三角函数的化简、求值与证明

全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编(附经典习题及详解) 三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简: (1)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项; ②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。 (2)化简要求: ①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量 使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类: (1)给角求值:一般所给出的角都是非特 殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为 求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值, 求 另 外 一 些 角 的 三 角 函 数 值 , 解 题 的 关 键 在 于 “ 变 角 ”, 如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时 要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由 所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明: (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征, 通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异” 为“同” ; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式 间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 1、已知 ? 是第三象限角,且 sin 4 ? ? cos 4 ? ? ,那么 sin 2? 等于 A、 2 ( A、 2? 3 ( A、1 、 ) B、2 C、-1 D、-2 、 2 2 3 5 9 ( 2 3 ) B、 ? 数 2 2 3 C、 3 2 2 3 D、 ? 的 最 函 ) y ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 小 D、 4? 等 正 周 期 B、 ? C、 3? tan 70 cos10 ( 3 tan 20 ?1) 于 4m ? 6 (m ? 4) ,则实数 m 的取值范围是______。 4?m 1 5、设 0 ? ? ? ? ,sin ? ? cos ? ? ,则 cos 2? =_____。 2 4、已知 sin ? ? 3 cos ? ? 三、例题分析 1 2 . 例 1、化简: ? ? 2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编(附经典习题及详解) 3 17? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x ?x? 例 2、设 cos( x ? ) ? , ,求 的值。 4 5 12 4 1 ? tan x ? 例 3、求证: sin(2? ? ? ) sin ? ? 2 cos(? ? ? ) ? . sin ? sin ? 例 4、已知 sin(? ? ? ) cos ? ? [sin(2? ? ? ) ? cos ? ] ? , 0 ? ? ? ? ,求 ? 的值。 例 5、 (北京卷) (I) tan(? ? ) 的值; 4 1 2 1 2 ? 2 6sin ? ? cos ? (II) 的值. 3sin ? ? 2 cos ? 已知 tan =2,求 ? 例 6、 (全国卷Ⅲ) 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? sin 2x, x ?[0, 2? ]. 求使 f ( x) 为正值的 x 的集合. 例 7、(浙江卷)已知函数 f(x)=- 3 sin x+sinxcosx. ( Ⅰ) 求 f ( ? 25? 1 3 )的值; (Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= - ,求 sin ? 的值. 2 4 6 2 2 四、作业 同步练习三角函数的化简、求值与证明 ? 1 3 1、已知 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于 4 ? A、 2 2 3 4 2 2 B、 ? 3 ( 1 3 ) C、 D、 ? 2、已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ?、? ? (? , ) ,则 ? ? ? 等于 2 2 ? ? 1 3 () A、 ? 3 B、 ? 3cos x 3、化简 (1 ? sin x)[ A、 sin x ? x ? 2 tan( ? )] 为 ? x 4 2 2cos2 ( ? ) 4 2 B、 cos x C、 tan x 2? 3 C、 或 ? ? 3 2? 3 D、 ? 或 3 ? 2? 3 ( D、 cot x ) 全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编(附经典习题及详解) 2sin 2? cos 2 ? ? ? 1 ? cos 2? cos 2? 4、 (全国卷Ⅲ) (A) tan ? (B) tan 2? (C) 1 (D) 1 2 5、 (山东卷)函数 f ( x) ? ? ? 为( ) (A)1 ?sin(?x 2 ),?1 ? x ? 0 x ?1 ? ?e , x ? 0 ,若 f (1) ? f (a) ? 2 ,则 a 的所有可能值 (B)1,? 2 2 (C) ? 2 2 (D) 1, 2 2 sin 3a 13 ? , 则 tan 2a =______________. sin a 5 ? 4 ? 7、 (北京卷)已知 tan =2,则 tanα 的值为- ,tan (? ? ) 的值为- 3 4 2 6、 (全国卷Ⅱ) 设 a 为第四象限的角, 若 8、已知 tan( ? ? ) ? 3 ,则 sin 2? ? 2cos2 ? 的值为_______。 4 ? 9、已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan

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