把它画成对应的轴 o ' x ', o ' y ' ,取 ?x ' o ' y ' ? 45?(or135?) ,它们确定的 平面表示水平平面;
上底面 D h l B R 轴截面 O C 下底面 侧面

1 S全=S上底+S下底+S 侧, V棱台= (S+ SS ` ? S `)h , 3
(其中 S , S `是上,下底面面积,h 为棱台的高) 6.1 圆台的性质: ①圆台的上下底面,与底面平行的截面都是圆; ②圆台的轴截面是等腰梯形;
轴 母线

step3:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行 于 x 轴(或在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于 y 轴(或在 y 轴上)的线段长度减半。 结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 (三) 点、直线、平面之间的位置关系 1.平面的基本性质(三个定理与三个推论) (图形语言,文字语言,符号语言的转化) 公理 1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。

A r O'

2 倍. 4

③圆台经常补成圆锥来研究。如右图: VSO`A与VSOB相似 ,注意相似比的应用. 6.2 圆台的侧面展开图是一个扇环; 6.3 圆台的表面积、体积公式: S全=? r ? ? R ? ? ( R ? r )l ,
2 2

用途:常用于证明直线在平面内、点在面内。 图形语言: A l B 符号语言:

1 1 V 圆台 = (S+ SS ` ? S `)h= (? r 2 ? ? rR ? ? R 2 )h , (其中 r,R 为上下底面半径,h 为高) 3 3
7.1 球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ②r ?
球面 球心 轴 半径 O R A r

α
个平面的交线).

A ?? ? ? ? AB ? ? B ?? ?

公理 2: 如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有公共点, 这些公共点的集合是一条直线 (两

R ? d (其中,球心到截面的距离为 d、球的半
2 2

用途:常用于证明线在面内,证明点在线上. 图形语言:
B

径为 R、截面的半径为 r) 7.2 球与多面体的组合体: 球与正四
D' A' O B' O C' A' C'

d O1

β α l
P

符号语言:

P ?? ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l P???

面体,球与长方体,球与正方体等的内接与外 切. 注:球的有关问题转化为圆的问题解决. 公理 3:不共线的三点确定一个平面. ... 推论 1:直线与直线外的一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面.

D A B

C A c

推论 3:两条平行直线确定一个平面. 用途:用于确定平面。

4 3 7.4 球面积、体积公式: S球 ? 4? R ,V球 ? ? R (其中 R 为球的半径) 3
2

2.1 空间直线的位置关系: ? 2.2 平行线的传递公理:

?共面:a ? b=A,a//b ?异面:a与b异面

(二)直观图 3.1 直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行 投影下画出的空间图形。 3.2 斜二测法: step1:在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy, (即取 ?xoy ? 90? ) ;
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平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表述: a // b, b // c ? a // c 2.3 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。

立体几何知识点归纳 2.4 异面直线:

3/4

(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; (2)判定定理:过平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面 直线。
P

a // b ? ? // ? ? ? (ii)判定定理:a ? ? ? ? a // ? “线线平行 ? 面面平行” (用于证明)(iii) ; ? ? a // ? a ??? ? b ???
b?a? ? “面面平行 ? 线面平行” (用于证明)(4) b ? ? ? ? a // ? (用于判断) ; ; ? a ???
2.线面斜交: l ?? ? A ①直线与平面所成的角(简称线面角) :若直线与平面斜交,则平面的斜 线与该斜线在平面内射影的夹角。 【如图】
A ? O P

图形语言:
?

A

a

符号语言:

P ?? ? A ?? ? ? ? ? PA与a异面 a ??? A? a ? ?

2.5 异面直线所成的角: (1)范围: ? ? ? 0?,90?? ; (2)作异面直线所成的角:平移法. 如图,在空间任取一点 O,过 O 作 a '// a, b '// b ,则 a ', b ' 所成的 ? 角为异面直线 a, b 所成 的角。 特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如 线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.
a' a b ? ? b' O

PO ? ? 于 O,则 AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, 则 ?PAO 就是直线
PA 与平面 ? 所成的角。

?

范围:? ? ? 0?,90?? ,注:若 l ? ?或l // ? ,则直线 l 与平面 ? 所成的角为 0? ;若 l ? ? ,则 直线 l 与平面 ? 所成的角为 90? 。 3.面面平行: ①定义: ? ? ? ? ? ? ? / / ? ; ②判定 1:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么 两个平面互相平行;
Oa ? ? b

?l ? ? ? 3.直线与平面的位置关系: ? ?l ? ? ? A l ?? ? ? ?l / /? ?

图形语言:

?平行:? //? ? 4.平面与平面的位置关系: ? ?斜交:? ? ? =a ?相交 ?垂直:? ? ? ? ?
(四)平行关系(包括线面平行,面面平行) 1.线面平行: ①定义:直线与平面无公共点. α a // b ? ? ②判定定理: a ? ? ? ? a // ? (线线平行 ? 线面平行) 【如图】 ? b ??? ③性质定理:
? ? ? l // m (线面平行 ? 线线平行) 【如图】 ? α ? ? ? ? ? m? l?? l / /?

符号表述: a, b ? ? , a ? b ? O, a / /? , b / /? ? ? / / ? 【如右图】

判定 2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:

? ?

a

a ? ? , a ? ? ? ? // ? .【如右图】
a b ④面面平行的性质: (1) ③判定与证明面面平行的依据: (1)定义法; (2)判定定理 1(常用) (3)判定 2

? // ? ? ; ? ? a // ? (面面平行 ? 线面平行) a ???

β

l m

? / /? ? ? (2) ? ? ? ? a ? ? a / / b ; (面面平行 ? 线线平行) ? ? ? ? ? b?
(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

④判定或证明线面平行的依据: (i)定义法(反证) l ?? ? ? ? l / /? (用于判断) : ;
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立体几何知识点归纳 4/4 (五)垂直关系(包括线面垂直,面面垂直) 1.线面垂直 ①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意 a ? ? , 都有 l ? a ,且 l ? ? ,则 l ? ? .
m ? ? , n ? ? ,? ②判定定理: m ? n ? P ? ? l ? ? (线线垂直 ? 线面垂直) ? l ? m, l ? n ? ?

二、立体几何常见题型归纳例讲 1、概念辨析题: (1)对于判断线线关系,线面关系,面面关系等方面的问题,必须在熟练掌握有关的定理和

l
n m P

性质的前提下,利用长方体,正方体,实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证 明它,你认为错误的命题必须找出反例。 (2)相关例题:课本和报纸上出现很多这样的题型,举例说明如下: 例: (04 年北京卷)设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个说 法:① m ? ? , n // ? ? m ? n ;② ? // ? , ? // ? ,m ? ? ? m ? ? ;③ m // ? , n // ? ? m // n ④ ? ? ? , ? ? ? ? ? // ? ,说法正确的序号是:_________________ 2、证明题。证明平行关系,垂直关系等方面的问题。 (1)基础知识网络:

?

③性质: (1) l ? ? , a ? ? ? l ? a (线面垂直 ? 线线垂直)(2) a ? ? , b ? ? ? a // b ; ; ④证明或判定线面垂直的依据: (1) 定义 (反证) ; (2) 判定定理 (常用) ; (3)

a // b ? ? ? b ?? ; a ???

(4)

? // ? ? ?? a ? ? a ???

? ?? ? ; (5) a ? ? ? b ? (面面垂直 ? 线面垂直)(常用); ? ?? a ? ? a ?? ?
a?b ? ?

平行与垂直关系可互相转化

2.1 面面斜交 ①二面角: (1)定义: 【如右图】
OB ? l , OA ? l ? ?AOB是二面角?-l ? ? 的平面角 范围:

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ? ?? 判定推论 判定

垂直关系

?AOB ?[0?,180?]
②作二面角的平面角的方法: (1)定义法; (2)三垂线法(常用)(3)垂面法. ; 2.2 面面垂直 (1)定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 90? ,则 ? ? ? ; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
? a B

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定

线线垂直

性质 判定

性质

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

a ??? 【如右图】 ? ? ? ? ? (线面垂直 ? 面面垂直) a???
(3)性质:①若 ? ? ? ,二面角的一个平面角为 ?MON ,则 ?MON ? 90? ;
? ?? ? ② a ? ? ? AB ? (面面垂直 ? 线面垂直)【如右图】 ; ? ?? a ? ? a ?? ?
a ? AB ? ?

? A
? a B

线面平行

面面平行

线面垂直

请根据以上知识网络图,写出相关定理的图形语言与符号语言.

? A

? ? ?? ? ③ A ?? ?

? A a

. ?? a ?? A? a ? a?? ? ?


?

? ? ?? ? ? a ? ? 或a / /? a?? ?

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