【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练64

题组层级快练(六十四)
1.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是( A.双曲线 C.双曲线右边一支 答案 C 解析 ∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支. 又∵|PM|>|PN|,故点 P 的轨迹为双曲线的右支. x2 2.与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( 4 x2 A. -y2=1 4 x2 y2 C. - =1 3 3 答案 B x2 解析 椭圆 +y2=1 的焦点为(± 3,0). 4 因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除 A,C. x2 又双曲线 -y2=1 经过点(2,1),所以选 B. 2 3.(2015· 济宁模拟)如图所示,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为双曲线的两个焦点,其余 4 个 顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是( ) x2 B. -y2=1 2 y2 D.x2- =1 2 ) B.双曲线左边一支 D.一条射线 )

A. 3+1 C. 3 答案 A

B. 3-1 D. 2

|AD| 解析 令正六边形的边长为 m, 则有|AD|=2m, |AB|=m, |BD|= 3m, 该双曲线的离心率等于 ||AB|-|BD|| = 2m = 3+1. 3m-m x2 y2 5 4.已知双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 c(c 为双曲 a b 3 线的半焦距长),则双曲线的离心率为( A. 5 2 ) 3 B. 2 2 D. 3

3 5 C. 5

答案 B x2 y2 x y bc 5 解析 双曲线 2- 2=1 的渐近线为 ± =0,焦点 A(c,0)到直线 bx-ay=0 的距离为 2 = c,则 a b a b a +b2 3 5 9 3 c2-a2= c2,得 e2= ,e= ,故选 B. 9 4 2 → → → 5.已知双曲线的两个焦点 F1(- 10,0),F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点,且MF1· MF2=0,|MF1 → |· |MF2|=2,则该双曲线的方程是( x A. -y2=1 9 x2 y2 C. - =1 9 7 答案 A → → → → 解析 ∵MF1· MF2=0,∴MF1⊥MF2. → → → → ∴|MF1|2+|MF2|2=40.∵||MF1|-|MF2||=2a, → → ∴|MF1|· |MF2|=20-2a2=2,∴a2=9,b2=1. x2 ∴所求双曲线的方程为 -y2=1. 9 6.已知双曲线 mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为 2,则椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为( 1 A. 2 C. 3 3 B. 6 3 )
2

) y2 B.x2- =1 9 x2 y2 D. - =1 7 3

2 3 D. 3

答案 B 1 1 + m n =2. 1 m

解析 由已知双曲线的离心率为 2,得

1 1 解得 m=3n.又 m>0,n>0,∴m>n,即 > . n m y2 x2 故由椭圆 mx2+ny2=1,得 + =1. 1 1 n m 1 1 - n m = 1 n 1 1 - n 3n 6 = . 3 1 n

∴所求椭圆的离心率为 e=

x2 y2 x2 y2 7.(2014· 山东理)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 与 C2 a b a b 的离心率之积为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 )

A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 答案 A 解析 椭圆 C1 的离心率为

B. 2x± y=0 D.2x± y=0

a2-b2 a2+b2 a2-b2 a2+b2 3 ,双曲线 C2 的离心率为 ,所以 · = ,所以 a a a a 2

3 1 a4-b4= a4,即 a4=4b4,所以 a= 2b,所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y=± x,即 x± 2y=0. 4 2 → → x2 8.设 F1,F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,当△F1PF2 的面积为 2 时,PF1· PF2的 3 值为( A.2 C.4 答案 B 解析 设点 P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2 3+1=4, 1 S△PF1F2= |F1F2||y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1. 2 x2 0 2 2 又∵ -y0 =1,∴x2 0=3(y0+1)=6. 3 → → 2 ∴PF1· PF2=(-2-x0,-y0)· (2-x0,-y0)=x2 0+y0-4=3. x2 y2 9.已知点 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双 a b 曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( A.(1, 3) C.(1+ 2,+∞) 答案 D b2 a c2-a2 π 1 解析 依题意,0<∠AF2F1< ,故 0<tan∠AF2F1<1,则 = <1,即 e- <2,e2-2e-1<0,(e- 4 2c 2ac e 1)2<2,所以 1<e<1+ 2,故选 D. 1 x2 10.抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M. 2p 3 若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( A. 3 . B. 3 8 ) B.( 3,2 2) D.(1,1+ 2) ) ) B .3 D.6

2 3 C. 3 答案 D

4 3 D. 3

1 1 x x0 3 3 1 解析 设 M(x0, x2 ),y′=( x2)′= ,故在 M 点处的切线的斜率为 = ,故 M( p, p).由 2p 0 2p p p 3 3 6

p 3 1 p 题意又可知抛物线的焦点为(0, ),双曲线右焦点为(2,0),且( p, p),(0, ),(2,0)三点共线,可求得 p 2 3 6 2 = 4 3 ,故选 D. 3 x2 11.双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于________. 4 答案 2 5 5

x2 1 解析 双曲线 -y2=1 的顶点为(± 2,0),渐近线方程为 y=± x,即 x-2y=0 和 x+2y=0.故其顶点到 4 2 渐近线的距离 d= |± 2| 2 2 = = 5. 5 5 1+4

x2 y2 12.已知双曲线 - =1 的右焦点的坐标为( 13,0),则该双曲线的渐近线方程为________. 9 a 答案 2x± 3y=0 解析 ∵右焦点坐标是( 13,0), ∴9+a=13,即 a=4. x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 9 4 x y ∴渐近线方程为 ± =0,即 2x± 3y=0. 3 2 → → y2 13.已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1· PF2的最小值 3
2

为________. 答案 -2 解析 由题可知 A1(-1,0),F2(2,0). 设 P(x,y)(x≥1), → → → → 则PA1=(-1-x,-y),PF2=(2-x,-y),PA1· PF2=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+ 3(x2-1)=4x2-x-5. 1 ∵x≥1,函数 f(x)=4x2-x-5 的图像的对称轴为 x= , 8 → → ∴当 x=1 时,PA1· PF2取得最小值-2. x2 y2 14.P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支上一点,F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,焦距为 2c, a b 则△PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为________. 答案 a 解析 如图所示,内切圆与三条边的切点分别为 A,B,C,由切线性质,得|F1C|=|F1A|,|PC|=|PB|, |F2A|=|F2B|.

由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a, 即(|PC|+|CF1|)-(|PB|+|BF2|)=2a. ∴|CF1|-|BF2|=2a 即|F1A|-|F2A|=2a. ∵|F1A|+|F2A|=2c,∴|F1A|=a+c.∴A(a,0). a2+e x2 y2 π 15.(2015· 兰州高三诊断)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e,则 a b 3 b 的最小值为________. 答案 2 6 3

b π 解析 由题意,可得 k= =tan = 3. a 3 b2 ∴b= 3a,则 a2= ,∴e= 3 b2 +2 a +e 3 b 2 ∴ = = + ≥2 b b 3 b
2

b2 1+ 2=2. a

b 2 2 6 × = . 3 b 3

当且仅当 b2=6,a2=2 时取“=”. 16.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 P(4,- 10). (1)求双曲线的方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1· MF2=0; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积. 答案 (1)x2-y2=6 (2)略 (3)6

解析 (1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵过点 P(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)方法一:由(1)可知,在双曲线中,a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0). m m ∴kMF1= ,kMF2= . 3+2 3 3-2 3 m2 m2 ∴kMF1· kMF2= =- . 3 9-12 ∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3. 故 kMF1· kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.

→ → ∴MF1· MF2=0. → 方法二:∵MF1=(-3-2 3,-m), → MF2=(2 3-3,-m), → → ∴MF1· MF2=(3+2 3)×(3-2 3)+m2=-3+m2. ∵M(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,即 m2-3=0. → → ∴MF1· MF2=0. (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3, △F1MF2 的边 F1F2 的高 h=|m|= 3, ∴S△F1MF2=6. 17.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1,F2 分别为左、右焦点,双曲线的左支上 π 有一点 P,∠F1PF2= ,且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲线的离心率为 2,求该双曲线的方程. 3

答案

3x2 y2 - =1 2 2

x2 y2 解析 设双曲线的方程为 2- 2=1, a b ∴F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 π |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos 3 =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|. 即 4c2=4a2+|PF1|· |PF2|. 又∵S△PF1F2=2 3, 1 π ∴ |PF1|· |PF2|· sin =2 3. 2 3 ∴|PF1|· |PF2|=8. ∴4c2=4a2+8,即 b2=2. c 2 又∵e= =2,∴a2= . a 3 3x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 2 2

x2 y2 1.设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90° 且|AF1|= a b 3|AF2|,则双曲线的离心率为( A. 5 C. 10 2 ) B. D. 15 2 5 2

答案 C 解析 由双曲线的定义:|AF1|-|AF2|=2a 和|AF1|=3|AF2|,得|AF1|=3a,|AF2|=a.在△AF1F2 中,由勾 股定理 4c2=(3a)2+a2 解出答案. x2 y2 5 2.(2013· 全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( a b 2 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 答案 C
2 2 c 5 c2 a +b 5 解析 ∵e= = ,∴e2= 2= 2 = . a 2 a a 4

)

1 B.y=± x 3 D.y=± x

b 1 1 ∴a2=4b2, =± .∴渐近线方程为 y=± x. a 2 2 x2 y2 3. (2013· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 A, a b B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p=( A.1 C.2 答案 C p 解析 设 A 点坐标为(x0,y0),则由题意,得 S△AOB=|x0|· |y0|= 3.抛物线 y2=2px 的准线为 x=- ,所 2 3 B. 2 D.3 )

?c p b bp ?a=2, 以 x0=- ,代入双曲线的渐近线的方程 y=± x,得|y0|= .由? 2 a 2a ? ?a2+b2=c2,
所以 S△AOB= 3 2 p = 3,解得 p=2 或 p=-2(舍去). 4

得 b= 3a,所以|y0|=

3 p. 2

4 4.已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,并且焦点都在圆 x2+y2=100 上,求双曲线方程. 3 答案 x2 y2 y2 x2 - =1 或 - =1 36 64 64 36

解析 方法一:①当焦点在 x 轴上时,

x2 y2 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 4 因渐近线的方程为 y=± x, 3 并且焦点都在圆 x2+y2=100 上,

?b=4, ? ? ?a=6, ∴?a 3 解得? ?b=8. ? ?a2+b2=100, ?
x2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1. 36 64 y2 x2 4 ②当焦点在 y 轴上时,设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),因渐近线的方程为 y=± x,并且焦点 a b 3 a 4 ? ?a=8, ?b=3, ? 都在圆 x +y =100 上,∴? 解得? ? ?b=6. ? ?a2+b2=100,
2 2

y2 x2 ∴双曲线的方程为 - =1. 64 36 x2 y2 y2 x2 综上,双曲线的方程为 - =1 或 - =1. 36 64 64 36 方法二:设双曲线的方程为 42· x2-32· y2=λ(λ≠0), 从而有( |λ| 2 |λ| 2 ) +( ) =100,解得 λ=± 576. 4 3

x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的方程为 - =1 或 - =1. 36 64 64 36


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