高中数学1.1空间几何体1.1.3圆柱圆锥圆台和球优化训练新人教B版必修220171030215-含答案

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.一个直角三角形绕斜边旋转 360°形成的空间几何体为( ) A.一个圆锥 B.一个圆锥和一个圆柱 C.两个圆锥 D.一个圆锥和一个圆台 解析:这里要注意转轴,可以自己先动手画一下,再结合旋转体的概念可知. 答案:C 2.过球面上两点可能作球的大圆个数是( ) A.有且只有一个 B.一个或无数多个 C.无数多个 D.不存在这种大圆 解析: 若两点连线恰为球的直径,则得无数个大圆;若两点连线不是球的直径,则得一个大圆. 答案:B 3.平行于圆柱、圆锥、圆台底面的截面都是____________. 答案:圆 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.已知甲地在地球北半球,乙地在赤道上,由于地球自转,经一昼夜,甲地转过的路程是乙地 转过路程的 3 倍.则甲地在( 2 ) B.北纬 45°圈上 D.不能确定甲地纬度 A.北纬 30°圈上 C.北纬 60°圈上 解:由乙地转过的路程为 2π R, 而甲地转过的路程为 2π r,∴r= 3 r 3 R, 即 ? .由 2 R 2 cosα = 3 ,∴甲地在北纬 30°. 2 ) 答案:A 2.在圆柱内有一个内接正三棱锥,过一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( 图 1-1-3-1 解析:画图分析会比较直观形象,内接正三棱锥的圆柱的图形如图所示. 答案:D 1 3.如图 1-1-3-2 所示, 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上下底面半径的 比是 1∶4,截去的圆锥的母线长是 3 cm,则圆台的母线长为_____________. 图 1-1-3-2 解:设圆台的母线为 l,截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是 r、4r,根据相似三角形 的性质得 3 r ? ,解得 l=9.所以圆台的母线长为 9 cm. 3 ? 1 4r 答案:9 cm 4.水平桌面 α 上放有 4 个半径均为 2R 的球, 且相邻的球都相切 (球心的连线构成正方形) . 在这 4 个球的上面放一个半径为 R 的小球, 它和下面的 4 个球恰好相切, 则小球的球心到水 平桌面 α 的距离是_____________. 解析:五个球的球心 O1,O2,O3,O4,O5 组成正四棱锥 O5—O1O2O3O4,过 O5 作 O5P⊥面 O1O2O3O4 于 P, 则 P 是正方形 O1O2O3O4 的中心,连结 O3P,则 O3P= 2 2a ,则 O5P= O5 O3 ? O3 P =R,所以 2 2 小球的球心到水平桌面 α 的距离是 2R+R=3R. 答案:3R 5.已知 A、B、C 三点在球心为 O,半径为 R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A、B 两点的 球面距离为_____________,球心到平面 ABC 的距离为____________. 解析:易知∠AOB= ? 1 ,A、B 两点间的球面距离为 π R;易知球心 O 在平面 ABC 的射影 O′ 3 3 3 R. 2 落在 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点上,所以球心到平面 ABC 的距离 OO′为 答案: 1 πR 3 3 R 2 30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.下列图形为圆柱体的是( ) 2 图 1-1-3-3 解析:圆柱的上下两个底面是相互平行并且完全相等的. 答案:C 2.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球的同一侧,且相距为 1,则 这个球的半径为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:取球的轴截面,用平面几何知识得 R=3. 答案:B 3.如图 1-1-3-4 所示,在地球北纬 60°圈上有 A、B 两点,它们的经度之差等于 180°,则 A、 B 两点沿纬度圈上的弧长与 A、B 两点的球面距离之比为( ) A.3∶2 B.2∶3 图 1-1-3-4 C.1∶3 D.3∶1 1 R.∴A、B 两点沿纬度圈的弧长等 2 1 ?R 1 60 1 于 π r= π R,A、B 两点的球面距离等于 π R= π R.∴它们的比值为 2 =3∶2. 1 2 180 3 ?R 3 解:设北纬 60°圈的圆的半径为 r,地球半径为 R,则 r= 答案:A 4.已知半径为 5 的球的两个平行截面的周长分别是 6π 和 8π ,那么这两个平行截面的距离 是____________. 解析:分情况讨论:①若这两个平行截面位于球心的同侧 , 则可求得平行截面的距离等于 1;②若这两个平行截面位于球心异侧,则可解得平行截面间的距离等于 7. 答案:1 或 7 5.地球上有甲、乙两个城市,甲在北纬 30°、东经 83°,乙在北纬 30°、西经 97°,这两个 城市在纬度圈上的距离与它们在地球表面上的球面距离之比是____________. 解:由题意可设北纬 30°圈上圆的半径为 r,地球半径为 R,则 r= 3 R,则甲、乙两城市在北 2 纬 30°圈上的距离为 π r= 120 2 3 π R.而甲、乙两城市的球面距离为 ×π R= π R,∴它们 180 3 2 的比值为 3 2 ∶ ,即 3 3 ∶4. 3 2 答案: 3 3 ∶4 6.球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 周长为 4π ,则这个球的半径为_____________. 3 1 ,经过这三个点的小圆的 6 解:设球半径为 R,小圆半径为 r,则 2π r=4π ,所以 r=2.如图,设球面上三点为 A、B、C,O 为球心,∠AOB=∠BOC=∠COA= 2? ? ? .又因为 OA=OB,所以△AOB 是等边三角形,同样△BOC、 6 3 △COA 都是等边三角形,得△ABC 为等边三角形,边长等于球半径 R.设 r 为△ABC 外接圆半径, 则 r= 3 3 3 AB ? R, R ? r ? 3r ? 2 3

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