2015-2016学年四川省成都七中高二(上)期末数学模拟试卷(理科)(一)(解析版)

2015-2016 学年四川省成都七中高二 (上) 期末数学模拟试卷 (理 科)(一)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该 样本的中位数、众数、极差分别是 ( )

A.46,45,56

B.46,45,53

C.47,45,56 )

D.45,47,53

2.执行如图的框图,第 3 次和最后一次输出的 A 的值是(

A.7,9 3.对于线性回归方程 A.直线必经过点

B.5,11

C.7,11 )

D.5,9

,下列说法中不正确的是(

B.x 增加一个单位时,y 平均增加 个单位 C.样本数据中 x=0 时,可能有

D.样本数据中 x=0 时,一定有 4.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ ABD 和△ ACD 折成互相垂直 的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ① ;

②∠BAC=60°; ③三棱锥 D﹣ABC 是正三棱锥; ④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④ |的取

5.若 A、B 两点的坐标分别是 A(3cosa,3sina,1),B(2cosb,2sinb,1),则| 值范围是( A.[0,5] ) B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25]

6.平面 α 与正四棱柱的四条侧棱 AA1、BB1、CC1、DD1 分别交于 E、F、G、H.若 AE=3, BF=4,CG=5,则 DH 等于( A.6 B.5 ) C .4 D.3 )

7.已知直线 l 的倾斜角为 α,且 60°<α≤135°,则直线 l 斜率的取值范围是(

A.

B. D.

C.

8.已知:

,求 z=x2+y2 最小值为(



A.13

B.

C .1

D.

9.已知圆 C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的方程为( )

A.(x+2)2+(y﹣2)2=1
2

2 B.(x﹣2)2+(y+2)2=1 C. + (x+2) (y+2)

=1

D.(x﹣2)2+(y﹣2)2=1 )

10.已知圆 x2+y2+2x﹣2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是(

A.﹣2

B.﹣4

C.﹣6

D.﹣8 )

11.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y﹣2=0 与 C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的公切线有且仅有(

A.1 条

B.2 条

C .3 条

D.4 条

12.已知直线 x+ay﹣1=0 是圆 C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴,过点 A(﹣4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 B.6 ) C .4 D.2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案直接写在题中横线上.

13. 在某次法律知识竞赛中, 将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方 图.已知成绩在[60,70)的学生有 40 人,则成绩在[70,90)的有 人.

14.已知线段 PQ 的端点 Q 的坐标是(4,3),端点 P 在圆(x+1)2+y2=4 上运动,则线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是 .

15. B 两点, 已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x﹣4y﹣4=0 相交于 A、 且 AC⊥BC, 则实数 a 的值为 . .

16. x+y+2﹣a=0 若直线 l: (a+1) (a∈R) 在两坐标轴上截距相等, 则 a 的值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

17.某地最近十年粮食需求量逐年上升,如表是部分统计数据: 年份 2002 2004 236 2006 246 2008 257 2010 276 286

需求量(万吨)

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y=bx+a; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量.

提示:线性回归方程 y=a+bx,



18.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大 于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各 生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

A 配方的频数分布表 指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 频数 8 20 42 22 8

B 配方的频数分布表 指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 频数 4 12 42 32 10

(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

y=

估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品 平均一件的利润. 19.如图,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,其中 AB=3,PA=4,若在线段 PD 上 存在点 E 使得 BE⊥CE,求线段 AD 的取值范围,并求当线段 PD 上有且只有一个点 E 使得 BE⊥CE 时,二面角 E﹣BC﹣A 正切值的大小.

20.已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△ AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 21.设圆 C1 的方程为(x+2)2+(y﹣3m﹣2)2=4m2,直线 l 的方程为 y=x+m+2.

(1)若 m=1,求圆 C1 上的点到直线 l 距离的最小值; (2)求 C1 关于 l 对称的圆 C2 的方程; (3)当 m 变化且 m≠0 时,求证:C2 的圆心在一条定直线上,并求 C2 所表示的一系列圆的 公切线方程. 22.随着环保理念的深入,用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行.如图是其中一个抽象派 雕塑的设计图.图中 α 表示水平地面,线段 AB 表示的钢管固定在 α 上;为了美感,需在焊 接时保证:线段 AC 表示的钢管垂直于 α,BD⊥AB,且保持 BD 与 AC 异面.

(1)若收集到的余料长度如下:AC=BD=24(单位长度),AB=7,CD=25,按现在手中的 材料,求 BD 与 α 应成的角; (2)设计师想在 AB,CD 中点 M,N 处再焊接一根连接管,然后挂一个与 AC,BD 同时 平行的平面板装饰物.但他担心此设计不一定能实现.请你替他打消疑虑:无论 AB,CD

多长,焊接角度怎样,一定存在一个过 MN 的平面与 AC,BD 同时平行(即证明向量 , 共面,写出证明过程);



(3)如果事先能收集确定的材料只有 AC=BD=24,请替设计师打消另一个疑虑:即 MN 要 准备多长不用视 AB,CD 长度而定,只与 θ 有关(θ 为设计的 BD 与 α 所成的角),写出 MN 与 θ 的关系式,并帮他算出无论如何设计 MN 都一定够用的长度.

2015-2016 学年四川省成都七中高二(上)期末数学模拟 试卷(理科)(一)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该 样本的中位数、众数、极差分别是 ( )

A.46,45,56

B.46,45,53

C.47,45,56

D.45,47,53

【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 【专题】计算题. 【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差,即可. 【解答】解:由题意可知茎叶图共有 30 个数值,所以中位数为第 15 和 16 个数的平均值: =46. 众数是 45,极差为:68﹣12=56. 故选:A.

【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差,茎叶图的应用,考查计算能力.

2.执行如图的框图,第 3 次和最后一次输出的 A 的值是(



A.7,9 【考点】程序框图.

B.5,11

C.7,11

D.5,9

【专题】计算题;图表型;转化思想;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环输出的 A 的值,当 S=6 时满足条件 S>5,退出 循环,观察即可得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 A=1,S=1 输出 A 的值为 1,S=2,不满足条件 S>5,A=3 输出 A 的值为 3,S=3,不满足条件 S>5,A=5 输出 A 的值为 5,S=4,不满足条件 S>5,A=7 输出 A 的值为 7,S=5,不满足条件 S>5,A=9 输出 A 的值为 9,S=6,满足条件 S>5,退出循环,结束. 故第 3 次和最后一次输出的 A 的值是 5,9. 故选:D.

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,根据 S 的值判断退出循环前输出的 A 的值 是解题的关键,属于基础题.

3.对于线性回归方程 A.直线必经过点

,下列说法中不正确的是(



B.x 增加一个单位时,y 平均增加 个单位 C.样本数据中 x=0 时,可能有 D.样本数据中 x=0 时,一定有 【考点】线性回归方程. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】线性回归方程 中,直线必过点 ,也可能有 ,x 增加一个单位时,y 平均增 . ,故 A 正确;

加 个单位,样本数据中 x=0 时,可能有 【解答】解:线性回归方程 线性回归方程 中,

一定过点

x 增加一个单位时,y 平均增加 个单位,故 B 正确; 线性回归方程 中, ,也可能有 ,故 C 正确,D 不正确.

样本数据中 x=0 时,可能有 故选 D.

【点评】本题考查线性回归方程的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意熟练掌握基本 概念.

4.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ ABD 和△ ACD 折成互相垂直 的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ① ;

②∠BAC=60°; ③三棱锥 D﹣ABC 是正三棱锥;

④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

【考点】棱锥的结构特征;向量的数量积判断向量的共线与垂直. 【专题】常规题型. 【分析】①由折叠的原理,可知 BD⊥平面 ADC,可推知 BD⊥AC,数量积为零,②因为 折叠后 AB=AC=BC,三角形为等边三角形,所以∠BAC=60°;③又因为 DA=DB=DC,根 据正三棱锥的定义判断.④平面 ADC 和平面 ABC 不垂直. 【解答】解:BD⊥平面 ADC,?BD⊥AC,①错; AB=AC=BC,②对; DA=DB=DC,结合②,③对④错. 故选 B. 【点评】本题是一道折叠题,主要考查折叠前后线线,线面,面面关系的不变和改变,解题 时要前后对应,仔细论证,属中档题.

5.若 A、B 两点的坐标分别是 A(3cosa,3sina,1),B(2cosb,2sinb,1),则| 值范围是( A.[0,5] ) B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25]

|的取

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式. 【专题】三角函数的图像与性质;空间向量及应用. 【分析】根据两点间的距离公式,结合三角函数的恒等变换,求出| |的取值范围.

【解答】解:∵A(3cosa,3sina,1),B(2cosb,2sinb,1), ∴ =(3cosa﹣2cosb)2+(3sina﹣2sinb)2+(1﹣1)2

=9+4﹣12(cosacosb+sinasinb) =13﹣12cos(a﹣b);

∵﹣1≤cos(a﹣b)≤1, ∴1≤13﹣12cos(a﹣b)≤25, ∴| |的取值范围是[1,5].

故选:B. 【点评】本题考查了空间向量的应用问题,也考查了三角函数的恒等变换与应用问题,是基 础题目.

6.平面 α 与正四棱柱的四条侧棱 AA1、BB1、CC1、DD1 分别交于 E、F、G、H.若 AE=3, BF=4,CG=5,则 DH 等于( A.6 B.5 ) C .4 D.3

【考点】棱柱的结构特征. 【专题】计算题. 【分析】如图,过 F 点作 CC1 的垂线,过 E 点作 DD1 的垂线,垂足分别为 N,M.由于平 BB1、 CC1、 DD1 分别交于 E、 F、 G、 H. 面 α 与正四棱柱的四条侧棱 AA1、 得出四边形 EFGH 是平行四边形,从而有 FG EH,再结合△ GFN≌△HEM,即可得出 DH 的长.

【解答】解:如图,过 F 点作 CC1 的垂线,过 E 点作 DD1 的垂线,垂足分别为 N,M.

由于平面 α 与正四棱柱的四条侧棱 AA1、BB1、CC1、DD1 分别交于 E、F、G、H.

∴四边形 EFGH 是平行四边形, ∴FG 又 FN EH, EM,

∴△GFN≌△HEM, ∴GN=HM,而 GN=CG﹣CN=CG﹣BF=5﹣4=1, ∴HM=1, ∴DH=DM+HM=AE+HM=3+1=4. 故选 C.

【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形全等等基础知识,考查运算求解能力,考 查化归与转化思想.属于基础题.

7.已知直线 l 的倾斜角为 α,且 60°<α≤135°,则直线 l 斜率的取值范围是(



A.

B. D.

C.

【考点】直线的斜率. 【专题】计算题;转化思想;分析法;直线与圆. 【分析】直接利用直线倾斜角的范围求得其正切值的范围得答案. 【解答】解:∵60°<α≤135°, ∴tanα 或 tanα≤﹣1,

又 α 为直线 l 的倾斜角, ∴k∈(﹣∞,﹣1]∪( 故选:C. 【点评】本题考查直线的倾斜角,考查了直线倾斜角和斜率的关系,是基础题. ).

8.已知:

,求 z=x2+y2 最小值为(



A.13

B.

C .1

D.

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出可行域,则 Z 表示可行域内得点到原点的距离的平方. 【解答】解:作出约束条件表示的可行域如图:

由图可知原点到可行域内点的最小距离为原点到直线 2x+y﹣2=0 的距离 d=



∴z=x2+y2 最小值为( 故选:B.

)2= .

【点评】本题考查了简单的线性规划,根据 z 的几何意义寻找最小距离是关键.

9.已知圆 C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的方程为( )
2 B.(x﹣2)2+(y+2)2=1 C. + (x+2) (y+2)

A.(x+2)2+(y﹣2)2=1
2

=1

D.(x﹣2)2+(y﹣2)2=1

【考点】关于点、直线对称的圆的方程. 【专题】计算题. 【分析】求出圆 C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1 的圆心坐标,关于直线 x﹣y﹣1=0 对称的圆心 坐标求出,即可得到圆 C2 的方程.

【解答】解:圆 C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1 的圆心坐标(﹣1,1),关于直线 x﹣y﹣1=0 对称的圆心坐标为(2,﹣2) 所求的圆 C2 的方程为:(x﹣2)2+(y+2)2=1 故选 B 【点评】本题是基础题,考查点关于直线对称的圆的方程的求法,考查计算能力,注意对称 点的坐标的求法是本题的关键.

10.已知圆 x2+y2+2x﹣2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是(



A.﹣2

B.﹣4

C.﹣6

D.﹣8

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】把圆的方程化为标准形式,求出弦心距,再由条件根据弦长公式求得 a 的值.

【解答】解:圆 x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 (x+1)2+(y﹣1)2=2﹣a, 故弦心距 d= = .

再由弦长公式可得 2﹣a=2+4,∴a=﹣4, 故选:B. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于 基础题.

11.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y﹣2=0 与 C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的公切线有且仅有(



A.1 条

B.2 条

C .3 条

D.4 条

【考点】圆的切线方程. 【分析】先求两圆的圆心和半径,判定两圆的位置关系,即可判定公切线的条数.

【解答】解:两圆的圆心分别是(﹣1,﹣1),(2,1),半径分别是 2,2 两圆圆心距离: ,说明两圆相交,

因而公切线只有两条. 故选 B. 【点评】本题考查圆的切线方程,两圆的位置关系,是基础题.

12.已知直线 x+ay﹣1=0 是圆 C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴,过点 A(﹣4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 B.6 ) C .4 D.2

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心 1) 【分析】 求出圆的标准方程可得圆心和半径, 由直线 l: (2, , 求得 a 的值,可得点 A 的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值. 【解答】解:∵圆 C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2)2+(y﹣1)2 =4, 表示以 C(2,1)为圆心、半径等于 2 的圆. 由题意可得,直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心(2,1), 故有 2+a﹣1=0,∴a=﹣1,点 A(﹣4,﹣1). ∵AC= ∴切线的长|AB|= 故选:B. 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性 质的合理运用,属于基础题. = =2 =6. ,CB=R=2,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案直接写在题中横线上.

13. 在某次法律知识竞赛中, 将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方 图.已知成绩在[60,70)的学生有 40 人,则成绩在[70,90)的有 25 人.

【考点】频率分布直方图. 【专题】图表型. 【分析】先利用频率=纵坐标×组距求出成绩在[60,70)的频率;利用频率= 求出

参加竞赛的学生人数,再利用频率=纵坐标×组距求出成绩在[70,90)的频率,再乘以样本 容量,求出成绩在[70,90)的人数. 【解答】解:∵成绩在[60,70)的频率为 0.04×10=0.4 又∵成绩在[60,70)的学生有 40 人, ∴参加竞赛的学生人数为 ∵成绩在[70,90)的频率为(0.015+0.01)×10=0.25 ∴成绩在[70,90)的人数为 0.25×100=25 故答案为 25 【点评】解决频率分布直方图有关的问题,要注意图中的纵坐标为 到的公式有频率= . ;在求频率时常用

14.已知线段 PQ 的端点 Q 的坐标是(4,3),端点 P 在圆(x+1)2+y2=4 上运动,则线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是 【考点】轨迹方程. 【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 M 点坐标(x,y),P 点坐标为(x0,y0),运用中点坐标公式和点满足圆的方 程,由代入消元,化简整理即可得到所求轨迹方程. 【解答】解:设 M 点坐标(x,y),P 点坐标为(x0,y0), (x﹣ )2+(y﹣ )2=1 .

∵M 为 PQ 中点,∴

,即 x0=2x﹣4,

,即 y0=2y﹣3, ∵P 在圆上,∴ 从而(2x﹣4+1)2+(2y﹣3)2=4, 则 M 点轨迹方程(2x﹣3)2+(2y﹣3)2=4, 即为 . ,

故答案为:(x﹣ )2+(y﹣ )2=1. 【点评】本题考查轨迹方程的求法,注意运用中点坐标公式,以及代入法求方程,考查化简 整理的运算能力,属于中档题.

15. B 两点, 已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x﹣4y﹣4=0 相交于 A、 且 AC⊥BC, 则实数 a 的值为 0 或 6 . 【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论.

【解答】解:圆的标准方程为(x+1)2+(y﹣2)2=9,圆心 C(﹣1,2),半径 r=3,

∵AC⊥BC, ∴圆心 C 到直线 AB 的距离 d= 即 d= 即|a﹣3|=3, 解得 a=0 或 a=6, 故答案为:0 或 6. 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用,利用条件求出圆心和半径,结合距离公 式是解决本题的关键. = , ,

16.若直线 l:(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R)在两坐标轴上截距相等,则 a 的值为

0或2 .

【考点】直线的截距式方程;直线的一般式方程. 【专题】方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】根据直线过原点时和直线不过原点,从而求出 a 的值即可. 【解答】解:当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 0,∴a=2;

当直线不过原点时,由截距相等且均不为 0,即 a+1=1,∴a=0. 综上可知,a=0 或 a=2, 故答案为:0 或 2. 【点评】本题考查了直线方程问题,考查分类讨论思想,是一道基础题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

17.某地最近十年粮食需求量逐年上升,如表是部分统计数据: 年份 2002 2004 236 2006 246 2008 257 2010 276 286

需求量(万吨)

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y=bx+a; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量.

提示:线性回归方程 y=a+bx,



【考点】线性回归方程. 【专题】转化思想;转化法;概率与统计. 【分析】(I)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,利用配回归直线方 程,对数据预处理,求出预处理后的回归直线方程,从而求出对应的回归直线方程;

(II)利用所求的回归直线方程,计算 2012 年的粮食需求量即可. 【解答】解:(I)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,

下面来配回归直线方程,为此对数据预处理如下: 年份﹣2006 需求量﹣257 ﹣4 ﹣21 ﹣2 ﹣11 0 0 2 19 4 29

对预处理后的数据,容易算得 =0, b= a= ﹣b =3.2; 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 ﹣257=b(x﹣2006)+a=6.5(x﹣2006)+3.2, 即 =6.5(x﹣2006)+260.2;① =3.2, = =6.5,

(II)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为 6.5(2012﹣2006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈300(万吨). 【点评】 本题考查了求线性回归方程以及利用回归直线方程预测结果的应用问题, 是基础题 目.

18.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大 于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各 生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

A 配方的频数分布表 指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 频数 8 20 42 22 8

B 配方的频数分布表 指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 频数 4 12 42 32 10

(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;

(2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

y=

估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品 平均一件的利润. 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)由试验结果先求出用 A 配方生产的产品中优质品的频率和用 B 配方生产的产 品中优质品的频率,由此能分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率.

(2)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0,当且仅当其质量指标值 t≥94.由 试验结果知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96.由此能求出用 B 配方生产的产品平均一件的 利润. 【解答】解:(1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 =0.3,

所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42. (2)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0,当且仅当其质量指标值 t≥94. =0.42,

由试验结果知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96. 所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为 ×[4×(﹣2)+54×2+42×4]=2.68(元). 【点评】本题考查产品的优质品率的求法,考查产品平均一件的利润的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意频数分布表的合理运用.

19.如图,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,其中 AB=3,PA=4,若在线段 PD 上 存在点 E 使得 BE⊥CE,求线段 AD 的取值范围,并求当线段 PD 上有且只有一个点 E 使得 BE⊥CE 时,二面角 E﹣BC﹣A 正切值的大小.

【考点】二面角的平面角及求法. 【专题】计算题;证明题;空间角. 【分析】 根据题意, 以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点, 因此设 BC 的中点为 O (即球心) , 取 AD 的中点 M,连接 OM,作 ME⊥PD 于点 E,连接 OE.要使以 BC 为直径的球与 PD 有交点,只要 OE≤OC 即可,设 OC=OB=R,算出 ME= ≤R2,解此不等式得 R≥2 ,所以 AD 的取值范围[4 ,从而得到 OE2=9+ ,+∞).最后根据 AD=4 时,点

E 在线段 PD 上惟一存在,结合二面角平面角的定义和题中数据,易得此时二面角 E﹣BC﹣ A 正切值. 【解答】解:若以 BC 为直径的球面与线段 PD 有交点 E,由于点 E 与 BC 确定的平面与球 的截面是一个大圆,则必有 BE⊥CE,因此问题转化为以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点.

设 BC 的中点为 O(即球心),再取 AD 的中点 M, ∵AB⊥AD,AB⊥AP,AP∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD, ∵矩形 ABCD 中,O、M 是对边中点的连线 ∴OM∥AB,可得 OM⊥平面 PAD, 作 ME⊥PD 交 PD 于点 E,连接 OE, 则 OE⊥PD,所以 OE 即为点 O 到直线 PD 的距离, 又∵OD>OC,OP>OA>OB,点 P,D 在球 O 外, ∴要使以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点,只要使 OE≤OC(设 OC=OB=R)即可.

由于△ DEM∽△DAP,可求得 ME=



∴OE2=9+ME2=9+

令 OE2≤R2,即 9+ ∴AD=2R≥4

≤R2,解之得 R≥2



,得 AD 的取值范围[4

,+∞),

当且仅当 AD=4

时,点 E 在线段 PD 上惟一存在,

此时作 EH∥PA 交 AD 于 H,再作 HK⊥BC 于 K,连接 EK, 可得 BC⊥平面 EHK,∠EKH 即为二面角 E﹣BC﹣A 的平面角 ∵以 BC 为直径的球半径 R= =OE,∴ME= = ,

由此可得 ED=

=3,所以 EH=

=

=

∵PA⊥平面 ABCD,EH∥PA,∴EH⊥平面 ABCD,得 EH⊥HK ∵Rt△ EHK 中,HK=AB=3,∴tan∠EKH= 即二面角 E﹣BC﹣A 的平面角正切值为 . =

【点评】本题给出特殊四棱锥,探索空间两条直线相互垂直的问题,并求二面角的正切值, 着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的作法,以及求二面角大小等知识点, 属于中档题.

20.已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△ AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 【考点】恒过定点的直线;基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】计算题. 【分析】(1)直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1,直线 l 过定点(﹣2,1).

(2)要使直线 l 不经过第四象限,则直线的斜率和直线在 y 轴上的截距都是非负数,解出 k 的取值范围. (3)先求出直线在两个坐标轴上的截距,代入三角形的面积公式,再使用基本不等式可求 得面积的最小值. 【解答】解:(1)直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(﹣2,1). (2)直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1, 要使直线 l 不经过第四象限,则 解得 k 的取值范围是 k≥0. ,

(3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为﹣ ∴A(﹣ 又﹣ ,0),B(0,1+2k), <0 且 1+2k>0, (1+2k)

,在 y 轴上的截距为 1+2k,

∴k>0,故 S= |OA||OB|= ×

= (4k+ +4)≥ (4+4)=4, 当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号, 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x﹣2y+4=0. 【点评】本题考查直线过定点问题,直线在坐标系中的位置,以及基本不等式的应用(注意 检验等号成立的条件).

21.设圆 C1 的方程为(x+2)2+(y﹣3m﹣2)2=4m2,直线 l 的方程为 y=x+m+2.

(1)若 m=1,求圆 C1 上的点到直线 l 距离的最小值; (2)求 C1 关于 l 对称的圆 C2 的方程; (3)当 m 变化且 m≠0 时,求证:C2 的圆心在一条定直线上,并求 C2 所表示的一系列圆的 公切线方程. 【考点】直线与圆的位置关系;关于点、直线对称的圆的方程. 【专题】综合题. 【分析】(1)把 m=1 代入圆的方程和直线 l 的方程,分别确定出解析式,然后利用点到直 线的距离公式求出圆心到直线 l 的距离 d,发现 d 大于半径 r,故直线与圆的位置关系是相 离,则圆上的点到直线 l 距离的最小值为 d﹣r,求出值即可; (2)由圆的方程找出圆心坐标,设出圆心关于直线 l 的对称点的坐标,由直线 l 的斜率, 根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 求出直线 C1C2 的斜率,由圆心及对称点的坐标表示出 斜率,等于求出的斜率列出一个关系式,然后利用中点坐标公式,求出两圆心的中点坐标, 代入直线 l 的方程,得到另一个关系式,两关系式联立即可用 m 表示出 a 与 b,把表示出的 a 与 b 代入圆 C2 的方程即可; (3)由表示出的 a 与 b 消去 m,得到 a 与 b 的关系式,进而得到圆 C2 的圆心在定直线 x﹣ 2y=0 上;分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑,当公切线斜率不存在时,容易得到 公切线方程为 x=0;当公切线斜率存在时,设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,根据 点到直线的距离公式表示出圆心(a,b)到直线 y=kx+b 的距离 d,当 d 等于圆的半径 2|m|, 化简后根据多项式为 0 时各项的系数为 0,即可求出 k 与 b 的值,从而确定出 C2 所表示的 一系列圆的公切线方程,综上,得到所有 C2 所表示的一系列圆的公切线方程.

【解答】解:(1)∵m=1,∴圆 C1 的方程为(x+2)2+(y﹣5)2=4,直线 l 的方程为 x﹣ y+3=0, 所以圆心(﹣2,5)到直线 l 距离为: 所以圆 C1 上的点到直线 l 距离的最小值为 ;(4 分) ,

(2)圆 C1 的圆心为 C1(﹣2,3m+2),设 C1 关于直线 l 对称点为 C2(a,b),



解得:



∴圆 C2 的方程为(x﹣2m)2+(y﹣m)2=4m2; (3)由 消去 m 得 a﹣2b=0,

即圆 C2 的圆心在定直线 x﹣2y=0 上.(9 分) ①当公切线的斜率不存在时,易求公切线的方程为 x=0; ②当公切线的斜率存在时,设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切, 则 ,即(﹣4k﹣3)m2+2(2k﹣1)bm+b2=0,

∵直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的 m 值都成立,

所以有:

解之得:



所以 C2 所表示的一系列圆的公切线方程为: 故所求圆的公切线为 x=0 或 .(14 分)



【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,以及关于点与直线对称的圆的方程.此题的综合 性比较强,要求学生审清题意,综合运用方程与函数的关系,掌握直线与圆相切时圆心到直 线的距离等于半径,在作(3)时先用消去参数的方法求定直线的方程,然后采用分类讨论 的数学思想分别求出 C2 所表示的一系列圆的公切线方程.

22.随着环保理念的深入,用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行.如图是其中一个抽象派 雕塑的设计图.图中 α 表示水平地面,线段 AB 表示的钢管固定在 α 上;为了美感,需在焊 接时保证:线段 AC 表示的钢管垂直于 α,BD⊥AB,且保持 BD 与 AC 异面.

(1)若收集到的余料长度如下:AC=BD=24(单位长度),AB=7,CD=25,按现在手中的 材料,求 BD 与 α 应成的角; (2)设计师想在 AB,CD 中点 M,N 处再焊接一根连接管,然后挂一个与 AC,BD 同时 平行的平面板装饰物.但他担心此设计不一定能实现.请你替他打消疑虑:无论 AB,CD 多长,焊接角度怎样,一定存在一个过 MN 的平面与 AC,BD 同时平行(即证明向量 , 共面,写出证明过程); 与

(3)如果事先能收集确定的材料只有 AC=BD=24,请替设计师打消另一个疑虑:即 MN 要 准备多长不用视 AB,CD 长度而定,只与 θ 有关(θ 为设计的 BD 与 α 所成的角),写出 MN 与 θ 的关系式,并帮他算出无论如何设计 MN 都一定够用的长度. 【考点】直线与平面平行的性质;直线与平面平行的判定. 【专题】数形结合;向量法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)作出 BD 在 α 内的射影,根据勾股定理求出 D 到平面 α 的距离,即可求出线 面角的大小; (2)使用 表示出 ,即可证明 与 , 共面;

(3)对(2)中的结论两边平方,得出 MN 的长度表达式,根据 θ 的范围求出 MN 的最大 值. 【解答】解:(1)设 D 在 α 上的射影为 H,∵AC⊥α,DH⊥α,∴AC∥DH,∴AC,DH 共面, ∴过 D 作 DK⊥AC 于 K,则 AHDK 为矩形,∴DK=AH. 设 DH=h,则(AC﹣h)2+AH2=CD2,① ∵BD⊥AB,AB⊥DH,∴BH⊥AB,

∴AH2=AB2+BH2=AB2+(BD2﹣h2)② 将②代入①,得:(24﹣h)2+72+(242﹣h2)=252,解得 h=12, 于是 (2)解:∵ ∴2 ∴ = 共面. ,∴∠DBH=30°,即 BD 与 α 所成的是 30°. , = . ,

∴一定存在一个过 MN 的平面与 AC,BD 同时平行. (3)由(2)得 ∴ = + = + , = + + cos( )=288

(1+sinθ). ∴MN= ∴12 ≤MN<24. =12 .(θ∈[0, )).

∴当 MN 大于或大于 24 米时一定够用.

【点评】本题考查了线面垂直的性质,直线共面的判断,向量法在几何中的应用,属于中档 题.


相关文档

2015-2016学年四川省成都七中高一(下)期末数学模拟试卷与解析word
2015-2016学年四川省成都外国语学校高二(下)期末数学试卷(理科)和答案
四川省成都市外国语学校2015-2016学年七年级(上)期末数学模拟试卷(1)(解析版)
[数学]2015-2016年四川省成都七中高一(上)数学期末模拟试卷带解析word
2015-2016学年四川省成都七中高一(上)期末数学模拟试卷含参考答案
[精品]2015-2016年四川省成都七中高一(上)数学期末模拟试卷带答案PDF
2015-2016学年四川省成都外国语学校四年级(上)期末数学模拟试卷与解析(一)
四川省成都市2015-2016学年高二上学期期末调研考试数学(文)试卷 PDF版含答案
【全国百强校】四川省成都市第七中学2015-2016学年高二上学期期末模拟测试(一)数学(理)试题
四川省成都市石室中学2015-2016学年高二上学期期末复习(1)理科数学试题
电脑版